等比数列的前n项和教学设计 马宇鲲


等比数列的前 n 项和教学设计
(一)创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印

马宇鲲

度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒 小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格。国王令宫廷数学家计 算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? 【设计意图】:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学 生的兴趣,调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。 此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引 导学生写出麦粒总数 。带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 依次算出各项的值,然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。 【设计意图】:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍 不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律: 求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生 难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。同时,形成 繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔。 (二)师生互动,探究问题
63 什 么 数 列 ? 有 何 特 征 ? 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +2是 63 应归结为什么数学问题呢? 1+ 2 + 2 + 2 + ?????? +2 【学情预设】:探讨 1:设 S64 =1+ 2 + 22 + ,记为 23 + ??? + 263

在肯定他们的思路后,我接着问:
2 3

(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则有 发现? 【设计意图】:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思 议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。 经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同 的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到: 纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 【设计意图】:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了!让学生在探索 过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。 (三)类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化, 设等比数列 {an } , 首项为 a1 , 公比为 q , 如何求前 n 项和 Sn ? 这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导。 【设计意图】:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学生自己探究 公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 。老师指出:这就是错位相减法,并要求学生 S64 ? 264 ? 1
64 2S64 = 2 + 22 + 23 + ??? + 263 +22 ,记为( )式。比较( 1)(2)两式,你有什么

【学情预设】:在学生推导完成后,我再问:由

(1- q)sn = a1 - a1qn 得 sn =

a1 - a1q n 1- q

对不

对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1? q

? 1 时是什么数列?此

时 Sn

? ?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下
? a1qn?1 ,如何把 Sn 用 a1 、an 、q 表

基础。)再次追问:结合等比数列的通项公式 an 示出来?(引导学生得出公式的另一形式) 【设计意图】:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认

识,完善知识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、 类比和综合的能力。这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙 用。 (四)讨论交流,延伸拓展 在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其 它方法吗?我们知道,

sn = a1 +a1q+a1q2 +?+a1qn-1

= a1 +q(a1 +a1q+?+a1qn-2 ) 那么我们能否利用这个关系而求出 Sn 呢?根据等比数列的定
a2 a3 a4 an = = = ?= =q an-1 义又有 a1 a2 a3 ,能否联想到等比定理从而求出 Sn 呢?
【设计意图】:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以 上两种方法都可以化归到 Sn

? a1 ? qSn?1 ,

这其实就是关于 Sn 的一个递推式, 递推数

列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于 课本,对学生的思维发展有促进作用. (五)变式训练,深化认识 例 1:求等比数列 变式

1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前 8 项和; 2 4 8 16 63 1 1 1 1 、等比数列 , , , , ??? 前多少项的和是 ; 64 2 4 8 16

首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同学进行评价,然后师 生共同进行总结。 【设计意图】:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认 识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学 认知结构的形成。通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识。 (六)例题讲解,形成技能 例 2:求和 1+ a + a
2

+ a3 +?+ a n-1 【设计意图】:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点

拨,该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。 (七)总结归纳,加深理解以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后 老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。【设计意图】:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能 力。 (八)故事结束,首尾呼应最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年 粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺。 于学生克服疲倦、继续积极思维。 (九)课后作业,分层练习 【设计意图】:把引入课题时的悬念给予释疑,有助

必做:P66 练习 1:(1)、(2);2 选作:思考题:(1)求和 x+2x
2

+3x3 +?+nxn .

(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请 问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少?【设计意图】:出选作题的目的是注意分层教学和因材教, 让学有余力的学生有思考的空间。 七、教学反思:对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的 成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,我采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为 呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。


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