设计必修五课堂讲义1-1-1(1)


预习导学 高中数学 · 必修5· 人教A版

第一章

解三角形

第一章
1. 1

解三角形

正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理(一)

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第一章

解三角形

[学习目标]

1 .通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定
理的内容及其证明方法. 2 .能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角 形问题.

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[知识链接] 下列说法中,正确的有________.

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解三角形

a ①在直角三角形中,若 C 为直角,则 sin A=c ; ②在△ABC 中,若 a>b,则 A>B; ③在△ABC 中,C=π-A-B; ④利用 AAS、SSA 都可以证明三角形全等; 2 π ⑤在△ABC 中,若 sin B= 2 ,则 B=4;

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第一章

解三角形

答案 ①②③ 解析 根据三角函数的定义,①正确;在三角形中,大边对大 角,大角对大边,②正确;三角形的内角和为 π,③正确;AAS 2 可以证明三角形全等, SSA 不能证明, ④不正确; 若 sin B= 2 , π 3π 则 B=4或 4 ,⑤不正确,故①②③正确.

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[预习导引] 1.在 Rt△ABC 中的有关定理 在 Rt△ABC 中,C=90° ,则有: (1)A+B=90° ,0° <A<90° ,0° <B<90° ; (2)a2+b2=c2(勾股定理); a b c (3)sin A=c;sin B=c;sin C=c.

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解三角形

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2.正弦定理

第一章

解三角形

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, a b c 即 sin A=sin B=sin C , 这个比值是三角形外接圆的直径 2R. 3.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形.

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第一章

解三角形

要点一 例1

正弦定理的推导与证明

a b c 在锐角△ABC 中,根据右图证明:sin A=sin B=sin C.

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第一章

解三角形

CD CD 证明 如题图,根据三角函数的定义:sin A= ,sin B= . b a a b ∴CD=bsin A=asin B.∴ = . sin A sin B b c 同理,在△ABC 中, = . sin B sin C a b c ∴ = = 成立. sin A sin B sin C

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第一章

解三角形

规律方法

从正弦定理可以推出它的常用变形有:

a b b c a c (1)sin A=sin B,sin B=sin C,sin A=sin C. a sin A a sin A b sin B (2)b=sin B,c =sin C, c=sin C. (3)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. (4)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

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第一章

解三角形

a b c 跟踪演练 1 在钝角△ABC 中,如何证明sin A=sin B=sin C仍 然成立? 证明 如右图,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,D 是 BA 延长线 上一点,

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第一章

解三角形

CD 根据正弦函数的定义知: =sin ∠CAD=sin(180° -A)=sin b CD A, =sin B. a a b ∴CD=bsin A=asin B.∴ = . sin A sin B b c a b c 同理, = .故 = = . sin B sin C sin A sin B sin C

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要点二 已知两角及一边解三角形

第一章

解三角形

例 2 (1)已知△ABC 中,a=20,A=30° ,C=45° ,求 B,b,c. (2)在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,求 A,b,c. 解 (1)∵A=30° ,C=45° ;∴B=180° -(A+C)=105° ,由正弦

asin B 20sin 105° 定理得 b= sin A = sin 30° =40sin(45° +60° ) asin C 20sin 45° =10( 6+ 2);c= = =20 2, sin A sin 30° ∴B=105° ,b=10( 6+ 2),c=20 2.

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第一章

解三角形

(2)A=180° -(B+C)=180° -(60° +75° )=45° , b a 由正弦定理sin B=sin A, asin B 8×sin 60° a c asin C 得 b= sin A = sin 45° =4 6, 由sin A=sin C, 得 c= sin A = 2+ 6 8×sin 75° 8× 4 = =4( 3+1). sin 45° 2 2

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第一章

解三角形

规律方法

已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路

是:
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对 边,再由三角形内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求 出第三个角,再由正弦定理求另外两边.

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第一章

解三角形

跟踪演练 2 在△ABC 中,a=5,B=45° ,C=105° ,求边 c. 解 由三角形内角和定理知 A+B+C=180° , 所以 A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° . a c 由正弦定理 = , sin A sin C +45° ? sin C sin 105° sin?60° 得 c=a· sin A=5· sin 30°=5· sin 30° sin 60° cos 45° +cos 60° sin 45° 5 =5· =2( 6+ 2). sin 30°

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第一章

解三角形

要点三 已知两边及一边的对角解三角形 例 3 在△ABC 中,分别根据下列条件解三角形: (1)a=1,b= 3,A=30° ;(2)a= 3,b=1,A=60° ; (3)a= 3,b=1,B=120° .

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第一章

解三角形

bsin A 3sin 30° 3 解 (1)根据正弦定理,sin B= a = =2. 1 ∵b>a,∴B>A=30° ,∴B=60° 或 120° . 当 B=60° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +60° )=90° , b 3 ∴c=sin B=sin 60° =2; 当 B=120° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +120° )=30° , bsin C 3sin 30° c= sin B = sin 120°=1.

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bsin A sin 60° 1 (2)根据正弦定理,sin B= a = =2. 3 ∵b<a,∴B<A=60° ,∴B=30° . ∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +30° )=90° . b 1 ∴c=sin B=1=2. 2

第一章

解三角形

asin B 3sin 120° 3 (3)根据正弦定理,sin A= = = >1. b 1 2 因为 sin A≤1.所以 A 不存在,即无解.

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规律方法
方法

第一章

解三角形

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角, 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值

可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对 的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.

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第一章

解三角形

π 跟踪演练 3 (1)在△ABC 中,已知 a=2,c= 6,C=3,求 A, B,b. π (2)在△ABC 中,已知 a=2,c= 6,A=4,求 C,B,b. a c asin C 2 解 (1)∵ = ,∴sin A= = . sin A sin C c 2 π ∵c>a,∴C>A.∴A=4. 5π 6· sin 12 5π csin B ∴B= ,b= = = 3+1. 12 sin C π sin 3
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第一章

解三角形

a c csin A 3 (2)∵sin A=sin C,∴sin C= a = 2 . π 2π 又∵a<c,∴C=3或 3 . π 5π asin B 当 C=3时,B=12,b= sin A = 3+1. 2π π asin B 当 C= 3 时,B=12,b= sin A = 3-1.

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解三角形

再见
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