二元一次不等式解法


一元二次不等式的解法(1)

复习提问:
(1)如何解一元二次方程?

ax + bx + c = 0(a ? 0)
2

(2)二次函数 y = ax2 + bx + c(a ? 0) 的图象是 什么曲线?
2 ax + bx + c = 0(a ? 0) (3)一元二次方程

的解与二次函数 y = ax2 + bx + c(a ? 0) 有什么联系?

的图象

一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解实
2

际上就是二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

与x轴交点的横坐标。 下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。

例1:解不等式: x2-2x-15≥0
解:∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0

方程x2-2x-15=0

y

的两根为: x=-3,或x=5 ∴ 不等式的解集为: {x│ x ≤-3 或x ≥5}。

-3 0




5 x

设y=ax2+bx+c (a>0),且设方程y=0在 △>0时的两个根分别是x1、x2,且x1<

x2。

下面我们一起来看下表:

△=b2-4ac

△>0

△=0

△<0

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

y
O
x1 x2

y
x
1

y
x x=-b/2a
O

(a ? 0)的图像

O

x
R ? R ?

y>0的解集 ?x x ? x 或x ? x ?
2

? b? x ? R x ? ? ? ? 2 a ? ?

y<0的解集 ?x x1 ? x ? x2 ? y ≥0的解 集 y ≤0的解 集

? R R

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

?x x

1

? x ? x2 ?

练习1.解不等式4x2-4x+1>0 解: ∵ △=0,方程4x2-4x+1=0的 解是x1= x2=1/2

∴不等式的解是 x≠1/2
练习2.解不等式-x2+2x-3>0 解:整理得x2-2x+3<0 ∵ △<0,方程x2-2x+3=0 无实解, ∴原不等式无实解。

1/2

X X

练习3.解不等式2x2-3x-2>0 解:∵ △>0,方程2x2-3x-2=0的 解是 x1=-1/2 , x2=2 ∴不等式的解集是 -1/2 2 X {x|x<-1/2,或x>2} 练习4.解不等式-5x2+6x>1
1/5 1 X

解:整理得,5x2-6x+1<0 ∵ △>0,方程5x2-6x+1=0 的解是x1=1/5 , x2=1 ∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}

解一元二次不等式的方法步骤是: 方法1:数形结合 步骤:(1)化成标准形式 (a>0):
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
(2)求? ,解方程,画图象; (3)根据图象写出解集

解不等式: 3x 2 ? 7 x ? 10 ≤ 0 (可用同解变形法) 解:∵ 3x 2 ? 7 x ? 10 ≤ 0 ? (3x ? 10)( x ? 1) ≤ 0
?3x ? 10 ≤ 0 ?3x ?10 ≥ 0 ?? ( Ⅰ ) 或 ? (Ⅱ ) ?x ?1 ≥ 0 ?x ?1 ≤ 0 由(Ⅰ)解得 ?1 ≤ x ≤ 10 ;由(Ⅱ)解得 3

x 不存在.

10 ? . ∴原不等式的解集为 ? ? x ?1 ≤ x ≤ ?

其实质是符号规律,见下表: x ? ?1 代数式

?

3?

x ?1 3 x ? 10 (3x ?10)( x ? 1)

?

? ?

10 ?1 ? x ? 3

10 x? 3

?

? ?

? ? ?

零点分段 判断符号 情况

x?3 ?0 例 2,解分式不等式: x?7 解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段

∴由上面分析可知原不等式的解集为 ? x x ? ?7 或 x ? 3?

代数式 x?7 x?3 x?3 x?7

x ? ?7

?

? ?

?7 ? x ? 3

x?3

?

? ?

? ? ?

注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集

看谁更快,写出下列不等式的解集:
x?2 ?0 ⑴ 2x ? 5
? 5? ? x ?2 ? x ? ? 2? ?

3x ? 2 ≥0 ⑵ x ?1

? 2? ? x x ? ?1 或 x ≥ ? 3? ?
x ≥0 ⑷ 2x ?1

2? x ?0 ⑶ x?3

?x x ? ?3 或

x ? 2?

? 1 ? ? x x ? ? 或 x ≥ 0? 2 ? ?

解一元二次不等式或分式不等式的方 法步骤是: 方法2 序轴标根法 步骤:(1)化成因式相乘或相除的形式, 且每个因式中x的最高次数为1,系数 必须是正数
(2)求出对应方程的根并在序轴上表 示出来,用穿针引线标出各部分正负 (3)根据序轴写出解集

作业:
1.解不等式 (1)4x2-4x+1>0 (3)2x2-3x-2>0

(2)-x2+2x-3>0
(4)-5x2+6x>1

2. 试解下列不等式: x ?1 ⑴ 3x ? 2 ⑵ ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 (3 x ? 2)(3 ? x ) ≤0 ⑶ x?2

? 2? 1. ? x ?1 ? x ? ? ? 3? ? 2. ? x ?3 ? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 2? ? 2 ? 3. ? x ?2 ? x ≤ - 或 x ≥ 3? 3 ? ?

二、二次不等式的简单应用
例3: 解不等式 x2-2│x│ x - - 15≥0 15≥0
分析1:不同于x2-2x-15≥0的根本点在于不 等式中含│x│,由于│x│ 2 = x2 ,则可以通过换 元令│x│ =t,将不等式转化为t 2-2 t -15≥0求解。

解法1:(换元法) 设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为 t2 -2t-15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤-3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 } ∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 }。

例3:解不等式: x2-2│x│-15≥0
分析2:也可用绝对值定义去掉绝对值 将不等式转化为不含绝对值的求解。 解法2:当x>0时, 原不等式可化为x2 -2x-15≥0 则不等式的解为x≥5或 x≤-3 ∵ x> 0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } 当x ≤0时, 原不等式可化为x2 +2x-15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤-5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤-5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 }。

例4 . 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值.
分析:二次不等式的解是通过二次方程的 根来确定的, 由此可以理解为 a x2 +bx+6=0 的根为-2,3。

解:由条件可知 : 方程a x2 +bx+6=0的根-2,3 又解在两根之间; ∴a<0 ∵ 6 /a = -2× 3= -6 ∴ a=-1 ∵ b /a = -2+3=1 ∴ b=1 则a-b=-2

例4 . 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值. 另解:由条件可知 : 方程 a x2 +bx+6=0的根-2、3 , 代入方程可得:
4a-2b+6=0 9a+3b+6=0 解方程组得: a=-1 b=1 则a-b=-2

练习:已知不等式ax2 + bx + 2>0
1 1 的解为? ? x ? 求2x2 + bx + a<0的解. 2 3

1 1 由题意 ? , 是方程ax2 ? bx ? 2 ? 0的两根, 2 3 则a ? 0

b ? 1 1 ? ? ?? ? ? 2 3 a ?? ?? 1 ? 1 ? b ? ? 2 3 a

∴a = -12 b = -2

∴不等式2x2 + bx + a<0 即2x2 -2x -12 <0其解集为{x | -2<x<3}。

例5.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点, 且不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 (-1/2 , 1/3 ), 求 a, b, c 的取值范围.
解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -25=0 有实根. ∴
△=b2-4a(c -25)≥0.

1 1 又不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(- 2 , 3), b 1 c 1 ∴ a<0, 且有 - a =- 6 , a =- 6 . 1 ∴ b= 1 a , c = 6 a>0. 6 ∴ b=-c, 代入 b2-4a(c -25)≥0 得: c2+24c(c -25)≥0. 解得: c≥24. ∴ b≤-24, a≤-144. 故 a, b, c 的取值范围分别是 a≤-144, b≤-24, c≥24.

例6、已知集合A={x│ x2 -(a+1)x+a≤0 } , B={x│1≤x≤3},若A∩B=A , 求实数a取值范围。
分析: 观察不难发现:a、1是 x2 -(a+1)x +a=0的根. 解:A ∩B=A,则 A B 若a=1 , 则A={ 1 },满足条件 ; ∴a =1 若a>1 , 则A={ x│ 1≤x≤a } ,
A
B 3 a 若a<1 , 则 A={ x │ a ≤ x≤ 1 }, 1 B



则 1 < a≤3
X

A

X 1 3

a

那么, A不可能是B的子集 ; ∴a取值范围是1≤a≤3

课堂小结:
解一元二次不等式的方法步骤是: 方法:数形结合 步骤:(1)化成标准形式 (a>0):
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
(2)求⊿,解方程,画图象; (3)根据图象写出解集

序轴标根法

练习: 函数f(x)= lg(kx2 -6kx+k+8) 的定义域为 R , 求k的取值范围
分析:令u= kx2 -6kx+k+8, 函数f(x) 的定义域为R

对任意的x,u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0
函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方

解:∵f(x)= 的定义域为R , ∴ k ≥ 0 当k=0时,f(x)=lg8 满足条件. 当k> 0时,∴只要△ < 0 即△=(6k)2-4k(k+8) 0 2 =32k -32K< 0 ∴0<k<1 ∴f(x)的定义域为R时, k的取值范围为 ?0,1?

lg(kx2 -6kx+k+8)

U

X

思考
变式:函数f(x)= lg(kx2 -6kx+k+8)的 值域为 R , 求k的取值范围。


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