2015年高考考前热身试卷理科数学(一)


【模拟一】

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A={x||x(A) (0,2]
1 3 |≤ },B={x|y=lg(4x-x2)},则 A∩B 等于 2 2

(B)[-1,0)

(C)[2,4)

(D)[1,4)

(2)若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,那么 复数
z 对应的点位于复平面内的 1? i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)已知函数 f(x)=cos(2x则 a 的值是 (A)
(第 1 题图)

?
6

) ,若存在 a?(0,?) ,使得 f(x+a)=f(x-a)恒成立,

?
6

(B)

?
3

(C)

?
4

(D)

?
2

(4)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 Sn= (A)正
1 7

n m ,Sm= (m≠n) ,则 Sm+n-4 的符号是 m n

(B)负
2 7

(C)非负
3 7

(D)非正
6 7

(5)从平行六面体的 8 个顶点中任取 5 个顶点为顶点,恰好构成四棱锥的概率为 (A) (B) (C) (D)

(6)设 f(x)=(1+x)6(1-x)5,则导函数 f ′(x)中 x2 的系数是 (A)0 (B)15
1 5 2

(C)12

(D)-15

(7)设直线 x+y=1 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则△ OAB 面积为 (A)1 (B) (C) 5 (D)2

理科数学试题 第 1 页 (共 10 页)

(8)某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最 大值时,这个几何体的体积为 1 (A) 6 1 (B) 3 2 (C) 3 1 (D) 2 (9)下图是某算法的程序框图,若程序运行后输出 的结果是 27,则判断框①处应填入的条件是 (A)n>2 (B)n>3 (C)n>4 (D)n>5 (10)已知双曲线

2 2

第 8 题图

开始

S=0 n=1

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,被方向向 2 a b 量为 k=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1) , 则该双曲线离心率的值是

① 否 输出 S S=(S+n)· n n =n+1 (第 9 题图)

5 2 6 (B) 2 10 (C) 3 (D)2

(A)

结束

(11)函数 f(x)=(x-a)ex 在区间(2,3)内没有极值点,则实数 a 的取值范围是 (A) (-∞,3]∪[4,+∞) (C) (-∞,3] (B)[3,4] (D)[4,+∞)

(12)两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和 O2 的表面积之和的最小值为 (A)3(2- 3 )? (C)3(2+ 3 )? (B)4(2- 3 )? (D)4(2+ 3 )?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)6 个儿童分坐两行,每行 3 人面对着做游戏,其中甲、乙二人既不对面,又不相邻的 坐法有___________种. (用数字作答)
理科数学试题 第 2 页 (共 10 页)

2 (14)△ ABC 外接圆的圆心为 O,且 AO ? ( AB ? AC ) ,则 cos∠BAC=___________. 5

(15)如果双曲线 x2-y2=a2 经过圆(x-3)2+(y-1)2=5 的直径 AB 的两个端点,则正实数 a 的值等于___________.
b?2 的取值范围是 a ?1 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(16)关于 x 的不等式 2 x

2

? 2b

? 2? ax 有唯一整数解 x=1,则

.

(17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S= 3 ,a=1,求边 AC 上的中线 BD 的长.
cos B b . ?? cos C 2a ? c

(18) (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1,AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF= (Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.
1 AB. 4

(第 18 题图)

(19)(本小题满分 12 分) 已知袋内有标有 1~6 数字的小球 6 个,球除标号不同外完全相同,甲、乙两人玩“摸球 赢枣”的游戏,由丙做裁判,游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球,记第 1、2、3 次摸到 的球的标号分别为 a,b,c,然后将所得的数代入函数 f(x)=ax2+bx+c,若所得到的函数无 零点,则甲输一个枣给乙,若所得到的函数有零点,则乙输四个枣给甲. (Ⅰ)记函数的零点的个数为?,求?的分布列和数学期望; (Ⅱ)根据两人得枣的数学期望,该游戏公平吗?若不公平,谁吃亏?

(20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 ? ? 1 (a>b>0)的离心率 e= ,左焦点为 F,A,B,C 为其三个 a 2 b2 5 顶点,直线 CF 与 AB 交于点 D,若△ ADC 的面积为 15. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在分别以 AD,AC 为弦的两个相外切的等圆? 若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.
如图,椭圆 C:

(第 20 题图) 理科数学试题 第 3 页 (共 10 页)

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=alnx+x2(a 为实数) . (Ⅰ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (Ⅱ)若存在 x?[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 设 AB 为圆 O 的直径,AB=10.E 为线段 AO 上一点, OE=
1 AB .过 E 作一直线交圆 O 于 C , D 两点,使得 7
A C O E D B

∠CEA=45° .试求 CE2+ED2 的值.

(第 22 题图) (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.
3 5? ? x ? ? t sin ? ? 2 6 (t 为参数) 设直线 l 的参数方程为 ? ,若以 ? y ? ?t cos ? ? 6 ?

直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得 曲线 C 的极坐标方程为?=
6 cos ? . sin 2 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若实数 a,b 满足 ab>0,且 a2b=4,若 a+b≥m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)若 2|x-1|+|x|≤a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

理科数学试题 第 4 页 (共 10 页)

考进入考场前,一定要“练就一个好的状态,找到一种好的感觉”!

2015 年普通高等学校招生全国统一考试【模拟一】

数学(理科)试题参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题 1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 6.D. 7.B 8.D 9.B 10.A 11.A 12.A. 二、填空题 13.384. 14.
1 . 4

15.2.

16. (

1 ,1) . 4

【详解】 1.解:∵A=[-1,2],B=(0,4) ,则 A∩B=(0,2].故选 A. z 2 ? i 2 ? i 1? i 3 1 2.解:由图知,z=2+i,∴ ? ? ? ? ? i ,则对应的点位于复平面内的第 1 ? i 1 ? 2i 1 ? i 1 ? i 2 2 四象限.故选 D. ? ? k? ? 3. 解: 依题意可得, 2x+2a- =2x-2a- +2k? (k?Z) , ∴a= (k?Z) , ∵a? (0, ?) , ∴a= . 故 6 6 2 2 选 D. 4.解:∵Sn=na1+
n(n ? 1) n m(m ? 1) m 2 1 d= ,Sm=ma1+ d= ,解得 d= ,a1= . 2 m 2 n mn mn
[]

( m ? n) 2 (m ? n)(m ? n ? 1) d-4= >0(∵m≠n) .故选 A. mn 2 5.解:四棱锥的底面可由 6 个侧面和 6 个对角面构成,每个底面对应 4 个四棱锥,故所求 12 ? 4 6 概率为 P= 5 ? .故选 D. C8 7
∵故 Sm+n-4=(m+n)a1+ 6.解:计算 f′(x)中 x2 的系数较麻烦,只需计算 f(x)中 x3 的系数.
1 f(x)=(1+x) (1-x2)5=(1-x2)5+x(1-x2)5,x3 的系数为 0- C5 =-5,∴含 x3 的项为-5x3,

故函数 f′(x)中 x2 的系数是-15.故选 D. 7.解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 x+y=1 与抛物线 y2=2px,得 y2+2py-2p=0, 解得 y1=-p+ p 2 ? 2 p ,x1=1+p- p 2 ? 2 p ,y2=-p- p 2 ? 2 p ,x2=1+p+ p 2 ? 2 p , 由 OA⊥OB 得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得 2p=1,
3? 5 ?1 ? 5 3? 5 ?1 ? 5 , ) ,B( , ) ,OA2=x12+y12=5-2 5 , 2 2 2 2 1 1 OB2=x22+y22=5+2 5 ,△ OAB 的面积 S= |OQ||OB|= 5 .故选 B. 2 2

从而 A(

理科数学试题 第 5 页 (共 10 页)

8.解:由三视图知这个几何体是一个三棱锥 P—ABC,其中 PA⊥面 ABC,AB=1,
? x2 ? 1 ? a2 , ? PB=a,BC=b,PC= 6 ,∠BAC=90° ,设 PA=x,AC=y,则 ? y 2 ? 1 ? b 2 , ?a2+b2=8, ? 2 2 ? x ? y ? 6.



a?b a 2 ? b2 =4 知当 a=b=2 时 a+b 取最大值, 此时 x=y= 3 , 故三棱锥 P—ABC 的 ? 2 2

1 1 1 体积 V= ? xy ? .故选 D. 3 2 2

9.解:由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)× 1=1;n=2,依次循环 s=(1+2)× 2=6, n=3;注意此刻 3>3 仍然是“否”,所以还要循环一次 s=(6+3)× 3=27,n=4,此刻输出 s=27.故选 B. 10 . 解 : 点 差 得 , e2=1+

b2 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 4 k ? , =0 , 即 =0 , ∴ ? ? a2 4 a2 b2 a 2 b2

b2 5 ? .故选 A. a2 4

11.解:f′(x)=(x+1-a)ex,依题意,x+1-a≥0 或 x+1-a≤0 区间(2,3)内恒成立, ∴a≤3 或 a≥4.故选 A. 12.解:∵AO1= 3 R1,C1O2= 3 R2,O1O2=R1+R2,∴( 3 +1) (R1+R2)= 3 , R1+R2=

3 3 ?1

,球 O1 和 O2 的表面积之和为 4?(R12+R22)≥4? · 2(

R1 ? R2 2 )= 2

2?(R1+R2)2=3(2- 3 )?.故选 A. 13 解:由于甲、乙是特殊元素,可先安排甲、乙,分两种情况:
1 (1)甲坐两端,可从四个位中选一个坐下,有 A4 种,由于乙不与甲坐对面和相邻,在

1 4 1 1 4 A3 A4 种方法. 其他 3 个位中选一个坐下有 A3 种,其余 4 人有 A4 种,此类有 A4

1 (2)甲在中间两个位上找一个位子坐下,有 A2 种,乙应在其他两个位上找一个位子坐

1 4 1 1 4 A2 A4 种. 下有 A2 种,其余 4 人有 A4 种坐法.此类坐法有 A2

1 1 4 1 1 4 A3 A4 ? A2 A2 A4 =384(种) 所以满足条件的坐法共有 A4 .故填 384.

14.解:设 BC 边中点为 M,则 AB ? AC ? 2 AM ,由题设 AO ?

4 AM , 5

∴A、O、M 共线,且 AO=4OM,而∠BOM=2∠BAM,∴∠BOM=∠BAC, 即 cos∠BAC=
OM OM 1 1 ? ? .故填 . OB OA 4 4

15. 解:设 A (x1,y1) , B (x2,y2) ,代入双曲线方程作差得 (x1+x2) (x1-x2)= (y1+y2) (y1-y2) , y ? y2 ∵x1+x2=6,y1+y2=2, 1 =3,∴AB 的方程为 y=3x-8,与圆方程联立得 10(x-3)2=5, x1 ? x2
理科数学试题 第 6 页 (共 10 页)

∴(x-3) 2= 16.解:∵ 2 x
2

1 ,∴a2=(x+y) (x-y)=(4x-8) (8-2x)=8-8(x-3)2=4.a=2.故填 2. 2

? 2b

? 2? ax ?x2+ax+2b<0,依题意方程 x2+ax+2b=0 只有唯一的整数解 x=1,∴

方程 x2+ax+2b=0 一根在[0,1)内,另一根在(1,2]内,即函数 f(x)=x2+ax+2b 的图 象与 x 轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.
b?0 ? f (0) ? 0 ? ? ? ∴ ? f (1) ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 ,作出可行域,如图所示: ? f (2) ? 0 ? a ? b ? 2 ? 0 ? ?



b?2 为点(a,b)与定点 P(1,2)的连线的斜率, a ?1

由图可知,kPA< ∴kPA=

b?2 <kPB,其中点 A(-3,1) ,B(-1,0) , a ?1

1 b?2 1 ,kPB=1,故 的取值范围是( ,1) . 4 a ?1 4
cos B sin B ?2sinAcosB+sin(B+C)=0, ……………2 分 ?? cos C 2sin A ? sin C 1 2? ,B= .……………………………………………………6 分 2 3

三、解答题 17. (Ⅰ)解:由

即 2sinAcosB+sinA=0,…………………………………………………………………4 分 而 sinA≠0,∴cosB=(Ⅱ)解:因 S=

3 1 acsinB,又 S= 3 ,a=1,sinB= ,则 c=4.………………8 分 2 2

解法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 b= 21 ,……………………………10 分

a 2 ? b2 ? c2 ? 由 cosC= 2ab

b 21 a 2 ? ( )2 ? BD 2 1 ? ? BD 2 1 ? 21 ? 16 2 4 ? ,得 , b 2 ? 1 ? 21 21 2a ? 2

13 .……………………………………………………………………12 分 2 解法二:作 AE 平行于 BC,并延长 BD 交 AE 于 E,

解得 BD=

在△ ABE 中,∠BAE=

?
3

,AB=4,AE=1,且 BD=

1 BE, 2

又 BE2=AB2+AE2-2AB· AEcosA,
13 1 1 即 BE2=16+1-2× 4× 1× =13,这样 BD= BE= .…………………………12 分 2 2 2 18. (Ⅰ)证明(证法一) :设 O 为 AB 的中点,连结 A1O, 1 ∵AF= AB,O 为 AB 的中点,∴F 为 AO 的中点, 4 又 E 为 AA1 的中点,∴EF∥A1O. 又∵D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点,∴A1D=OB. 又 A1D∥OB,∴四边形 A1DBO 为平行四边形. ∴A1O∥BD.又 EF∥A1O,∴EF∥BD. 又 EF?平面 DBC1,BD?平面 DBC1. ∴EF∥平面 DBC1.…………………6 分 O
理科数学试题 第 7 页 (共 10 页) (第 18 题解图 1)

(证法二)建立如图所示的坐标系. (坐标系建立仅为参考) ∵AB=BC=CA=AA1=2,D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点, 1 AF= AB. 4 1 E(-1,0,1) ,F(- ,0,0) ,B(1,0,0) ,D(0,0,2) , 2 C1(0, 3 ,2) . 设平面 DBC1 的法向量为 n=(x,y,z) . 1 , BD =(-1,0,2) , BC1 =(-1, 3 ,2) . EF =( ,0,-1) 2 n=-x+2z=0, BC1 · n=-x+ 3 y+2z=0, BD · 令 z=1,则 y=0,x=2,∴n=(2,0,1) . 1 n= × 2+0× 0+(-1)× 1=0,∴ EF ⊥n. EF · 2 又 EF?平面 BDC1,∴EF∥平面 BDC1.……………6 分 (Ⅱ)解:设平面 EBC1 的法向量为 m=(x,y,z) . , BC1 =(-1, 3 ,2) . BE =(-2,0,1) m=-2x+z=0, BC1 · n=-x+ 3 y+2z=0, BE · 令 x=1,则 z=2,y=- 3 ,∴m=(1,- 3 ,2) . |m ? n | 1 ? 2 ? (? 3) ? 0 ? 2 ? 1 10 ? ? cos< m,n >= . |m || n | 5 2 2? 5

z

y

o
(第 18 题解图 2)

x

10 .………………………………………12 分 5 19. (Ⅰ)解:?的可能取值为 0,1,2.f(x)=ax2+bx+c 的判别式?=b2-4ac, 当?=0 时,b 为偶数,b=2 时,a=1,c=1;b=4 时,a=1,c=4 或 a=2,c=2 或 a=4,c=1;

∴二面角 E-BC1-D 的余弦值为

b=6 时,a=3,c=3,∴P(?=1)=

5 .…………………………………………4 分 216

当?≥0 时,有 b≥3,b=3 时,ac≤2,有 3 种;b=4 时,ac≤4,有 9 种;b=5 时,ac≤6, 有 14 种;b=6 时,ac≤9,有 17 种,共计 43 种.∴?=1 的情形有 43-5=38 种,∴P(?=2) =
38 . 216

P(?=0)=1- P(?=1)-P(?=2)= ∴?的分布列为:

173 .…………………………………………6 分 216

?
P 数学期望 E?= 0 ?

0
173 216

1
5 216

2
38 216

173 5 38 81 3 ? 1? ? 2? ? ? .…………………………………8 分 216 216 216 216 8 43 173 1 ,…………………………10 分 ? 1? ?? 216 216 216

(Ⅱ)甲得枣的数学期望是 4 ? 乙得枣的数学期望是 1 ?

173 43 1 .……………………………………11 分 ? 4? ? 216 216 216

∴该游戏不公平,甲吃亏.………………………………………………………12 分 20. (Ⅰ)解:设左焦点 F 的坐标为(-c,0) ,其中 c= a 2 ? b 2 ,
理科数学试题 第 8 页 (共 10 页)

∵e=

c 3 5 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ,∴a= c,b= c.· a 5 3 3 4 5 4 c) ,B(- c,0) ,C(0,- c) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 3 3 3x 3 y x 3y · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 1 ,CF: ? ? ? 1 ,· 5c 4c c 4c 5 1 c, c) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 3 1 1 5 4 |xD|· |AC|=15,即 · c· 2· c=15, 2 2 4 3

∴A(0, ∴AB: ?

联立解得 D 点的坐标为(∵△ ADC 的面积为 15,∴

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? 1 .· 25 16 15 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,A 点的坐标为(0,4) ,D 点的坐标为(- ,1) .· · · · · · · · · · · 7分 4
解得 c=3,∴a=5,b=4,∴椭圆 C 的方程为 假设存在这样的两个圆 M 与圆 N,其中 AD 是圆 M 的弦,AC 是圆 N 的弦, 则点 M 在线段 AD 的垂直平分线上,点 N 在线段 AC 的垂直平分线 y=0 上.· · · · · · · 8分 当圆 M 和圆 N 是两个相外切的等圆时,一定有 A,M,N 在一条直线上,且 AM=AN. ∴M、N 关于点 A 对称,设 M(x1,y1) ,则 N(-x1,8-y1) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 根据点 N 在直线 y=0 上,∴y1=8.∴M(x1,8) ,N(-x1,0) , 而点 M 在线段 AD 的垂直平分线 y5 5 15 251 =- (x+ )上,可求得 x1=.· · · · · · 10 分 2 4 8 40

故存在这样的两个圆,且这两个圆的圆心坐标分别为 M(251 251 , 8) ,N( ,0) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 40 40

21. (Ⅰ)解:f(x)=alnx+x2 的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=

2 x2 ? a a +2x= .· · · · · · · · 1分 x x 当 x?[1,e]时,2x2?[2,2e2].· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 若 a≥-2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当 a=-2,x=-1 时,f′(x)=0) , 故 f(x)在[1,e]上单调递增,此时 f(x)min=f(1)=1;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
若-2e2<a<-2,令 f′(x)<0,解得 1≤x< 令 f′(x)>0,解得 ∴f(x)min=f(
?a ,此时 f(x)单调递减; 2

?a <x≤e,此时 f(x)单调递增, 2

?a a ?a a )= ln( ) ? ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 2 2 若 a≤-2e2,f′(x)在[1,e]上非正(仅当 a=-2e2,x=e 时,f′(x)=0) , 2 故 f(x)在[1,e]上单调递减,此时 f(x)min=f(e)=a+e .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

a ?a a 综上所述, 得 a≥-2 时, f (x) 相应的 x=1; 当-2e2<a<-2 时, f (x) )? , min=1, min= ln( 2 2 2
?a ;当 a≤-2e2 时,f(x)min=a+e2,相应的 x=e.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 (Ⅱ)解:不等式 f(x)≤(a+2)x 可化为 a(x-lnx)≥x2-2x. ∵x?[1,e],∴lnx≤1≤x 且等号不能同时成立,∴lnx<x,即 x-lnx>0,· · · · · · · · · · · · · · 8分

相应的 x=

因而 a≥

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) , x?[1, e], 令g (x) = (x?[1, e]) , 则 g( ′ x) = , ( x ? ln x) 2 x ? ln x x ? ln x
理科数学试题 第 9 页 (共 10 页)

当 x?[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 从而 g′(x)≥0(仅当 x=1 时取等号) ,∴g(x)在[1,e]上是增函数, 故 g(x)min=g(1)= -1,∴实数 a 的取值范围是[-1,+∞) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 1 1 22.解:∵AB=10,OE= AB.作 OH⊥CD 于 H,则 OH= OE, 7 2 CD=2 OC 2 ? OH 2 = AB 2 ?
47 2 AB.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 AB 2 = 49 7
1 1 1 1 45 AB- AB) ( AB+ AB)= AB2. 2 7 2 7 196 47 45 1 AB2- AB2= AB2=50.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 49 98 2

由相交弦定理知 CE· ED=AE· EB=( ∴CE2+ED2=(CE+ED)2-2CE· ED= 23. (Ⅰ)解:由?=

6 cos ? 得?sin2?=6cos?,?2sin2?=6?cos?,∴y2=6x. sin 2 ?

∴曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 上的抛物线.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
3 1 ? 3 5? ? x? ? t x ? ? t sin ? ? 2 2 ? 2 6 化为 ? (Ⅱ)解:将 ? ,代入 y2=6x 得 t2-4t-12=0(*) , ? ?y ? ? 3 t ? y ? ?t cos ? ? ? 6 ? ? 2

|AB|=|t1-t2|= (t2 ? t1 ) 2 ? 4t1t2 ? 42 ? 4 ? (?12) =8.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 或由(*)式解得 t1=6,t2=-2,|AB|=|t1-t2|=8. 或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可. 4 4 a a 4 24. (Ⅰ)解:由题设可得 b= 2 >0,∴a>0.∴a+b=a+ 2 = ? ? 2 ≥3, a a 2 2 a 当 a=2,b=1 时,a+b 取得最小值 3,∴m 的最大值为 3.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)解:要使 2|x-1|+|x|≤a+b 对任意的 a,b 恒成立,须且只须 2|x-1|+|x|≤3. 1 5 用零点区分法求得实数 x 的取值范围是- ≤x≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 3

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