高二数学阶段性测试题(选修2-2+2-3第一章)有详细答案


高二数学阶段性测试题
内容:选修 2-2 与 2-3 第一章 时间:2013-4-26

一、选择题

? 1? 1.复数 z ? ? i ? ? 的虚部为( ? i?
(A) 16 i (B) 32 i

5

D) (C) ?32 A (D) 32 ) (D)
? 2 e

2、已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( (A)
1 e

(B) ?

1 e

(C) B)

2 e

2 2 2 3. C2 ? C3 ? C4 ?

2 等于( ? C10

(A) 990
n

(B) 165

(C) 120

(D)55

2? ? 4 . ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大 , 则展开式中的常数项是 x ? ?
( A) (A)
180

(B)

90

(C) 45

(D) 360 A )

2] 上有根, 5. 若关于 x 的方程 x3 ? 3x ? m ? 0 在 [0, 则实数 m 的取值范围是 (
2] (A) [?2,

(B)

[0, 2]

0] (C) [?2,

(D)

(??, ? 2) (2, ? ?)

6、若 a, b ? R ,则复数 (a 2 ? 4a ? 5) ? (?b 2 ? 2b ? 6)i 表示的点在( (A)在第一象限 (B)在第二象限 (C)在第三象限

D



(D)在第四象限

7 、已知三角形的三边分别为 a, b, c ,内切圆的半径为 r ,则三角形的面积为
s? 1 ( a ? b ? c)r ; 四面体的四个面的面积分别为 s1 , s2 , s3 , s4 , 内切球的半径为 R 。 2

类比三角形的面积可得四面体的体积为(
1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 2 1 (C) V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 4

B



(A) V ?

1 (B) V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 3

(D) V ? (s1 ? s2 ? s3 ? s4 ) R

8.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( B (A)男生 2 人,女生 6 人 (C)男生 5 人,女生 3 人 (B)男生 3 人,女生 5 人 (D)男生 6 人,女生 2 人. )

9、如图是函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的大致
2 图象,则 x12 ? x2 等于(

C


8 3

(A)

2 3

(B)

4 3

(C)

(D)

12 3

10、对于函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ,给出下列四个命题:① f ( x) 是增函数,无极值; ② f ( x) 是减函数,有极值;③ f ( x) 在区间 (??,0] 及 [2,??) 上是增函数;④ f ( x) 有极大值为 0 ,极小值 ? 4 ;其中正确命题的个数为( (A) 1 二、填空题 11. (1 ? 2x)5 (2 ? x) 的展开式中 x 3 的项的系数是________ -120___ 12. A、B、C、D、E 五人并排站成一排,若 A,B 必须相邻,且 B 在 A 的左边, 那么不同的排法共有 24 种 (B) 2 (C) 3 B )

(D) 4

13、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去, 则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可 以是

an ? 2n ? 1
2

.

14.若函数 f ( x) ? 围是

4x ?m ? 1) 上是单调递增函数, 在区间 (m, 则实数 m 的取值范 x ?1 ?1 ? m ≤ 0

15.已知 100 件产品中有 10 件次品,从中任取 3 件,则任意取出的 3 件产品中次品数的数学 期望为 0.3, ,方差为 0.2645

三、解答题

16.复平面内,点 Z 1 、 Z 2 分别对应复数 z 1 、 z 2 ,且 z1 ?
(其中a ? R ) ,若 z1

3 2 ? (10 ? a 2 )i , z2 ? ? (2a ? 5)i , a?5 1? a

? z 2 可以与任意实数比较大小,求 OZ1 ? OZ2 的值(O 为坐标原点).

17.某厂工人在 2013 年里有 1 个季度完成生产任务,则得奖金 300 元;如果有 2 个季度完 成生产任务,则可得奖金 750 元;如果有 3 个季度完成生产任务,则可得奖金 1260 元;如 果有 4 个季度完成生产任务,可得奖金 1800 元;如果工人四个季度都未完成任务,则没有 奖金,假设某工人每季度完成任务与否是等可能的,求他在 2013 年一年里所得奖金的分布 列. 17 解:设该工人在 2013 年一年里所得奖金为 X,则 X 是一个离散型随机变量.由于该工人 每季度完成任务与否是等可能的,所以他每季度完成任务的概率等于
1 1 ?1? ?1? 1?1? ?1? P( X ? 0) ? C ? ? ? ? ? , P( X ? 300) ? C4 ? ? ? ? ? , ? 2 ? ? 2 ? 16 ?2? ?2? 4
0 4 0 4 1 3

1 ,所以, 2

3 2?1? ?1? P( X ? 750) ? C4 ? ? ? ? ? 2 2 8 ? ? ? ? 1 4?1? ?1? P( X ? 1800) ? C4 ? ? ? ? ? . ? 2 ? ? 2 ? 16
4 0

2

2



1 3?1? ?1? P( X ? 1260) ? C4 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 4

3

1



∴其分布列为 X P
0 30 0 75 0 126 0 180 0

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

18. 已知 f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n (m,n ? N? ) 的展开式中 x 的系数为 19, 求 f ( x) 的展开式中 x2 的系数的最小值.
1 2 2 解: f ( x) ? 1 ? Cm x ? Cm x ? m m 1 2 2 ? Cm x ? 1 ? Cn x ? Cn x ? n n ? Cn x

1 1 2 2 ? 2 ? (Cm ? Cn ) x ? (Cm ? Cn ) x2 ?



由题意 m ? n ? 19 , m,n ? N? .
m(m ? 1) n(n ? 1) ? 19 ? 19 ? 17 ∴ x 项的系数为 C ? C ? ? ? ?m ? ? ? . 2 2 2? 4 ?
2

2

2 m

2 n

根据二次函数知识, 当 m ? 9 或 10 时, 上式有最小值, 也就是当 m ? 9 ,n ? 10 ∵ m,n ? N? ,

或 m ? 10 , n ? 9 时, x2 项的系数取得最小值,最小值为 81.

19. “中国式过马路” 存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对 “中国式过马路 ” 的态度是否与性别有关, 从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查, 得到了如下列联表: 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感 “中国式过马路 ” 的路人的概率是

8 .(Ⅰ)请将上 15

面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并据此资料分析反 感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (Ⅱ)若从这 30 人中的女性路人 中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人 .... 数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

男性 反感 (Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16 不反感 合计 女性 6 8 14 10

女性 8

合计

30 合计 16 14 30 ?????3 分

设 H 0 :反感“中国式过马路 ”与性别与否无关 由已知数据得: ? ?
2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ???6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

2 1 C8 C1 4 48 6C8 ? , P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C14 13 C14 91 2 C6 15 ? , 2 C14 91

P( X ? 2) ?

?ks5u?9 分

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

15 48 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7

P

4 13

?????13 分

20、若 xi ? 0(i ? 1,2,3,?, n) ,观察下列不等式:
( x1 ? x2 )( 1 1 1 1 1 ? ) ? 4 , ( x1 ? x2 ? x3 )( ? ? )?9 , … , 请 你 猜 测 x1 x2 x1 x2 x3

( x1 ? x2 ? ? ? xn )(

1 1 1 ? ? ? ? ) 将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。 x1 x2 xn 1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) ,证明 x1 x2 xn

20 解:将满足的不等式为 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( 如下:
1 0 当 n ? 2 时,结论成立;

2 0 假设 n ? k 时,结论成立,即 ( x1 ? x2 ? ? ? xk )(

1 1 1 ? ??? ) ? k 2 x1 x2 xk

那么,当 n ? k ? 1 时, ( x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 )(

1 1 1 1 ? ??? ? )? x1 x2 xk xk ?1

( x1 ? x2 ? ? ? xk )(

1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ) ? ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ? xk ?1 ( ? x1 x 2 x1 x2 xk xk ?1

?

1 1 1 1 ) ? 1 ? k 2 ? 2 ( x1 ? x2 ? ? ? xk )( ? ? ? ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2 xk x1 x2 xk
显然,当 n ? k ? 1 时,结论成立。

由 1 0 、 2 0 知对于大于 2 的整数 n , ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( 21、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x . (Ⅰ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最小值?

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 成立。 x1 x2 xn

(Ⅱ)设 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围

21 解析: (1)略 (2)由 f / ( x) ? (2x ? 2a)e x ? ( x 2 ? 2ax)e x ? e x [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a] 令 f / ( x) ? 0 ,即 x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 ? 1 ? a 2 , x2 ? a ? 1 ?

1 ? a 2 ,其中 x1 ? x 2
当 x 变化时, f / ( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:
x

(??, x1 )
?

x1
0

( x1 , x 2 )
?

x2
0

( x2 ,??)
?

f / ( x)
f ( x)

极大值

极小值

当 a ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 上单调递减; 由 此 可 得 : f ( x) 在 [ ?1,1] 上 是 单 调 函 数 的 充 要 条 件 为 x2 ? 1 , 即

a ? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,解得 a ?

3 ; 4 3 即所求 a 的取值范围为 [ ,?? ) ; 4


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