3-2-4 利用向量知识求空间中的角


基础巩固强化 一、选择题 1.平面 α 的斜线 l 与它在这个平面上射影 l′的方向向量分别为 a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线 l 与平面 α 所成的角为( A.30° [答案] C [解析] l 与 α 所成的角为 a 与 b 所成的角(或其补角), ∵cos 〈a, a· b 1 b〉= = , |a|· |b| 2 ∴〈a,b〉=60° . 2.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分 别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为( 15 A. 6 15 C. 3 [答案] D [解析] ∵ 15 15 为 6 或- 6 . 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为( 10 A.- 5 ) 10 B. 5 ?0,-1,3?· ?2,2,4? 15 = 6 , ∴这个二面角的余弦值 1+9 4+4+16 15 B.- 6 D.以上都不对 ) B.45° C.60° D.90° ) 15 C.- 5 [答案] B 15 D. 5 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2, 则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1). → → → ∴BD=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1). 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z). → → ∵n⊥BD,n⊥BB1, ?-2x-2y=0, ?x=-y, ? ? ∴? ∴? ? ? ?2z=0, ?z=0. 令 y=1,则 n=(-1,1,0). → → n· BE 10 ∴cos〈n,BE〉= = 5 ,设直线 BE 与平面 B1BD 所成角 → |n||BE| → 10 为 θ,则 sinθ=|cos〈n,BE〉|= 5 . 4.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分 别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为 ( ) 3 A. 2 3 C.5 [答案] D 10 B. 10 2 D.5 → → → → → → [解析] 解法一:∵AM=AA1+A1M,CN=CB+BN, → → → → → → ∴AM· CN=(AA1+A1M)· (CB+BN) → → 1 =AA1· BN=2. → 而|AM|= → → → → → ?AA1+A1M?· ?AA1+A1M? → = |AA1|2+|A1M|2= 1 5 1+4= 2 . → 5 同理,|CN|= 2 .如令 α 为所求角,则 → → 1 AM· CN 2 2 cosα= = = .应选 D. → → 5 5 |AM||CN| 4 解法二:如图以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、 1 z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),M(1,2,1),C(0,1,0),N(1,1, 1 2), → ? → 1 ? 1 1 ∴ AM = ?1,2,1? - (1,0,0) = (0 ,2 , 1) , CN = (1,1 , 2 ) - (0,1,0) ? ? 1 =(1,0,2). → → 1 1 1 故AM· CN=0×1+2×0+1×2=2, → |AM|= → |CN|= ?1? 5 02+?2?2+12= 2 , ? ? ?1? 5 12+02+?2?2= 2 . ? ? 1 → → 2 AM· CN

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