线面垂直方法的总结



线面垂直方法的总结
辽宁省大连市长海县高级中学 程聿剑 Tel:15541175086 QQ: 66284693E-mail:dyslzcyj@163.com 邮编: 116500 (人教大纲 A 版 高二年级 第 29 期 第 x 版 x 栏目)
我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理,大家可以体会线线垂直在 证明线面垂直时的重要性,将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学 思想方法.在处理实际问题过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结 论入手分析所要证明的重要垂直关系,从而架起已知与未知的“桥梁” ,同学们下面欣赏常 见的线面垂直证明方法. 一、 应用勾股定理 P 同学们知道如果一个三角形的边长满足 A M a 2 ? b 2 ? c 2 ,则这个三角形是直角三角形,可以 A C 得到线线垂直的关系. D A 例 1:如图 1 所示,点 P 是梯形 ABCD 所在平 A 面外一点, PD ? 平面 ABCD , AB ∥ CD ,已知

BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 4 5 .设 M 是 PC 上的一
点,求证: BD ? 平面 PAD . 证明:∵ PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ∴ BD ? PD . 又∵ BD ? 8 , AD ? 4 , AB ? 4 5 ,

A
A

图1

B
A

∴ AD ? BD ? CD ,∴∠ ADB ? 90? ,∴ BD ? AD
2 2 2

又∵ PD ? 平面 PAD , AD ? PAD , PD ? AD ? D . ∴ BD ? 平面 PAD . 二、 应用等腰(等边)三角形三线合一性质 所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线 线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作. P 例 2:如图 2 所示,已知 PA 垂直于 ? O 所在平面, AB 是 ? O 的直径, 且 点 C 是 ? O 的圆周上异于 A 、B 的任意一点, PA ? AC , E 是线段 PC 的 中点.求证: AE ? 平面 PBC . 证明:∵ PA ? ? O 所在平面, BC 是 ? O 的弦,∴ BC ? PA . 又∵ AB 是 ? O 的直径,?ACB 是直径所对的圆周角, BC ? AC . ∴ ∵ PA ? AC ? A, PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC . ∴ BC ? 平面 PAC , AE ? 平面 PAC ,∴ AE ? BC . ∵ PA ? AC ,点 E 是线段 PC 的中点.∴ AE ? PC . ∵ PC ? BC ? C , PC ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC .

E A
O ?
图2

B
C

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∴ AE ? 平面 PBC . 此题利用 AE 三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,同学们要注意向三角形的 三线合一转化.同时应用了圆的直径所对的圆周角是直角这个重要的结论,这点体现了平面 几何对于立体几何的重要性. 三、 应用两条平行线的性质 大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的 直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也 可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法. 例 3:如图 3 所示, P 为△ ABC 所在平面外一点, BC ? 平面 PAB , G 为 PB 的中 点, M 为 PC 的中点, N 在 AB 上, AN ? 3NB ,求证: AB ? 平面 MNG . P 证明:取 AB 的中点 H ,连结 PH . M ∵ G 为 PB 的中点, M 为 PC 的中点, ∴ GM 为△ PBC 的中位线,∴ GM ∥ BC . G ∵ BC ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , C A ∴ BC ? AB ,∴ AB ? GM . H 又∵ PA ? PB , H 为线段 AB 的中点,∴ AB ⊥ PH . N B 图3 ∵ G 为 PB 的中点, N 为 HB 的中点,∴ PH ∥ GN .∴ AB ⊥ GN . ∵ GM ? GN ? G , GM ? 平面 MNG , GN ? 平面 MNG , ∴ AB ? 平面 MNG . 本题 GM 和 GN 分别是所在三角形的中位线, 对于证明方法有很大的帮助,同学们在 后的解题中要注意根据已知条件找到平行关系是解题的关键. 四、 应用平面图形的几何性质 我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立 体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的 性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用. P 例 4:如图 4 所示,四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形,点 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点,∠ BCD ? 60? , E 是 CD 的 中点, PA ? 平面 ABCD ,求证: BE ⊥平面 PAB . 证明:∵ PA ? 平面 ABCD , BE ? 平面 ABCD , D ∴ BE ? PA ,如图 5 所示, E ∵底面 ABCD 是的菱形,∠ BCD ? 60? , A ∴∠ ABD ? 60? . ∵ E 是 CD 的中点,∴∠ DBE ? 30? , ∴∠ ABE ? ?BCD ? ?DBE ? 60? ? 30? ? 90? , 图4 B ∴ BE ? AB . C ∵ PA ? AB ? A , PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BE ⊥平面 PAB . 本题菱形 ABCD 的性质对于解决立体几何的线面垂直有着很重要 的作用,类似这样的方法很多,所以同学们要重视平面几何定义、定理、 性质的应用.以上解题方法体现了立体几何证明的一个重要的思想方法: 立体几何平面化,即转三维问题为二维,可以合理的解决立体几何问题.

C

E B
30? 60?

D

图5

A

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