正态分布--习题课


普通高中数学课程标准实验教科书(苏教版)选修2-3

2.6 正态分布
习 题 课

深圳外国语学校 袁 智 斌
手机18922891669 电子邮箱nihao0728@126.com

2.6 正态分布 教学目标
1、复习和加深对正态分布曲线的特点及其所表 示的意义的认识; 2、复习与巩固通过查标准正态分布表来求满足 标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概 率的方法; 3、介绍将非标准正态分布化为标准正态分布的 方法,阐述数学用表的制作思路中运用了公理化 思想和方法; 4、课堂测试、讲评与小结.

1、正态分布相关概念、 性质的再现与复习

正态分布与正态曲线
具有“中间高,两头低,左右对称”的特征的总 体密度曲线,一般就是或近似的是以下函数的图 像:

f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? (??,??)

? (? ? 0)是参数,分别表示总体的 式中的实数 ? 、 平均数与标准差.其分布叫做正态分布,由参数 ? , ? 唯 2 一确定.正态分布常记作 N ( ? , ? ) .它的图象被称 为正态曲线.

请同学们观察以下三条正态曲线,用自己 的语言简要归纳、概述正态曲线的性质

正态曲线的性质:

? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“扁 ④当 ①曲线在 x轴的上方,与x轴不相交. 平”,表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“尖陡”,表 x ? ? 时位于最高点. ②曲线关于直线 x ? ?对称,且在 示总 ③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当 体的分布越集中. ⑤在正态曲线下方和X轴上范围内的区域面积为 1. 曲线向左、右两边无限延伸时,以 x轴为渐近线,向它无限靠 近.

标准正态分布

当时 ? ? 0,? ? 1 ,正态总体称为标准正态总体,相应的函数
1 表示式是 f ( x ) ? e 2?
? x2 2

, x ? R ,相应的曲线称为标准正态曲线.

你能解释如图所示的正态曲线下的区域面 积的意义并能说出相关的结论吗? 在标准正态分布表中相应于 x 0的值? ( x 0 ) 是 总体取值不大于x 0 的概率,即

? ( x0 ) ? P ( x ? x0 )

或??x0 ? ? P?x ? x0 ?.

P?x ? x0 ? ? ?( x0 )

请说出如图所示的正态曲线下方与X轴围 成的区域面积的意义及相关结论
若X是一个服从正态分布的随机变量,对任给区 间 ?a, b?, P?a ? X ? b? 恰好是正态密度曲线下方和X轴

上 ?a, b? 上方所围成的图形的面积.特别的,服从标准正 态分布的随机变量X在区间 ?a, b? 上取值的概率为
P?a ? X ? b? ? ??b? ? ??a ?.

y

? ( x2 ) ? ? ( x1 )

x1

O

x2

x

你从正态曲线的对称性中能得 到怎样的结论? 由图中左右对称的两阴影部分的面积相等可知:
? ( x0 ) ? 1 ? ? ( ? x0 )

? ( x0 ) ? 1 ? ? ( ? x0 )

教材阅读与复习
请打开教材查阅以下知识点:
什么叫
3?

原则?什么叫中心极限定理?

你是如何理解正态分布的“正态”之意的

2、 方法与范例复习
通过查标准正态分布表,来求满足标准正 态分布的随机变量X在某一个范围内的概率.

2.6 正态分布相关解题方法复习
动手解答温 故知新 求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率.

2.6 正态分布相关解题方法复习
展示解答 复习方法 求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率. 解:利用等式 p ? ? ( x2 ) ? ? ( x1 ) 有

p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? (?1)?? ? ?(2) ? ?(1) ? 1 ? 0.9772? 0.8413? 1 ? 0.8185 .
自我评价:自己解答的结果是否正确? 格式是否规范?方法是否掌握?

3、正态分布化为标准化
? 问题1:对于满足标准正态分布的随机变量 的相应概率,我们已经可以通过转化、查 表等方法与手段来进行相应计算求解了; 但我们又面临一个新的问题,那就是——

当X ~ N ? , ?

如何计算P?a ? X ? b?呢?

?

2

??? ? 0或?

2

? 1 时,

?

非标准正态分布标准化
在后续的大学课程学习 中,大家将会学到: 可以证明,对于任一非 标准正态分布 X ~ N ? ,?

?

2

??? ? 0或?
X ??

2

? 1 来说,

?

可以通过Z ?

?? ? 0或?

Z ~ N ?0,1?.进而计算出任一正态分 布X ~ N ? , ?
2

?

来将之转化为标准正态 分布

? 1 的相应P?a ? X ? b ?.

?

?

2

?

高中阶段,这一数学结论不要求进行推导、证明; 但可以了解、学习进行相应的概率计算的方法.

正态分布标准化的范例学习
? 问题:高中阶段我们如何计算非标准正态 分布的相应概率?

? 下面简要介绍将非标准正态分布化为 标准正态分布的方法与相应概率计算 范例.

例1. X ~N ?184, 2.5 ? , 求:
2

正态分布标准化的范例学习

?1? P ? X ? 184.5? ; ? 2 ? P ?179 ? X ? 189 ? .
解: ? X ~N ?184, 2.52 ? , ? X ? 184 184.5 ? 184 ? ? ?1? P ? X ? 184.5 ? ? P ? ? ? 2.5 2.5 ? ? ? P ? Z ? 0.2 ? ? 1 ? P ? Z ? 0.2 ? ? 1 ? 0.5793 ? 0.4207;

? 179 ? 184 X ? 184 189 ? 184 ? ? ? 2 ? P ?179 ? X ? 189 ? ? P ? ? ? ? 2.5 2.5 2.5 ? ? ? P ? ?2 ? Z ? 2 ? ? P ? Z ? 2 ? ? P ? Z ? ?2 ? ? P ? Z ? 2 ? ? P ? Z ? 2 ? ? P ? Z ? 2? ? ? ?1 ? P ? Z ? 2 ? ? ? ? 2 P ? Z ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544.

正态分布标准化的范例学习
? 问题:高中阶段我们如何计算非标准正态 分布的相应概率?

? 详细的文字说明,请大家课下打开教 材P76-77进行阅读或到图书馆阅读相 关书籍,以及上网查阅,进一步学习、 研究将非标准正态分布化为标准正态 分布的方法与相应概率计算范例.

问题2: 附录1标准正态分布P数值表 中Z的值列有负值吗?为何不列 出负数值? 为何附录中仅仅只列出标准 正态分布P数值表? ? 介绍公理化方法.

公理化方法介绍
? 建立科学的理论体系,首先应从具体 事物抽象出最简单、不加定义的概念 作为定义其他一切概念的本源. 这组不 加定义的概念通常称为原始概念 (primitive concept).再设置一组公认 正确而不需证明的命题作为证明其他 一切命题的基础,这组不需证明而承 认其真实性的命题通常称为公理 (axiom).

公理化方法介绍
? 选择尽可能少的原始概念和一组公理 作为出发点,采用逻辑推理的规则, 建立起演绎系统的方法称为公理化方 法(axiomatic methed). ? 范例:欧几里德(Euclid,约前330~ 前275)的《原本》;牛顿(Newton, 1642~1727)的力学体系;美国的《独 立宣言》;元素周期表;数学用 表;…
?阐述数学用表的制作思路中运用了公理化 思想和方法.

公理化方法介绍
? 随着数学研究的领域和应用的范围的 不断扩大,公理化方法得到进一步完 善和发展,现代公理化思想已渗透到 几乎所有领域.

师生交流、共拟课堂小结
请用简洁、明了的语言概述 今天课堂上所学、所感.

师生交流、共拟课堂小结
? 本节课再现与复习了正态分布的若干性质,加深 和巩固了对正态曲线与正态分布的性质的认识, 并通过温故知新、课堂检测及时讲评等环节来加 强了对利用《标准正态分布表》及相关结论进行 相应概率计算的方法的掌握. ? 学习了正态分布的标准化及相应运算.阐述了数 学用表的制作思路中采用了公理化方法 ? 现实世界中的很多随机变量都遵循正态分布.我 们从中初步感悟到“正态分布”揭示的大千世界 中很多随机变量(事件)的分布都遵循“左右对 称、中间多、两端少”的规律的深刻含义,并且 这种规律或现象具有一定的普遍和“正常状态”

布置作业
注意复习:频率 分布直方图、总 ? 课本: P78 4 ; 体密度曲线 ? 步步高课时作业: P41-42 2. 5.2离散型随机变量的方 差与标准差(二) ? 阅读步步高课时作业上P45-46 章末总结 ? 完成步步高单元检测卷第2章概率(B)星期三早自习 交

? 拓展阅读 阅读课本P76-77正态分布的标 准化
阅读课本,复习巩固正态分布的相关知识方法!

注意:非标准正态分布转化 为标准正态分布问题研究

一、复习
1) 随机变量的分布列

设随机变量 X 的所有可能取值为

x1 , x2 , ?, xn , ?
并设 P? X ? x n ? ? pn 则称上式或

? n ? 1,
x2 p2

2, ? ?
xn
? ?

X

x1 p1

?,

P

? , pn

为随机变量 X 的分布列.

2)随机变量分布列的性质:

⑴ 对任意的自然数 n,有 pn ? 0;



?p
n

n

? 1.

3).在掷一枚图钉的随机试验中,令
?1, 针尖向上 X ?? ?0, 针尖向下

如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p),于是, 随机变量X的分布列是:

X P

0 1—p

1 p

两点分布列:X~0-1分布.X~ 两点分布

超几何分布的概率背景
一批产品有 N件,其中有 M 件次品,其余 N-M 件为正品.现从中取出 n 件. 令 X为取出 n 件产品中的次品数. 则 X 的分 布列为
k n? k CM CN ?M P?X ? k? ? n CN

?k ? 0, 1, ?, min?M, n??

此时,随机变量 X 服从超几何分布

二、复习:超几何分布
如果随机变量 X 的分布列为 k n? k CM CN ?M ?k ? 0, 1, ?, min?M, n?? P?X ? k? ? n CN
其中N, M, n 均为自然数.

则称随机变量 X 服从超几何分布.

记为:x ~ H(n,M,N),
N ?M P(X=k)= C M C , 记为 : H (k;n, M , N ) n k n ?k

C

N

在B发生的条件下A包含的样本点数 P( A | B)= 在B发生的条件下样本点数 AB包含的样本点数 = B包含的样本点数

AB包含的样本点数/总数 P (AB) = = B包含的样本点数/总数 P (B)
.

定义 对任意事件 A 和 B ,若 P( B) ? 0 ,则“在事件 B 发生的条件下 A 的条件概率”记作 :P(A | B).

P (AB) ? 概率乘法公式P ? AB? ? P ? A | B? P ? B? P ( A | B )= P (B)

引例:盒中有5个球其中有3个绿的2个红的,每次取 一个,有放回的取两次,设 A ? 第一次抽取, 取到绿球,

B ? 第二次抽取, 取到绿球,
试求

P( A), P( B), P( AB), P( A | B), P( B | A) 3 解:因为是有放回的依次取球,所以, P? A ?) ,则称 , 一般地,若事件A、B满足 P( A | B) ? P (?A
5

事件A、B独立. 1 1 C3 C3 3 3 充要条件 3 P ? B ? ? , P ? AB ? ? 1 1 , P ? A | B ? ? , P ? B | A ? ? . 推论1、若事件 A、 B 独立,则 5 C5 C 5 5 5 P( AB) ? P( A) ? P( B) 反之,亦成立吗? 推论2、两个事件的独立性可以推广到 n(n ? 2)个. 若 A1 , A2 ,?, An相互独立,则这个事件同时发生的概率为

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 )P( A2 )?P( An )

在独立重复试验中,某事件A第一次发生时所作的试验 次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量. “ξ =k”表 示在第k次独立重复试验时事件 A 第一次发生.如果把 第k次实验时事件A发生记为 A k, p( A k )=p,那么

P(? ? k ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ??? AK ?1 ? Ak ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ??? P( AK ?1 ) ? P( Ak ) ? (1 ? p)k ?1 ? p ? q k ?1 ? p.(k ? 1, 2, ???.q ? 1 ? p)
于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ P 1 p 2 pq 3 … pq2 … k …

pqk-1 …

称ξ服从几何分布,并记 g (k , p) = p· qk-1

二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少? 在这个试验中,随机变量是什么? k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p q 其中k = 0,1,…,n .p = 1- q. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

ξ

请大家打开教材阅读二项分布的引入部分
0 1 ? k ? n
0 0 n 1 1 n ?1 k k n ?k 看自己是否理解何为二项分布? C p q C p q C p ? ? n n n p q n n 0 Cn pq

0 0 n 1 n ?1 1 r n? r r n n 0 就是(q ? p)n ? Cn p q ? Cn q p ? ? ? Cn q p ? ? ? Cn q p

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记 ) 作 ? ~ B(n, ,p 其中 n,p为参数,并记

C pq

k n

k

n ?k

? b(k; n, p)

随机变量的期望与方差
复习课 一般地,若随机变量 ? 的概率分布为

?
P

x1 p1

x2
p2

… xn …
pn





则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p2 ? ? ? ? ? x n pn ? ? ? ? 为 ? 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.

设η=aξ+b,其中a,b为常数,则η也是随机变量.
E(aξ+b)=aEξ+b.

回顾、复习:

如何计算一组数据 和标准差?

x1 , x2 ,?, xn

的方差

一组数据方差越大,说明这组数据波动越大!

几个重要结论(建议抄写在书上并记忆在脑中) ① 若 ? ? a ? ? b , 则 E ? ? E ?a ? ? b ? ? aE ? ? b
② 若 ? ~ B ?n , p ?,则 E ? ? np

D? ? D?a? ? b? ? a 2 D?
D? ? np?1 ? p?
q D? ? 2 p

③ 若 ? 服从几何分布,则 E? ?

1 p

④ 若 ? 服从 0 ~ 1 分布,则 E? ? p

D? ? pq
⑤ 若ξ 服从超几何分布呢? ,
E? ? nM . N

nM ( N ? M )( N ? n) D? ? N 2 ( N ? 1)

课堂是有限的, 探究是无限的!

建议同学们课后进一步钻研讨论交流
今天所学、所感!

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2.6 正态分布
多谢大家,再见!

作业:
课本: P78 4 ; 阅读课课练上第63-64页学习要点部分与例题评析部分; 拓展阅读 阅读课本P76-77正态分布的标准化

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2010年5月26日

袁智斌

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以下为素材附录

课堂检测
? 请同学们在所发检测卷上写上班级、姓 名、学号; ? 并请大家认真、快速解答; ? 时间到,请同学们和邻座的同学交换检 测卷,边听老师讲评便对照答案用红笔 进行评改; ? 请最后一排的同学下位收评改好的检测 卷,递交到讲台上来.

例.从规定尺寸为25.40mm的一堆产品中任取 100件, 探究:通过什么途径和方法来揭示和表现这些 测得尺寸如下: 看起来杂乱无章的数据的频率分布? 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27

25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41
25.53 25.46 25.38 25.34 25.35 25.39 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.30 25.39 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.41 25.37 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38

列出频率分布表、画频率分布直方图的方法 一、计算最大值与最小值的差(也称极差),

从而知道这组数据的变动范围.极差为:25.56 –25.24=0.32 二、决定组距与组数(即将数据分组) 组数:将数据分组,当数据在100个以内时,按数 据多少分成5-12组. 本题数据将会被分为11组. 组距:指每个小组的两个端点的距离,组距=极差/组数 因为本题数据极差为:25.56 –25.24=0.32,所以确定全距为 0.33,决定以组距0.03将区间[25.235,25.565]分为11组.备注: 通常对组内数值所在区间取左闭右开,最后一个区间取闭 区间,如果取全距时不便于分组(如不能被组数整除)可 以适当增大全距,比如在左、右两端各增加适当范围(尽 量使两端增加的量相同) 1).. 画频率分布直方图; 三.登记频数,计算频率, 频率 2 ) .长方形的面积 ? 组距 ? ? 频率. 列出频率分布表 组距

数一数看分成了几组?各区间是如何表示的? 四.列出频率分布表核实一下表格中频率和累计频率正确吗?
分 组 个数累计

T

频 数
1
2




0.01
0.02

累计频率
0.01
0.03

[25.235,25.265)
[25.265,25.295)

[25.295,25.325)
[25.325,25.355)


正正 T

5
12

0.05
0.12

0.08
0.20

[25.355,25.385)
[25.385,25.415) [25.415,25.445)

正正正下
正正正正正 正正正一

18
25 16

0.18
0.25 0.16

0.38
0.63 0.79

[25.445,25.475)
[25.475,25.505) [25.505,25.535) [25.535,25.565] 合计

正正下
TT T T

13
4 2 2 100

0.13
0.04 0.02 0.02 1.00

0.92
0.96 0.98 1.00

五.画频率分布直方图
注意:直方图的纵轴表示频率与组距的比值,

频率 ? 组距=频率 长方形的面积= 组距

频率折线图
备注:将频率分布直方图中各相邻矩形的上 底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线, 我们称这条折线为本组数据的频率折线图 (frequency polygon).

当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分 布直方图上的频率折线图将会无限接近一条光滑曲线——总体 密度曲线.

总体密度曲线的形状特征?

中间高,两头低
频率 组距

总体密度曲线

且左右大致对称
总体在区间(a , b)内取值的概率

产品 尺寸 (mm)

a

b

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作业:
课本: P78 4 ; 阅读课课练上第63-64页学习要点部分与例题评析部分; 拓展阅读 阅读课本P76-77正态分布的标准化

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课内小结: 本节课我们主要学习了正态分布的若干性 质,服从正态分布的总体特征,如何使用《标 准正态分布表》,要求同学们都知道正态曲线 的大致形状以及从图象上直观得到正态分布的 性质,并能利用《标准正态分布表》及相关等 式进行计算。

练习:P76 1、2

再见!

作业: 课本: P78 1、2、3 课课练: 第13、14课 阅读教材,复习巩固正态分布的相关知识方法! 大家分组讨论交流今天所学、所感!

3.设随机变量ζ~N(2,4),则D( (A)1 (B)2 (C)0.5 (D)4

? ) 等于 2

4.填空题 (1)若随机变量ζ~N(1,0.25),则2ζ的概率密度函 数为 .
(2)期望为2,方差 2? 为的正态分布的密度 函数是 . (3) 已知正态总体落在区间 (0.2 ,+∞) 的概率是 0.5,则相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高 点. (4)已知ζ~N(0,1),P(ζ≤1.96)=Ф(1.96)= 0.9750,则Ф(-1.96)= .

例2.正 态 总 体 N(0, 1) 的 概 率 密 度 函 数 是 : 2? ? (1) 求 证 : f ( x )是 偶 函 数 ; (2) 求f ( x )的 最 大 值 ; (3) 求f ( x )的 单 调 区 间 . f ( x) ? 1 e
? ( x ? ? )2 2? 2


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