第二章基本初等函数(合用)


第二章 基本初等函数(Ⅰ) §2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
自主学习 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性. 2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 1.如果______________________,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. n 2.式子 a叫做________,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. n 3.(1)n∈N*时,( a)n=________. n n (2)n 为正奇数时, an=________;n 为正偶数时, an=________. 4.分数指数幂的定义: m (1)规定正数的正分数指数幂的意义是:a =__________(a>0,m、n∈N*,且 n>1); n m (2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a- =______(a>0,m、n∈N*,且 n>1); n (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分数指数幂________________. 5.有理数指数幂的运算性质: (1)aras=________(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=________(a>0,r、s∈Q); (3)(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 对点讲练 根式与分数指数幂的互化 【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中 a>0)的化简结果: 3 (1)a3· a2; (2) a a; (3) 3 3 1 1 - - a · a 3· ?a 5?- ?a- ?13. 2 2 2

m n 规律方法 此类问题应熟练应用 a = am (a>0,m,n∈N*,且 n>1).当所求根式含有 n 多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 变式迁移 1 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1) 1 3 5 x? x2?2 ; (2)( 4 2 2 b- )- (b>0). 3 3

1

利用幂的运算性质化简、求值 【例 2】 计算(或化简)下列各式: 2 + - (1)4 2 1· 23 2 2· 8- ; 3 1 ? 7?0 4 1 - (2)(0.064)- -?-8? +[(-2)3]- +16 0.75+|-0.01| ; 3 3 2 1 1 a+b-2a · b 2 2 a-b (3) - (a>0,b>0). 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2

规律方法 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.利用 1 乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题,是简化运算的常用方法,熟练掌握 a = (a )2 2 1 b b b b (a>0),a=(a )3 以及 ab-a-b=(a +a- )· (a -a- )等变形. 3 2 2 2 2 7 1 4 3 - ?0+80.25× 2+( 2× 3)6- 变式迁移 2 求值:1.5- ×? 3 ? 6?

?-2?2. ? 3?3

灵活应用——整体代入法 1 1 x -y 2 2 【例 3】 已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 的值. 1 1 x +y 2 2

规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要, 也是高中数学的一种重要的解题 思想、解题方法,它反映了我们“把握全局”的能力.解题过程中不宜求出 x、y 后再代入, 而应考虑把 x+y 及 xy 整体代入求值.

2

3 3 x +x- +2 2 2 1 1 变式迁移 3 已知 x +x- =3,求 的值. - 2 2 x+x 1+3

1.理解好方根的概念,是进行根式的计算和化简的关键. 2.将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键. 3.正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用,只是底数的范围缩小为 a>0.(想 一想,为什么?) 课时作业 一、选择题 1.下列根式与分数指数幂互化中正确的是( ) 1 A.- x=(-x) (x≠0) 2 1 3 B.x- =- x(x≠0) 3

4 y3 x 3 1 6 C.( )- = ? ? (xy>0) D. y2=y (y<0) y 4 x 3 1 + + ?2n 1?2×? ?2n 1 2 2.计算 (n∈N*)的结果为( ) - 4n×8 2 1 1 - + A. 4 B.22n 5 C.2n2-2n+6 D.( )2n 7 6 2 3 4 4 62 3 62 3.( a)· ( a ) 等于( A.a B.a2 ) C.a3

D.a4

5 - 4.把根式-2 ?a-b? 2改写成分数指数幂的形式为( ) 2 5 2 2 5 5 A.-2(a-b)- B.-2(a-b)- C.-2(a- -b- ) D.-2(a- -b- ) 5 2 5 5 2 2 4 1 ? 1 1 1?2 - a b 的结果是( 5.化简(a b )÷ ) 3 2 ? 3 6 4? A.6a B.-a C.-9a D.9a 二、填空题 -x3 2 6.计算:64- 的值是________. 7.化简 的结果是________. 3 x - 8.设 5x=4,5y=2,则 52x y=________. 三、解答题 9.化简求值: 3 (1)( a-1)2+ ?1-a?2+ ?1-a?3; 3 -8 3 15 3 7 -3 - - a ÷ a a ÷ a 3 a 1; 2 1 1 3 - ?-2+256 -3-1+( 2-1)0. (3)(0.027)- -? 3 ? 7? 4 (2) a 3

10.(1)若 2x+2 x=3,求 8x+8 x 的值;
- -

3

2 2 1 3 a +3 ab+9b a 3 3 3 8 17 (2)已知 a=- ,b= ,求 ÷ 的值. 27 71 4 1 3 3 a -27a b a-3 b 3 3

第二章 基本初等函数(Ⅰ) § 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 答案
自学导引 1.xn=a(n>1,且 n∈N*) 2.根式 3.(1)a (2)a |a| 1 n 4.(1) am (2) (3)0 没有意义 m a n r+s rs 5.(1)a (2)a (3)arbr 对点讲练 2 2 11 3 (1)a3· a2=a3· a =a3+ =a . 3 3 3 11 31 3 (2) a a=(a· a ) =(a ) =a . 22 22 4 3 3 1 -5 1 1 1 (3)原式=(a · a- ) · [(a )- · (a- )13] 2 23 2 2 2 1 5 13 1 =(a0) · (a · a- ) 3 2 2 2 1 =(a-4) =a-2. 2 1 1 1 变式迁移 1 解 (1)原式= = = 3 3 2 4 3 9 x· ?x ?2 x· x x 5 5 5 1 1 3 = = =x- . 91 3 5 ?x ? x 53 5 2 21 2 2 1 1 - ?=b . (2)原式=[(b- ) ]- =b- × ×? 34 3 3 4 ? 3? 9 2 【例 2】 解 (1)原式=(22) 2+1· 23-2 2· (23)- 3 【例 1】 解 =22 =22
2+2

· 23-2

2

· 2-2

=23=8. 1 1 (2)原式=[(0.4)3]- -1+(-2)-4+2-3+[(0.1)2] 3 2 1 1 143 =(0.4)-1-1+ + +0.1= . 16 8 80 1 1 1 1 1 1 ?a +b ??a -b ? ?a -b ?2 2 2 2 2 2 2 (3)原式= - 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2
2+2+3-2 2-2

4

1 1 1 1 =a -b -(a -b )=0. 2 2 2 2 变式迁移 2 解 原式= 2?2 1 1 3 1 ×1+2 ×2 +22×33-? 3?3×2 ? 3 4 4 1 ? ? ?2?3

2?1 ?2?1 =? ?3?3+2+108-?3?3=110. 1 1 1 1 x -y ?x -y ?2 2 2 2 2 【例 3】 解 = 1 1 1 1 1 1 x +y ?x +y ??x -y ? 2 2 2 2 2 2 1 ?x+y?-2?xy? 2 = . ① x-y ∵x+y=12,xy=9, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy =122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3. ③ 将②、③式代入式①得 1 1 1 x -y 12-2×9 2 2 2 3 = =- . 1 1 3 -6 3 x +y 2 2 1 1 变式迁移 3 解 ∵x +x- =3, 2 2 1 12 ∴(x +x- ) =9,即 x+x-1+2=9, 2 2 ∴x+x-1=7,x+x-1+3=10. 3 3 1 1 ∵x +x- =(x )3+(x- )3 2 2 2 2 1 1 1 1 -1 =(x +x- )(x-x · x- +x ) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, 3 3 ∴x +x- +2=20, 2 2 3 3 x +x- +2 2 2 20 ∴ = =2. 1 10 - x+x +3 课时作业 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1 6. 16 2 2 1 解析 64- =(26)- =2-4= . 3 3 16 7.- -x 解析 由题意知 x<0, -x3 =- x 8.8 ∴ -x3 =- x2 -x. ②

5

解析 52x-y=(5x)2· (5y)-1=42· 2-1=8. 9.解 (1)由题意知,a>1, ∴原式=a-1+(a-1)+1-a=a-1. (2)原式= 3 = a2÷ 3 7 3 a a- ÷ 2 2 8 15 3 3 1 a- a ÷ a- a- 3 3 2 2

7 3 a ÷ a-2 3 2 7 1 -2 1 =a ÷ (a ) ÷ (a ) 3 32 3 2 7 2 =a ÷ a ÷ a- 3 6 3 2 7 2 1 =a - -(- )=a . 3 6 3 6 1 3 1 (3)原式=(0.33)- -(-7-1)-2+(44) - +1 3 4 3 10 1 = -49+64- +1=19. 3 3 10.解 (1)∵8x+8-x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)[(2x)2-2x· 2-x+(2-x)2] =3[(2x+2-x)2-3· 2x· 2-x] =3×(32-3)=18. (2)∵a≠0,a-27b≠0 2 1 1 1 1 1 a +3a b +?3b ?2 a -3b 3 3 3 3 3 3 ∴原式= × 1 1 a ?a-27b? a 3 3 1 1 ?a ?3-?3b ?3 3 3 2 = =a- 2 3 a ?a-27b? 3 8 2 2 3 9 =(- )- =(- )-2=(- )2= . 27 3 3 2 4

6

2.1.2

指数函数及其性质(一)
自主学习

1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否为指数函数. 2.掌握指数函数的图象和性质. 1.指数函数的概念 一般地,______________________叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 ________. 2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

性 质

定义域 值域 过定点 函数值 的变化 单调性

R (0,+∞) 过点________,即 x=________时,y=________ 当 x>0 时,________; 当 x>0 时,________; 当 x<0 时,________ 当 x<0 时,________ 是 R 上的__________ 是 R 上的__________ 对点讲练

指数函数定义的应用 【例 1】 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求 a 的值.

规律方法 判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断; (2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数

7

必须是自变量 x. 变式迁移 1 指出下列函数哪些是指数函数? 1 (1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=(2a-1)x (a> 且 a≠1); 2 - (6)y=4 x. 指数函数的图象问题 【例 2】 如图所示是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 变式迁移 2 若-1<x<0,则下列不等式中成立的是( ) - - A.5 x<5x<0.5x B.5x<0.5x<5 x - - C.5x<5 x<0.5x D.0.5x<5 x<5x 求定义域、值域问题 【例 3】 求下列函数的定义域和值域: 1 2- 1 (1)y=2 ; (2)y=( ) |x|; (3)y=( )2x-x2. 3 2 x-4

规律方法 (1)由于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域是 R,所以函数 y=af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同. (2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求, 并利用好指数函数的单调性. 变式迁移 3 求下列函数的定义域和值域: 1?x (1)y=3 x-2; (2)y= 1-? ?2? .

8

1.对于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),其底数 a 越接近 1,其图象就越接近直线 y=1. 2.指数幂 ax 和 1 的比较: 当 x<0,a<1 或 x>0,a>1 时,ax>1,即指数 x 和 0 比较,底数 a 和 1 比较,当不等号的 方向相同 时,ax 大 于 1,简称为“同大 ”. . . .. 当 x<0,a>1 或 x>0,a<1 时,ax<1,即指数 x 和 0 比较,底数 a 和 1 比较,当不等号的 方向相反(异 )时,ax 小 于 1,简称为“异小 ”. . . .. 因此简称为“同大异小”. 课时作业 一、选择题 1.下列函数中①y=2x2;②y=4x;③y=32x;④y=3×2x;⑤y=3x+1; ⑥y=-3x,一定是指数函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D .3 2.值域为(0,+∞)的函数是( ) 1?1-x 1 A.y=5 B.y=? 3? ? 2-x ?1?x-1 C.y= 1-2x D.y= ?2? |x| 3.函数 y=a (a>1)的图象是( )

4.函数 f(x)=ax

-b

的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是(

)

A.a>1,b<0 B.0<a<1,b>0 C.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 二、填空题 - 5.函数 y=ax 5+1 (a≠0)的图象必经过点________. 6.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是________. 7.下列说法中正确的是________.(填序号) - - ①任取 x∈R,都有 3x>2x ②当 a>1 时,任取 x∈R,都有 ax>a x ③y=( 3) x 是增函 -x |x| x 数 ④y=2 的最小值为 1 ⑤在同一坐标系中,y=5 与 y=5 的图象关于 y 轴对称. 三、解答题 8.若函数 f(x)=ax-1(a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数 a 的值.

9

ex a 9.设 f(x)= + x是 R 上的函数,请问:f(x)可能是奇函数吗? a e

2.1.2

指数函数及其性质(一)

答案

自学导引 1.函数 y=ax (a>0,且 a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 对点讲练 【例 1】 解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,
2 ? ?a -3a+3=1 可得? , a >0 且 a ≠ 1 ? ?

?a=1或a=2 ? 解得? , ? ?a>0且a≠1
∴a=2. 1?x 变式迁移 1 解 (1)、 (5)、 (6)为指数函数. 其中(6)y=4-x=? 符合指数函数的定义. ?4? , (2)中底数 x 不是常数,4 不是变数;(3)是-1 与指数函数 4x 的乘积;(4)中底数-4<0, 所以不是指数函数. 【例 2】 B [方法一 当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且在第一象限内,底数 越大,图象越靠近 y 轴;当底数大于 0 且小于 1 时,图象下降,且在第一象限内,底数越小, 图象越靠近 x 轴,故可知 b<a<1<d<c,选 B. 方法二 令 x=1,由图象知 c>d>a>b, ∴b<a<1<d<c,选 B.] 1 1 1 变式迁移 2 B [-1<x<0,5-x>1,0<5x<1,而 0.5x=( )x>1,又( )x>( )x, 2 5 2 ∴5-x>0.5x>5x. 也可直接利用图象特征.] 【例 3】 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4,
10

∴函数的定义域为{x∈R|x≠4}. 1 1 ∵x-4≠0,即 ≠0,∴2 ≠1. x-4 x-4 故函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}. (2)定义域为 R. ∵|x|≥0, 2 ∴y=( )-|x|的值域为{y|y≥1}. 3 (3)显然定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 且 y=( )x 为减函数, 2 1 1 1 ∴( )2x-x2≥( )1= . 2 2 2 1 1 故函数 y=( )2x-x2 的值域为[ ,+∞). 2 2 变式迁移 3 解 (1)定义域为[2,+∞), ∵ x-2≥0,
x-2

∴y=3

≥1,

∴值域为[1,+∞). 1?x (2)∵1-? ?2? ≥0, 1?x ∴? ?2? ≤1,即 x≥0, 1?x ∴函数 y= 1-? ?2? 的定义域为[0,+∞). 1?x 令 t=? ?2? , ∴0<t≤1, ∴0≤1-t<1, ∴0≤ ∴y= 1-t<1, 1?x 1-? ?2? 的值域为[0,1).

课时作业 1.B 2.B [∵B 中定义域为 R,1-x∈R, 1?1-x ∴y=? ?3? >0.] 3.B 4.D [0<a<1,当 x=0,0<f(0)=a-b<1, ∴-b>0,b<0, 即 0<a<1,b<0.] 5.(5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1), 即 a0=1,
11

由此变形得 a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2). 6.(0,1) 解析 由 ax-1≥0,得 ax≥1. 根据指数函数的性质知 a∈(0,1). 7.④⑤ 8.解 当 a>1 时,f(x)在[0,2]上递增,
0 ? ? ?f?0?=0 ?a -1=0 ∴? ,即? , 2 f ? 2 ? = 2 a - 1 = 2 ? ? ? ?

∴a=± 3. 又 a>1, ∴a= 3, 当 0<a<1 时,f(x)在[0,2]上递减,
0 ? ? ?f?0?=2 ?a -1=2 ∴? ,即? , 2 ?f?2?=0 ? ? ?a -1=0

解得 a∈?, 综上所述,a= 3. 9.解 假设 f(x)在 R 上是奇函数,所以有 f(x)+f(-x)=0, e-x a ex a 即( + x)+( + x)=0. a e a e- 1 1 1 ∴( +a)· ex+( +a)·x=0, a a e 1 1 即( +a)· (ex+ x)=0. a e 1 ∵x∈R,∴ +a=0, a ∴a2+1=0,显然该方程无解. ex a 从而 f(x)= + x在 R 上不可能为奇函数. a e

2.1.2

指数函数及其性质(二)
自主学习

1.理解指数函数的单调性与底数 a 的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题. 2.理解指数函数的底数 a 对函数图象的影响. 基础自测 1.下列一定是指数函数的是( ) x A.y=-3 B.y=xx(x>0,且 x≠1) x C.y=(a-2) (a>3) D.y=(1- 2)x 2. 指数函数 y=ax 与 y=bx 的图象如图,则( )

12

A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 x 3.函数 y=π 的值域是( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.R D.(-∞,0) x 4.若指数函数 f(x)=(a+1) 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围为( ) A.a<2 B.a>2 C.-1<a<0 D.0<a<1 对点讲练 比较大小问题 【例 1】 比较下列各题中两个值的大小: - - (1)3π 与 33.14; (2)0.99 1.01 与 0.99 1.11; (3)1.40.1 与 0.90.3.

规律方法 比较两指数大小时,若底数相同,则先构造出该底数的指数函数,然后利用 单调性比较;若底数不同,则考虑选择中间量,通常选择“1”作为中间量. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 变式迁移 1 比较? ?3?3,23,?-3? ,?4?2的大小.

解简单的指数不等式 【例 2】 如果 a2x 1≤ax 5(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围.
+ -

规律方法 解 af(x)>ag(x)(a>0 且 a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它的一般 步骤为

13

变式迁移 2 已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1 x,则 x 的取值范围是____________.


指数函数的最值问题 a 【例 3】 (1)函数 f(x)=ax(a>0, 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 , 求 a 的值; 2 (2)如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在[-1,1]上有最大值 14,试求 a 的值.

规律方法

指数函数 y=ax(a>1)为单调增函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值,

当 x=s 时,函数有最小值 as;当 x=t 时,函数有最大值 at.指数函数 y=ax(0<a<1)为单调减 函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值,当 x=s 时,函数有最大值 as;当 x=t 时,函数 有最小值 at. 变式迁移 3 (1)函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值; 1 (2)0≤x≤2,求函数 y=4x- -3· 2x+5 的最大值和最小值. 2

1.指数函数的定义及图象是本节的关键.通过图象可以求函数的值域及单调区间. 2.利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时,直接利用指数函数的单调性比较大小. (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时,可利用两个指数函数的图象比较它们 的大小. (3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时,可考虑能否利用“媒介”数来 比较它们的大小. 3.通过本节的学习,进一步体会分类讨论思想在解题中的应用.
14

课时作业 一、选择题 1.下图分别是函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx 的图象,a,b,c,d 分别是四 4 3 1 数 2, , , 中的一个,则相应的 a,b,c,d 应是下列哪一组( ) 3 10 5

4 1 3 4 3 1 A. , 2, , B. 2, , , 3 5 10 3 10 5 3 1 4 1 3 4 C. , , 2, D. , , , 2 10 5 3 5 10 3 -3 0.2 0.2 2.已知 a=3 ,b=0.2 ,c=(-3) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 1 + 1 - 3.若( )2a 1<( )3 2a,则实数 a 的取值范围是( ) 2 2 1 1 A.(1,+∞) B.( ,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞, ) 2 2 1 1b 1a 4.设 <( ) <( ) <1,则( ) 3 3 3 a b a a a b A.a <a <b B.a <b <a C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa ax, x>1 ? ? 5.若函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为 a ?4- ?x+2, x≤1 ? 2 ? ( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 二、填空题 6.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域是____________. 7.a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是____________. 1 - 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的 2 解集是__________. 三、解答题 + - 9.解不等式 ax 5<a4x 1 (a>0,且 a≠1).

1 1 3 10.已知函数 f(x)=?2x-1+2?· ? ?x. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0.

15

2.1.2
基础自测 1.C 2.C 3.A 对点讲练 【例 1】 解 ∵a=3>1, 4.C

指数函数及其性质(二)

答案

(1)构造函数 y=3x.

∴y=3x 在(-∞,+∞)上是增函数. ∵π>3.14,∴3π>33.14. (2)构造函数 y=0.99x. ∵0<a=0.99<1, ∴y=0.99x 在(-∞,+∞)上是减函数. ∵-1.01>-1.11,∴0.99-1.01<0.99-1.11. (3)分别构造函数 y=1.4x 与 y=0.9x. ∵1.4>1,0<0.9<1,∴y=1.4x 与 y=0.9x 在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数. ∵0.1>0,∴1.40.1>1.40=1. ∵0.3>0,∴0.90.3<0.90=1, ∴1.40.1>1>0.90.3,∴1.40.1>0.90.3. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 变式迁移 1 解 将? ?3?3,23,?-3? ,?4?2分成如下三类: 2?3 (1)负数? ?-3? ; 3?1 (2)大于 0 小于 1 的数? ?4?2; 4?1 2 (3)大于 1 的数? ?3?3,23. 4?1 1 1 2 ∵? ?3?3<43,而 43=23, 2?3 ?3?1 ?4?1 2 ∴? ?-3? <?4?2<?3?3<23. 【例 2】 解 (2)当 a>1 时, 由于 a2x+1≤ax-5, ∴2x+1≤x-5,解得 x≤-6. 综上所述,x 的取值范围是: 当 0<a<1 时,x≥-6; 当 a>1 时,x≤-6. 1 变式迁移 2 ( ,+∞) 2 1 7 解析 a2+a+2=(a+ )2+ >1. 2 4
16

(1)当 0<a<1 时,由于 a2x+1≤ax-5,

∴2x+1≥x-5,解得 x≥-6.

∴y=(a2+a+2)x 在 R 上是增函数. 1 ∴x>1-x,解得 x> . 2 1 ∴x 的取值范围是( ,+∞). 2 【例 3】 解 (1)①若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增,最大值为 a2,最小值为 a. a 3 ∴a2-a= ,即 a= 或 a=0(舍去). 2 2 ②若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, 最大值为 a,最小值为 a2. a 1 ∴a-a2= ,即 a= 或 a=0(舍去), 2 2 1 3 综上所述,所求 a 的值为 或 . 2 2 (2)设 t=ax,则原函数可化为 y=(t+1)2-2,对称轴为 t=-1. ①若 a>1,∵x∈[-1,1], 1 ∵t=ax 在[-1,1]上递增,∴0< ≤t≤a; a 1 2 ∴y=(t+1) -2 当 t∈[ ,a]时递增. a 故当 t=a 时,ymax=a2+2a-1. 由 a2+2a-1=14, 解得 a=3 或 a=-5(舍去,∵a>1). 1 ②若 0<a<1,t=ax 在[-1,1]上递减,t∈[a, ], a ymax=a-2+2a-1-1=14, 1 1 解得 a= 或 a=- (舍去). 3 5 1 综上,可得 a= 或 3. 3 变式迁移 3 解 (1)∵f(x)=ax 在[1,2]上是单调函数, ∴f(x)在 1 或 2 时取得最值. ∴a+a2=6, 解得 a=2 或 a=-3, ∵a>0,∴a=2. 1 2x 1 (2)y= · 2 -3· 2x+5= (22x-6· 2x)+5 2 2 1 1 = (2x-3)2+ . 2 2 ∵x∈[0,2],1≤2x≤4, 1 ∴当 2x=3 时,y 最小值= , 2 5 x 当 2 =1 时,y 最大值= . 2 课时作业 1.C 2.B [c<0,b=53>3,1<a<3,∴b>a>c.]
17

1 3.B [函数 y=( )x 在 R 上为减函数, 2 1 ∴2a+1>3-2a,∴a> .] 2 4.C [由已知条件得 0<a<b<1, ∴ab<aa,aa<ba,∴ab<aa<ba.] 5.D a>1 [因为 f(x)在 R 上是增函数,故结合图象知

? ?4-a>0 ? 2 a ? ?4-2+2≤a
5 ? 6.? ?-3,1? 7.c>a>b

,解得 4≤a<8.]

解析 y=0.8x 为减函数,∴0.80.7>0.80.9, 且 0.80.7<1,而 1.20.8>1,∴1.20.8>0.80.7>0.80.9. 8.(-∞,-1) 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x) =2x-1. 1 当 x>0 时,由 1-2-x<- 得 x∈?; 2 1 当 x=0 时,f(0)=0<- 不成立; 2 1 x 因此当 x<0 时,由 2 -1<- 2 得 x<-1. 综上可知 x∈(-∞,-1). 9.解 当 a>1 时, 原不等式可变为 x+5<4x-1. 解得 x>2; 当 0<a<1 时, 原不等式可变为 x+5>4x-1. 解得 x<2. 故当 a>1 时,原不等式的解集为(2,+∞); 当 0<a<1 时,原不等式的解集为(-∞,2). 10.(1)解 由 2x-1≠0,得 x≠0. ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 由于函数 f(x)的定义域关于原点对称, 1? ? 1 f(-x)=? -x +2?· (-x)3 2 -1 (2)解

?

?

18

? 2 +1? 3 ? 1 +1? 3 =-? x x 2?x =?2x-1 2?· ?1-2 ? ? ?
=f(x), 所以 f(x)为偶函数. (3)证明 当 x>0 时, ∴f(x)>0, 又∵f(x)为偶函数, ∴x<0 时,f(x)>0, 综上所述,对于定义域内的任意 x 都有 f(x)>0. >0,x3>0, 2 -1
x

x

1

§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(一)
自主学习 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 1 . 如 果 ax = N(a>0 , 且 a≠1) , 那 么 数 x 叫 做 ______________________ , 记 作 ________________,其中 a 叫做________________,N 叫做________. 2.对数的性质有: (1)1 的对数为________;(2)底的对数为________;(3)零和负数________________. 3 . 通 常 将 以 10 为 底 的 对 数 叫 做 ________________ , 以 e 为 底 的 对 数 叫 做 ________________,log10N 可简记为________,logeN 简记为________________. 4.若 a>0,且 a≠1,则 ax=N________logaN=x. 5.对数恒等式:alogaN=________(a>0 且 a≠1). 对点讲练 对数式有意义的条件 【例 1】 求下列各式中 x 的取值范围: (1)log2(x-10); (2)log(x-1)(x+2); (3)log(x+1)(x-1)2.

19

规律方法 在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大 于零且不等于 1. 变式迁移 1 在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( ) A.a>5 或 a<2 B.2<a<5 C.2<a<3 或 3<a<5 D.3<a<4 对数式与指数式的互化 【例 2】 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式: 1?-2 1 (1)54=625; (2)log 8=-3; (3)? ?4? =16; (4)log101 000=3. 2

规律方法 指数和对数运算是一对互逆运算, 在解题过程中, 互相转化是解决相关问题 的重要途径.在利用 ax=N?x=logaN 进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中 的位置.

变式迁移 2 将下列对数式化为指数式求 x 值: 3 2 1 (1)logx27= ; (2)log2x=- ; (3)log5(log2x)=0; (4)x=log27 ; 2 3 9

1 (5)x=log 16. 2

对数恒等式的应用 【例 3】 计算: 1 (1)71+log75; (2)4 (log29-log25). 2

20

1 变式迁移 3 计算:3log3 5+( 3)log3 . 5

1.一般地,如果 a(a>0 且 a≠1)的 x 次幂等于 N,即 ax=N,那么 x 叫做以 a 为底 N 的 对数,记作 logaN=x,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.利用 ax=N?x=logaN (其中 a>0 且 a≠1,N>0)可以进行指数式与对数式的互化. 3.对数恒等式:alogaN=N(a>0 且 a≠1).

课时作业 一、选择题 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) 1 1 1 1 A.100=1 与 lg 1=0 B.27- = 与 log27 =- 3 3 3 3 1 1 1 C.9 =3 与 log3 =9 D.log55=1 与 5 =5 2 2 2.指数式 b6=a (b>0,b≠1)所对应的对数式是( ) A.log6a=a B.log6b=a C.logab=6 D.logba=6 3.若 logx( 5-2)=-1,则 x 的值为( ) A. 5-2 B. 5+2 C. 5-2 或 5+2 D.2- 5 4.如果 f(10x)=x,则 f(3)等于( ) A.log310 B.lg 3 C.103 D.310 1 5.21+ · log25 的值等于( ) 2 5 5 A.2+ 5 B.2 5 C.2+ D.1+ 2 2 二、填空题 6.若 5lg x=25,则 x 的值为________. + 7.设 loga2=m,loga3=n,则 a2m n 的值为________. 2.778 2 8.已知 lg 6≈0.778 2,则 10 ≈________.
21

三、解答题 9.求 10lg 3-10log51+πlogπ2 的值.

10.求 x 的值: 2 (1)x=log 4; (2)x=log9 3; 2

(3)x=71-log75;

1 (4)logx8=-3; (5)log x=4. 2

§ 2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(一) 答案
自学导引 1.以 a 为底 N 的对数 x=logaN 对数的底数 真数 2.(1)零 (2)1 (3)没有对数 3.常用对数 自然对数 lg N ln N 4.等价于 5.N 对点讲练 【例 1】 解 (1)由题意有 x-10>0,∴x>10,即为所求.

? ?x+2>0, (2)由题意有? ?x-1>0且x-1≠1, ? ? ?x>-2, 即? ∴x>1 且 x≠2. ?x>1且x≠2, ?
2 ? ??x-1? >0, (3)由题意有? ?x+1>0且x+1≠1, ?

22

解得 x>-1 且 x≠0,x≠1. 5-a>0 ? ? [由题意得?a-2>0 ? ?a-2≠1

变式迁移 1 C



∴2<a<5 且 a≠3.] 【例 2】 解 (1)∵54=625,∴log5625=4. 1?-3 1 (2)∵log 8=-3,∴? ?2? =8. 2 1?-2 1 (3)∵? = 16 ,∴ log 16=-2. 4 ? ? 4 (4)∵log101 000=3,∴103=1 000. 3 变式迁移 2 解 (1)由 logx27= , 2 3 得 x =27, 2 2 ∴x=27 =32=9. 3 2 2 (2)由 log2x=- ,得 2- =x, 3 3 ∴x= 1 3 22 3 = 2 . 2

(3)由 log5(log2x)=0,得 log2x=1, ∴x=21=2. 1 1 (4)由 x=log27 ,得 27x= ,即 33x=3-2, 9 9 2 ∴x=- . 3 1?x 1 (5)由 x=log 16,得? ?2? =16, 2 即 2-x=24, ∴x=-4. (1)原式=7· 7log75=7×5=35. 2log29 9 (2)原式=2(log29-log25)= = . 2log25 5 1 1 变式迁移 3 解 原式= 5+3 log3 2 5 11 = 5+(3log3 ) 52 1 6 5 = 5+ = . 5 5 课时作业 1.C 2.D 3.B 【例 3】 解 4.B [方法一 令 10x=t,则 x=lg t, ∴f(t)=lg t,f(3)=lg 3. 方法二 令 10x=3,则 x=lg 3,
23

∴f(3)=lg 3.] 1 1 1 5.B [21+ log25=2×2 log25=2×(2log5 2) 2 2 2 1 =2×5 =2 5.] 2 6.100 [∵5lg x=52,∴lg x=2, ∴x=102=100.] 7.12 解析
m

∵loga2=m,loga3=n,

∴a =2,an=3, ∴a2m+n=a2m· an=(am)2· an=22×3=12. 8.600 解析 102.778 2≈102×10lg 6=600. 9.解 原式=3-10×0+2=5. 10.解 (1)由已知得:? 2?x =4, ?2?

1 x ∴2- x=22,- =2,x=-4. 2 2 1 (2)由已知得:9x= 3,即 32x=3 . 2 1 1 ∴2x= ,x= . 2 4 7 (3)x=7÷ 7log75=7÷ 5= . 5 (4)由已知得:x-3=8, 1?3 1 3 1 即? ? x? =2 ,x=2,x=2. 1?4 1 (5)由已知得:x=? ?2? =16.

2.2.1
1.掌握对数的运算性质及其推导.

对数与对数运算(二)
自主学习

2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明. 1.对数的运算性质:如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么, M (1)loga(MN)=______________;(2)loga =____________;(3)logaMn=__________(n∈ N R). 2.对数换底公式:________________________.
24

对点讲练 正确理解对数运算性质 【例 1】 若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( ) ①logax+ logay=loga (x+y); ②logax-logay=loga(x-y); x ③loga =logax÷ logay; ④loga(xy)=logax· logay. y A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 规律方法 正确理解对数运算性质公式, 是利用对数运算性质公式解题的前提条件. 使 用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件. 变式迁移 1 (1)若 a>0 且 a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是( ) 1 A.logax=-loga B.(logax)n=nlogax x 1 C.(logax)n=logaxn D.logax=loga x (2)对于 a>0 且 a≠1,下列说法中正确的是( ) ①若 M=N,则 logaM=logaN;②若 logaM=logaN,则 M=N; ③若 logaM2=logaN2,则 M=N;④若 M=N,则 logaM2=logaN2. A.①③ B.②④ C.② D.①②③④ 对数运算性质的应用 【例 2】 计算: 7 (1)log535-2log5 +log57-log51.8; 3 (2)2(lg 2)2+lg 2· lg 5+ ?lg 2?2-lg 2+1.

变式迁移 2 求下列各式的值: 1 1 (1)log535+2log 2-log5 -log514; 2 50

(2)(lg 5)2+lg 2· lg 50.

换底公式的应用 2 1 【例 3】 设 3x=4y=36,求 + 的值. x y

25

规律方法 换底公式的本质是化同底, 这是解决对数问题的基本方法. 解题过程中换什 么样的底应结合题目条件,并非一定用常用对数、自然对数. 变式迁移 3 (1)设 log34· log48· log8m=log416, 求 m; (2)已知 log142=a, 用 a 表示 log 2 7.

1. 对于同底的对数的化简要用的方法是: (1)“收”, 将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差). 2.对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值. 4.要充分运用“1”的对数等于 0,底的对数等于“1”等对数的运算性质. 5.两个常用的推论: (1)logab· logba=1; n (2)logambn= logab(a、b>0 且均不为 1). m

课时作业 一、选择题 1.lg 8+3lg 5 的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 2.已知 lg 2=a,lg 3=b,则 log36 等于( ) a+b a+b a A. B. C. a b a+b

D.3

b D. a+b a?2 3.若 lg a,lg b 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则? ?lgb? 的值等于(
26

)

A.2

1 B. 2

C.4

1 D. 4

1 1 4.若 2.5x=1 000,0.25y=1 000,则 - 等于( ) x y 1 1 A. B.3 C.- D.-3 3 3 5.计算 2log525+3log264-8log71 的值为( ) A.14 B.8 C.22 D.27 二、填空题 6.设 lg 2=a,lg 3=b,那么 lg 1.8=______________. 7.已知 log63=0.613 1,log6x=0.386 9,则 x=____________. 三、解答题 8.求下列各式的值: 1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245; (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2. 2 49 3

9.已知 log189=a,18b=5,试用 a,b 表示 log365.

2.2.1
自学导引 1.(1)logaM+logaN (3)nlogaM logcb 2.logab= logca 对点讲练

对数与对数运算(二)

答案

(2)logaM-logaN

【例 1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、 乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如 logax≠loga· x,
27

logax 是不可分开的一个整体. 四个选项都把对数符号当作字母参与运算, 因而都是错误的. ] 变式迁移 1 (1)A (2)C [在①中,当 M=N≤0 时,logaM 与 logaN 均无意义,因此 logaM=logaN 不成立. 在②中,当 logaM=logaN 时,必有 M>0,N>0,且 M=N,因此 M=N 成立. 在③中,当 logaM2=logaN2 时,有 M≠0,N≠0,且 M2=N2,即|M|=|N|,但未必有 M=N.例如,M=2,N=-2 时,也有 logaM2=logaN2,但 M≠N. 在④中,若 M=N=0,则 logaM2 与 logaN2 均无意义,因此 logaM2=logaN2 不成立. 所以,只有②成立.] 【例 2】 解 9 (1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 5

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. (2)原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1. 变式迁移 2 求下列各式的值: 1 1 (1)log535+2log 2-log5 -log514; 2 50 (2)(lg 5)2+lg 2· lg 50. 解 (1)原式 1 =log5(5×7)-2log22 +log5(52×2)-log5(2×7) 2 =1+log57-1+2+log52-log52-log57=2. (2)原式=(lg 5)2+lg 2· (lg 2+2lg 5) =(lg 5)2+2lg 5· lg 2+(lg 2)2 =(lg 5+lg 2)2=1. 【例 3】 解 由已知分别求出 x 和 y. ∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 由换底公式得: log3636 1 log3636 1 x= = ,y= = , log363 log363 log364 log364 1 1 ∴ =log363, =log364, x y 2 1 ∴ + =2log363+log364 x y =log36(32×4)=log3636=1. lg 4 lg 8 lg m 变式迁移 3 解 (1)利用换底公式,得 · · =2, lg 3 lg 4 lg 8 ∴lg m=2lg 3,于是 m=9. log27 (2)由对数换底公式,得 log 27= log2 2 log27 = =2log27=2(log214-log22) 1 2
28

2?1-a? 1 =2( -1)= . a a 课时作业 1.D [lg 8+3lg 5=lg 8+lg 53=lg 1 000=3.] lg 6 lg 2+lg 3 a+b 2.B [log36= = = .] lg 3 lg 3 b [由根与系数的关系, 1 得 lg a+lg b=2,lg a· lg b= , 2 a 2 ?2 ∴? ?lgb? =(lg a-lg b) 3.A 1 =(lg a+lg b)2-4lg a· lg b=22-4× =2.] 2 4.A [由指数式转化为对数式: x=log2.51 000,y=log0.251 000, 1 1 1 则 - =log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010= .] x y 3 5.C a+2b-1 6. 2 1 1 18 1 2×9 1 1 解析 lg 1.8= lg 1.8= lg = lg = (lg 2+lg 9-1)= (a+2b-1). 2 2 10 2 10 2 2 7.2 解析 由 log63+log6x=0.613 1+0.386 9=1. 得 log6(3x)=1.故 3x=6,x=2. 1 43 1 8.解 (1)方法一 原式= (5 lg 2-2lg 7)- · lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 32 2 5 1 1 1 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5= lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5) 2 2 2 2 2 1 1 = lg 10= . 2 2 4 2 方法二 原式=lg -lg 4+lg 7 5 7 4 2×7 5 1 =lg =lg( 2· 5)=lg 10= . 2 7×4 (2)方法一 原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 5 ? 5 =lg 10· lg +lg 4=lg? ?2×4?=lg 10=1. 2 方法二 原式=(lg 10-lg 2)2+2lg 2-lg22=1-2lg 2+lg22+2lg 2-lg22=1. log185 b 9.解 ∵18b=5,∴log185=b, 又∵log189=a,∴log365= = lg1836 log18?18×2? b b = = 1+log182 1+log1818 9 b b = = . 1+?1-log189? 2-a

29

2.2.2

对数函数及其性质(一)
自主学习

1.掌握对数函数的概念、图象和性质. 2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数 函数关系的实质. 1. 对数函数的定义: 一般地, 我们把函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)叫做________________, 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2.对数函数的图象与性质 定义 y=logax (a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1 底数

图象

定义域 值域 单调性 共点性 函数值 特点 对称性 3.反函数 对数函数 y=logax

(0,+∞) R 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 图象过定点________,即 x=1 时,y=0 x∈(0,1)时,y∈__________; x∈(0,1)时,y∈__________; x∈[1,+∞)时, x∈[1,+∞)时, y∈__________ y∈__________ 1 函数 y=logax 与 y=log x 的图象关于________对称 a (a>0 且 a≠1)和指数函数________________________互为反函数. 对点讲练

对数函数的图象 4 3 1 【例 1】 下图是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 3, , , ,则图象 C1, 3 5 10 C2,C3,C4 相应的 a 值依次是( )

A.

4 3 1 3、 、 、 3 5 10

4 1 3 B. 3、 、 、 3 10 5

4 3 1 4 1 3 C. 、 3、 、 D. 、 3、 、 3 5 10 3 10 5

规律方法 (1)y=logax(a>0,且 a≠1)图象无限地靠近于 y 轴,但永远不会与 y 轴相交. (2)设 y1=logax,y2=logbx,其中 a>1,b>1(或 0<a<1,0<b<1),则当 x>1 时,“底大图 低”,即若 a>b,则 y1<y2.当 0<x<1 时,“底大图高”,即若 a>b,则 y1>y2.

30

1 (3)在同一坐标系内,y=logax(a>0,且 a≠1)的图象与 y=log x(a>0,且 a≠1)的图象关 a 于 x 轴(即 y=0)对称. 变式迁移 1 借助图象求使函数 y=loga(3x+4)的函数值恒为负值的 x 的取值范围. 对数函数的单调性的应用 【例 2】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log0.52.7,log0.52.8; (2)log34,log65;

(3)logaπ,logae (a>0 且 a≠1).

变式迁移 2 若 a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b 求函数的定义域 【例 3】 求下列函数的定义域: 3 (1)y= log2x; (2)y= log0.5?4x-3?;

) D.b>c>a

(3)y=log(x+1)(2-x).

规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时, 除遵循前面已学习过的求函数定义域的 方法外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的 底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式. 变式迁移 3 求下列函数的定义域. 1 (1)y= ; (2)y= loga?4x-3?(a>0,且 a≠1). lg?x+1?-3

1.对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握. 2.比较对数值的大小要用函数单调性及中间“桥梁”过渡.另外还要注意底数是否相 同. 3.掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质,还要结合指数函数的图象和 性质来对比掌握.
31

4.对数函数的单调性与指数函数的单调性大同小异.

课时作业 一、选择题 1 的定义域为 M, g(x)=ln(1+x)的定义域为 N, 则 M∩N 等于( 1-x A.{x|x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.? 2.若 loga2<logb2<0,则( ) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 3.以下四个数中的最大者是( ) A.(ln 2)2 B.ln(ln 2) C.ln 2 D.ln 2 x 4.函数 y=a 与 y=-logax(a>0 且 a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( ) 1. 已知函数 f(x)= )

二、填空题 lg?4-x? 5.函数 f(x)= 的定义域为______________. x-3 6.若指数函数 f(x)=ax (x∈R)的部分对应值如下表: x 0 2 -2 f(x) 0.694 1 1.44 则不等式 loga(x-1)<0 的解集为______________. 7.函数 y=loga(x+2)+3 的图象过定点__________. 三、解答题 8.求下列函数的定义域: 1 - (1)y= 32x 1- ; 27 (2)y= -lg?1-x?; 1 (3)y= (a>0,a≠1). 1-loga?x+a?

32

1+x 9.已知 f(x)=loga (a>0,a≠1), 1-x (1)求 f(x)的定义域; (2)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围;

(3)判断 f(x)的奇偶性.

2.2.2

对数函数及其性质(一)

答案

自学导引 1.对数函数 2.(1,0) (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x 轴 3.y=ax (a>0 且 a≠1) 对点讲练 【例 1】 A [过(0,1)作平行于 x 轴的直线,与 C1,C2,C3,C4 的交点的坐标为(a1,1), (a2,1),(a3,1),(a4,1),其中 a1,a2,a3,a4 分别为各对数的底,显然 a1>a2>a3>a4, 所以 C1,C2,C3,C4 的底值依次由大到小.]

变式迁移 1 解 当 a>1 时,由题意有 0<3x+4<1, 4 即- <x<-1. 3 当 0<a<1 时,由题意有 3x+4>1,即 x>-1. 4 综上,当 a>1 时,- <x<-1; 3 当 0<a<1 时,x>-1. 【例 2】 解 (1)∵0<0.5<1, ∴对数函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上是减函数. 又∵2.7<2.8,∴log0.52.7>log0.52.8. (2)∵y=log3x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log34>log33=1. ∵y=log6x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log65<log66=1. ∴log34>log65. (3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数. ∵π>e,∴logaπ>logae. 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数. ∵π>e,∴logaπ<logae.
33

综上可知,当 a>1 时,logaπ>logae; 当 0<a<1 时,logaπ<logae. 变式迁 移 2 【例 3】 解 A [ 利用界值法 可得 a = log3π>log33 = 1,0<b = log76<log77 = 1 , c = log20.8<log21=0,故 a>b>c.] (1)∵该函数是奇次根式,要使函数有意义,只要对数的真数是正数即可, log0.5?4x-3?有意义, ∴定义域是{x|x>0}. (2)要使函数 y= 必须 log0.5(4x-3)≥0=log0.51, 3 ∴0<4x-3≤1.解得 <x≤1. 4 ? 3 ? ∴定义域是?x|4<x≤1?. ? ? x+1>0 ? ? (3)由?x+1≠1 ? ?2-x>0

?x>-1 ,得?x≠0, ?x<2

即 0<x<2 或-1<x<0, 所求定义域为(-1,0)∪(0,2).

?lg?x+1?-3≠0 ? 变式迁移 3 解 (1)由? , ? ?x+1>0 ?x+1≠103 ? 得? , ?x>-1 ?
∴x>-1 且 x≠999, ∴函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠999}. (2)loga(4x-3)≥0.(*) 当 a>1 时,(*)可化为 loga(4x-3)≥loga1, ∴4x-3≥1,x≥1. 当 0<a<1 时,(*)可化为 loga(4x-3)≥loga1, 3 ∴0<4x-3≤1, <x≤1. 4 综上所述,当 a>1 时,函数定义域为[1,+∞), 3 ? 当 0<a<1 时,函数定义域为? ?4,1?. 课时作业 1.C [由题意知 M={x|x<1}, N={x|x>-1}. 故 M∩N={x|-1<x<1}.] 2.B [由底数与对数函数的图象关系(如图)可知 y=logax,y=logbx 图象的大致走向.

34

再由对数函数的图象规律:从第一象限看,自左向右底数依次增大.∴选 B.] [∵0<ln 2<1,∴ln(ln 2)<0, 1 (ln 2)2<ln 2,而 ln 2= ln 2<ln 2. 2 3.D ∴最大的数是 ln 2.] 4.A 5.{x|x<4,且 x≠3}

? ?4-x>0 解析 ? 解得 x<4,且 x≠3,所以定义域为{x|x<4,且 x≠3}. ?x-3≠0 ?
6.{x|1<x<2} 解析 由题可知 a=1.2,∴log1.2(x-1)<0,∴log1.2(x-1)<log1.21,解得 x<2, 又∵x-1>0,即 x>1,∴1<x<2.故原不等式的解集为{x|1<x<2}. 7.(-1,3) 1 8.解 (1)由 32x-1- ≥0 得,x≥-1.∴所求定义域为[-1,+∞). 27

?1-x≤1 ? (2)由-lg(1-x)≥0 得,? ,即 x∈[0,1)∴所求定义域为[0,1). ? ?1-x>0
(3)1-loga(x+a)>0 时,函数有意义, 即 loga(x+a)<1① 当 a>1 时,-a<-1

? ?x+a<a 由①得,? 解得-a<x<0.∴定义域为(-a,0). x + a >0 ? ?
当 0<a<1 时,-1<-a<0. 由①得,x+a>a.∴x>0.∴定义域为(0,+∞). 故所求定义域是:当 0<a<1 时,x∈(0,+∞); 当 a>1 时,x∈(-a,0). 1+x 9.解 (1)由 >0,得-1<x<1.故所求的定义域为(-1,1). 1-x 1+x 1+x (2)①当 a>1 时,由 loga >0=loga1 得 >1,∴0<x<1. 1-x 1-x 1+x 1+x ②当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1 得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x 1-x 故当 a>1 时,所求范围为 0<x<1;

35

当 0<a<1 时,所求范围为-1<x<0. 1- x 1+x 1 (3)f(-x)=loga =loga( )- =-f(x)∴f(x)为奇函数. 1+x 1-x

2.2.2
1.理解对数函数的性质.

对数函数及其性质(二)
自主学习

2.掌握对数函数的单调性及其应用. 基础自测 1.函数 y=log2x 在[1,2]上的值域是( ) A.R B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.[0,1] 2.函数 y= log2x-2的定义域是( ) A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 3.下列不等式成立的是( ) A.log32<log23<log25 B.log32<log25<log23 C.log23<log32<log25 D.log23<log25<log32 对点讲练 利用对数函数单调性解不等式 1 【例 1】 (1)已知 loga >1,求 a 的取值范围; 2
36

(2)已知 log0.72x<log0.7(x-1),求 x 的取

值范围.

规律方法 (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解, 其依据是对数函数的 单调性. (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则. (3)若含有字母,应考虑分类讨论. 变式迁移 1 已知 loga(2a+1)<loga(3a),求 a 的取值范围.

对数函数最值问题 【例 2】 已知集合 A={x|2≤x≤π},定义在集合 A 上的函数 y=logax 的最大值比最小 值大 1,求 a 的值.

规律方法 利用函数单调性求最值时, 关键看底数 a 是否大于 1, 当底数未明确范围时, 应进行讨论. 变式迁移 2 函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为 ( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 利用图象求参数范围 【例 3】 1? 若不等式 2x-logax<0,当 x∈? ?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围.

规律方法 “数”是数学的特征,它精确、 量化, 最有说服力; 而“形”则形象、直观, 能降低人的思维难度,简化解题过程,把它们的优点集中在一起就是最佳组合,在平时做题

37

时一定要注意图象的运用. 变式迁移 3 当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围是( 1 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.(0, ) 2

)

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一要看底数是否大于 1,当底数未明确 给出时,则应对底数 a 是否大于 1 进行讨论;二要注意其定义域;三要注意数形结合思想的 应用.

课时作业 一、选择题 1.函数 f(x)=lg|x|为( ) A.奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数 B.奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数 C.偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数 D.偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数 1 2.已知函数 f(x)=2log x 的值域为[-1,1],则函数 f(x)的定义域是( 2 2 A.[ , 2] B.[-1,1] 2 1 2 C.[ ,2] D.(-∞, ]∪[ 2,+∞) 2 2
38

)

3.设函数 f(x)=log2a(x+1),若对于区间(-1,0)内的每一个 x 值都有 f(x)>0,则实数 a 的取值范围为( ) 1 1 ? 1? ? A.(0,+∞) B.? C.? D.? ?2,+∞? ?2,1? ?0,2? 4.函数 y=x+a 与 y=logax 的图象只可能是( )

3 5.若 loga <1,则 a 的取值范围是( 4 A.a>1

)

3 C.0<a< 4 二、填空题 6.已知 log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数 x 的取值范围是____________. ??6-a?x-4a ?x<1? ? 7.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的增函数,则 a 的取值范围为 ?logax ?x≥1? ? ______. 三、解答题 8.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,求满足 f(x)>0 的 x 的取值范围.

3 B.0<a< 或 a>1 4 3 D. <a<1 4

9.求函数 y=loga(a-ax)的值域.

2.2.2
基础自测 1.D 2.D 3.A 对点讲练

对数函数及其性质(二)

答案

1 1 (1)由 loga >1 得 loga >logaa. 2 2 1 ①当 a>1 时,有 a< ,此时无解. 2 1 1 ②当 0<a<1 时,有 <a,从而 <a<1. 2 2 1 ∴a 的取值范围是( ,1). 2 【例 1】 解 (2)∵函数 y=log0.7x 在(0,+∞)上为减函数,
39

∴由 log0.72x<log0.7(x-1)得

? ?x-1>0 ?2x>x-1 ? ?2a+1<3a ?2a+1>0
a>1

2x>0

,解得 x>1.

∴x 的取值范围为(1,+∞). 变式迁移 1 解 (1)当 a>1 时,原不等式等价于

,解得 a>1.

? (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于?2a+1>3a ?3a>0
解得 0<a<1. 综上所述,a 的范围是 0<a<1 或 a>1.

0<a<1



【例 2】 解 当 a>1 时,ymax=logaπ,ymin=loga2, π 由题意有 logaπ-loga2=1,∴a= . 2 同理,当 0<a<1 时,有 loga2-logaπ=1. 2 π 2 ∴a= .故所求的值为 a= 或 . π 2 π 变式迁移 2 B [不论 a 大于 1 还是 0<a<1,最大值与最小值和均为 f(0)+f(1), 1 ∴f(0)+f(1)=a,解得 a= .故选 B.] 2 【例 3】 解

1? 1? 要使不等式 2x<logax 在 x∈? 即函数 y=logax 的图象在? ?0,2?时恒成立, ?0,2?内恒在函数 1 1 ? y=2x 图象的上方,而 y=2x 图象过点? ?2, 2?.由图可知,loga2≥ 2, 显然这里 0<a<1,∴函数 y=logax 递减. 1 又 loga ≥ 2=logaa 2, 2 1? 2 1 ?1? 2 ∴a 2≥ ,即 a≥? ?2? 2 .∴所求的 a 的取值范围为?2? 2 ≤a<1. 2 变式迁移 3 C

40

[设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可. 当 0<a<1 时,由图象知显然不成立. 当 a>1 时,如图所示,要使当 x∈(1,2)时,f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的下方, 只需 f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,∴1<a≤2.故选 C.] 课时作业 1.D [已知函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称, 且 f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以它是偶函数. 又当 x>0 时,|x|=x,即函数 y=lg|x|在区间(0,+∞)上是增函数. 又 f(x)为偶函数,所以 f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上是减函数.] 1 1 1 1 11 1 1 111 2.A [由-1≤2log x≤1 得- ≤log x≤ ,即 log ( )- ≤log x≤log ( ) , 2 2 2 2 22 2 2 222 2 ∴ ≤x≤ 2.] 2 [已知-1<x<0,则 0<x+1<1,又当-1<x<0 时,都有 f(x)>0, 1 即 0<x+1<1 时都有 f(x)>0,所以 0<2a<1,即 0<a< .] 2 1 4.C 5.B 6.(-2,- ) 2 3.D

? ?x+2>0 1 解析 原不等式等价于? ,解得-2<x<- . 2 ?x+2<1-x ?
6 7.[ ,6) 5 解析 f(x)是 R 上的增函数,则当 x≥1 时,y=logax 是增函数,∴a>1. 又当 x<1 时,函数 y=(6-a)x-4a 是增函数, 6 6 ∴6-a>0,∴a<6.又(6-a)×1-4a≤loga1,得 a≥ .∴ ≤a<6. 5 5 8.解 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x<0,则-x>0,

?lg x ∴f(x)=-f(-x)=-lg(-x),∴f(x)=?0 ?x=0? ?-lg?-x?
9.解 ∵ax>0 且 a-ax>0,∴0<a-ax<a.

?x>0? , ?x<0?

?x<0 ?x>0 由 f(x)>0 得? 或? ,∴x>1 或-1<x<0. ?lg x>0 ?-lg?-x?>0
∴当 a>1 时,y=loga(a-ax)<logaa=1;当 0<a<1 时,y=loga(a-ax)>logaa=1. 故当 a>1 时,其值域为(-∞,1); 当 0<a<1 时,其值域为(1,+∞).

41

§ 2.3

幂函数

自主学习 1.掌握幂函数的概念. 1 2.熟悉 α=1,2,3, ,-1 时幂函数 y=xα 的图象与性质. 2 3.能利用幂函数的性质来解决一些实际问题. 1.一般地,幂函数的表达式为________________;其特征是以幂的________为自变量, ________为常数.

2.幂函数的图象及性质 1 - 在同一坐标系中,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1 的图象如图.结合图象, 2 填空. (1)所有的幂函数图象都过点________,在(0,+∞)上都有定义. (2)若 α>0 时, 幂函数图象过点________________, 且在第一象限内________; 当 0<α<1 时,图象上凸,当 α>1 时,图象________. (3)若 α<0,则幂函数图象过点________,并且在第一象限内单调________,在第一象限 内,当 x 从+∞趋向于原点时,函数在 y 轴右方无限地逼近于 y 轴,当 x 趋于+∞时,图象 在 x 轴上方无限逼近 x 轴. (4)当 α 为奇数时,幂函数图象关于________________对称;当 α 为偶数时,幂函数图 象关于________对称. (5)幂函数在第________象限无图象. 对点讲练 理解幂函数的概念 【例 1】 函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函 数,求 f(x)的解析式.

规律方法 幂函数 y=xα (α∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量, 指数 α 为常数(也可以为 0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本 例来说,还要根据单调性验根,以免增根.

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1 变式迁移 1 已知 y=(m2+2m-2)x 2 +2n-3 是幂函数,求 m,n 的值. m -1 幂函数单调性的应用 【例 2】 比较下列各组数的大小 1?7 5 5 7 (1) 3- 与 3.1- ;(2)-8- 与-? ?9?8. 2 2 8

规律方法 比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用 “搭桥”法进行分组,常数 0 和 1 是常用的参数. 变式迁移 2 比较下列各组数的大小: 2? 2 ? π? 2 2 3 2 (1)? ?-3?-3与?-6?-3; (2)4.15,(-1.9)5与 3.8-3.

幂函数性质的综合应用 - 【例 3】 已知幂函数 y=x3m 9 (m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随 m m x 的增大而减小,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的范围. 3 3

规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时,一定要考虑幂函数的定义.(2)幂函数 y =xα,由于 α 的值不同,单调性和奇偶性也就不同. 变式迁移 3 已知幂函数 y=xm2-2m-3 (m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关 于 y 轴对称,求 m 的值,且画出它的图象.

n 1.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数 中的 m 是否为偶数;判断幂函数的奇 m n n 偶性时要看指数 中的 m、n 是奇数还是偶数.y=xα,当 α= (m、n∈N*,m、n 互质)时, m m 有: n 奇数 偶数 m 偶数 奇数 n y=x 的奇偶性 m 非奇非偶函数 偶函数 定义域 [0,+∞) (-∞,+∞)

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奇数 奇数 奇函数 (-∞,+∞) n n n 2.幂函数 y=x 的单调性,在(0,+∞)上, >0 时为增函数, <0 时为减函数. m m m 课时作业 一、选择题 1.下列命题: ①幂函数的图象都经过点 (1,1)和点(0,0);②幂函数的图象不可能在第四象限;③n=0 时,y=xn 的图象是一条直线;④幂函数 y=xn,当 n>0 时,是增函数;⑤幂函数 y=xn,当 n<0 时,在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小. 其中正确的是( ) A.①和④ B.④和⑤ C.②和③ D.②和⑤ 2.下列函数中,不是幂函数的是( ) -1 x A.y=2 B.y=x C.y= x D.y=x2 1 1 1 ? ? 3.设 α∈?-2,-1,-2,3,2,1,2,3?,则使 f(x)=xα 为奇函数且在(0,+∞)内单 ? ? 调递减的 α 值的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.当 x∈(1,+∞)时,下列函数图象恒在直线 y=x 下方的偶函数是( ) 1 - - A.y=x B.y=x 2 C.y=x2 D.y=x 1 2 5.如果幂函数 y=(m2-3m+3)· xm2-m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是( ) A.-1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 C.m=2 D.m=1 二、填空题 1? 6.若幂函数 y=f(x)的图象经过点? ?9,3?,则 f(25)=________. 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2.若对任意的 x∈[t,t+2],不 等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是____________. 1 8. 如图所示是幂函数 y=xα 在第一象限内的图象,已知 α 取± 2,± 四个值,则相应于曲 2 线 C1,C2,C3,C4 的 α 依次为________________.

三、解答题 1? 9.已知点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点? ?-2,4?在幂函数 g(x)的图象上,问当 x 为何值时, (1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x).

44

10.已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求其解析式,并讨论 此函数的单调性和奇偶性.

§ 2.3

幂函数

答案
(4)原点(0,0) y 轴

自学导引 1.y=xα 底数 指数 2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (5)四 对点讲练 【例 1】 解 根据幂函数定义得 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1,

(3)(1,1) 递减

当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数; 当 m=-1 时,f(x)=x-3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故 f(x)=x3. m +2m-2=1 ? ? 由题意得?m -1≠0 ? ?2n-3=0
2 2

变式迁移 1 解



? ?m=-3 3 解得? 3 ,所以 m=-3,n= . 2 ? ?n=2
5 (1)函数 y=x- 在(0,+∞)上为减函数, 2 5 5 又 3<3.1,所以 3- >3.1- . 2 2 1 7 7 ? ,函数 y=x7在(0,+∞)上为增函数,又1>1,则?1?7>?1?7, (2)-8- =-? 8 ? ?8 ?8?8 ?9?8 8 8 8 9 1?7 7 从而-8- <-? ?9?8. 8 2? 2 ?2? 2 变式迁移 2 解 (1)? ?-3?-3=?3?-3, ?-π?-2=?π?-2, ? 6? 3 ?6? 3 2 ∵函数 y=x- 在(0,+∞)上为减函数, 3 2 π 又∵ > , 3 6 2? 2 ?2? 2 ?π? 2 ∴? ?-3?-3=?3?-3<?6?-3 π? 2 =? ?-6?-3. 2 2 2 2 (2)4.1 >1 =1,0<3.8- <1- =1, 5 5 3 3 3 (-1.9) <0, 5 3 2 2 所以(-1.9) <3.8- <4.1 . 5 3 5 【例 2】 解 【例 3】 解 ∵函数在(0,+∞)上递减,

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∴3m-9<0,解得 m<3,又 m∈N*,∴m=1,2. 又函数图象关于 y 轴对称, ∴3m-9 为偶数,故 m=1, 1 1 ∴有(a+1)- <(3-2a)- . 3 3 1 又∵y=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均递减, 3 ∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 2 3 或 a+1<0<3-2a,解得 <a< 或 a<-1. 3 2 变式迁移 3 解 由已知,得 m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3. 又∵m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3, 当 m=0 或 m=2 时,y=x-3 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不符合题意. ∴m=-1,1,3. 当 m=-1 或 m=3 时,有 y=x0,其图象如图①所示. 当 m=1 时,y=x-4,其图象如图②所示.

课时作业 1.D 2.A 3.A 4.B

?m2-3m+3=1 ? 5.B [由已知? 2 ? ?m -m-2≤0
得 m=1 或 m=2.] 1 6. 5 1 1 解析 设 f(x)=xα,则 9α= ,α=- . 3 2 1 1 ∴f(25)=25- = . 2 5 7.[ 2,+∞) 解析 f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2. 即 x2-2tx-t2≤0 在 x∈[t,t+2]上恒成立, 又对称轴为 x=t,只须 g(t+2)≤0,∴t≥ 2. 1 1 8.2, ,- ,-2 2 2 9.解 设 f(x)=xα,由题意得:2=( 2)2?α=2, ∴f(x)=x2.

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同理可求:g(x)=x-2,在同一坐标系内作出 y=f(x)与 y=g(x)的图象,如图所示. 由图象可知: (1)当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x). (2)当 x=± 1 时,f(x)=g(x). (3)当-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<g(x). 10.解 由幂函数的性质,知 m2-2m-3<0, ∴(m+1)(m-3)<0.∴-1<m<3. 又∵m∈Z,∴m=0,1,2. 当 m=0 或 2 时,y=x-3,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵(-x)-3=-x-3, ∴y=x-3 是奇函数. 又∵-3<0,∴y=x-3 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数. 当 m=1 时,y=x-4,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 1 1 ∵(-x)-4= = =x-4, 4 x4 ?-x? ∴函数 y=x-4 是偶函数. ∵-4<0,∴y=x-4 在(0,+∞)上是减函数. 又∵y=x-4 是偶函数, ∴y=x-4 在(-∞,0)上是增函数. 综上,当 m=0 或 2 时,y=x-3,此函数是奇函数,且在 (-∞,0)和(0,+∞)上都是 减函数;当 m=1 时,y=x-4,此函数为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0) 上是增函数.

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