高二数学椭圆专题详细解析


朗培教育椭圆专题解析
1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a(2a ?| F2 F2 |) 的动点 P 的轨迹叫椭圆,其中两个定 点 F1、F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段 (2)椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的 轨迹为椭圆 (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化). ;

2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程 参数关系 性 焦点 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

a 2 ? b2 ? c 2
(c,0), (?c,0) (0, c), (0,?c)

2c

| x |? a, | y |? b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0, b)
e?
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, | x |? b (0,?a),(0, a),(?b,0),(b,0)
c ? (0,1) a

准线

x??

a2 c

y??

a2 c

考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 [例 1 ] (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质: 从椭圆的一个焦点出发的光线, 经椭圆反射后, 反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的 路程是 A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能
y

[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1) A ? C ? A ,此时小球经过的路程为 2(a-c); (2) A ? B ? D ? B ? A , 此时小球经过的路程为 2(a+c); C A
O

P D B Q
x



(3) A ? P ? B ? Q ? A 此时小球经过的路程为 4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1. 短轴长为 5 ,离心率 e ? ( B.6

2 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A 、 B 两点,则△ ABF2 的周长为 3
) C.12 D.24

A.3

[解析]C. 长半轴 a=3,△ABF2 的周长为 4a=12 2. 已 知 P 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 一 点 , M , N 分 别 为 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上 的 点 , 则 25 16
) C .13 D. 15

PM ? PN 的最小值为(
A. 5 B. 7

| PC | ? | PD |? 10 , PM ? PN 的最小值为 10-1-2=7 [解析]B. 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点,?
题型 2 求椭圆的标准方程 [例 2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的 端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 a, b, c 的式子“描述”出来

x2 y2 x2 y 2 [解析]设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b b a b?c ? ? 则 ?a ? c ? 4( 2 ? 1) , ? a 2 ? b2 ? c2 ? x2 y2 x2 y 2 ? ?1或 ? ? 1. 32 16 16 32 【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数 a, b, c 的数量关系.
解之得: a ? 4 2 ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为 [警示]易漏焦点在 y 轴上的情况. 【新题导练】 2 2 3. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为

x2 y2 2 + =1. 焦点在 y 轴上,则 >2,即 k<1. 2 2 k k

又 k>0,∴0<k<1. 4.已知方程 x cos? ? y sin ? ? 1,? ? (0,? ) ,讨论方程表示的曲线的形状
2 2

[解析]当 ? ? (0, 当? ?

?
4

) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

?
4

时, sin ? ? cos ? ,方程表示圆心在原点的圆,

当? ? (

? ?

, ) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2


5. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 , 求这个椭圆方程. [解析] ?

?a ? c ? 3 ? ?a ? 2c

2 ? x2 y x2 y2 ?a ? 2 3 ,? b ? 3 ,所求方程为 + =1 或 + =1. ? 12 9 9 12 ? ?c ? 3

考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率(或范围) [例 3 ] 在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率

e?



【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率 [解析] S ?ABC ?

1 | AB | ? | AC | sin A ? 3 , 2

? | AC |? 2 3 , | BC |? | AB |2 ? | AC |2 ?2 | AB | ? | AC | cos A ? 2
e? | AB | 2 3 ?1 ? ? | AC | ? | BC | 2 3 ? 2 2

【名师指引】 (1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确定,离心率也随之确定 (2)只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) (3) “焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】 6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

A.
[解析]选 B

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

7.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 m n

?2 n ? 2 m ? n ?m ? 2 x2 y 2 2 ? 2 2 ? ? 1 的离心率为 ?? [解析]由 ?n ? m n ,椭圆 m n 2 ?n ? 4 ?m n ? 0 ?
题型 2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) [例 4 ] 已知实数 x , y 满足
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值 4 2

【解题思路】 把 x ? y ? x 看作 x 的函数

[解析] 由

1 x2 y 2 ? ? 1得 y2 ? 2 ? x2 , 2 4 2



?2 ?

1 2 x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 2 1 1 3 ? x 2 ? y 2 ? x ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? , x ? [?2,2] 2 2 2 3 当 x ? 1 时, x2 ? y 2 ? x 取得最小值 ,当 x ? ?2 时, x2 ? y 2 ? x 取得最大值 6 2
【新题导练】

x2 y 2 9.已知点 A, B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? = m n
[解析] 由 AO ? ? BO 知点 A, O, B 共线,因椭圆关于原点对称,? ? ? ?1 10. 如 图 , 把 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 长 轴 AB 分 成 8 等 份 , 过 每 个 分 点 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 25 16 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点

则 PF ________________ ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ? [解析]由椭圆的对称性知:

P 1F ? P 7F ? P 2F ? P 6F ? P 3F ? P 5 F ? 2a ? 35 .
考点 3 椭圆的最值问题 [例 5 ]椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为 16 9

___________. 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点 P,设 P( 4 cos? ,3sin ? ). 那么点 P 到直线 l 的距离为:

| 4 cos? ? 3sin ? ? 12 | 1 ?1
2 2

?

2 | 5 sin(? ? ? ) ? 9 | ? 2 2. 2

【名师指引】也可以直接设点 P ( x, y ) ,用 x 表示 y 后,把动点到直线的距离表示为 x 的函数,关键是要具有“函 数思想” 【新题导练】 11.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 16 9

[解析]设内接矩形的一个顶点为 (4 cos? ,3sin ? ) , 矩形的面积 S ? 48 sin ? cos ? ? 24 sin 2? ? 24 12. P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,求 | PF 1 | ? | PF 2 | 的最大值与最小值 a 2 b2
2 2

[解析] | PF ?[a ? c, a ? c] 1 | ? | PF 2 |?| PF 1 | (2a? | PF 1 |) ? ?(| PF 1 | ?a) ? a , | PF 1|


当 | PF 1 |? a 时, | PF 1 | ? | PF 2 | 取得最大值 a ,
2

当 | PF 1 |? a ? c 时, | PF 1 | ? | PF 2 | 取得最小值 b 13.已知点 P 是椭圆

2

x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) , 4

O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________.
[解析] 设 P (2 cos ? , sin ? ), ? ? (0,

?
2

) ,则

1 1 SOAPB ? S ?OPA ? S ?OPB ? OA ? sin ? ? OB ? 2 cos ? ? sin ? ? cos? ? 2 2 2
考点 4 椭圆的综合应用 题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例 6 ] 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 ? 0 ,1? ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP ? 3PB . (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【解题思路】通过 AP ? 3PB ,沟通 A、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于 m 的不等 式 [解析](1)由题意可知椭圆 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,可设 C :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

由条件知 a ? 1 且 b ? c ,又有 a ? b ? c ,解得 a ? 1 , b ? c ?
2 2 2

2 2

故椭圆 C 的离心率为 e ?

x2 c 2 2 ?1 ? ,其标准方程为: y ? 1 a 2 2

(2)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2
? ?x1+x2=-2x2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 ?

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0


2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,-2)∪(2,1) 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能 【新题导练】 14.设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为 坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是 ( )

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 2 C. 3x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0? 2
A. [解析]

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 2 D. 3 x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2
B.

3 3 AB ? (? x,3 y ), OQ ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1 ,选 A. 2 2
2 。 一曲线 E 过点 C, 动点 P 在曲线 E 上运动, 且保持|PA|+|PB| 2

15. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠CAB=90°, AB=2, AC=

的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的斜率为 k,若∠MBN 为钝角,求 k 的取值范围。 解: (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则 A(-1,0) ,B(1,0) 由题设可得

| PA | ? | PB |?| CA | ? | CB |?

2 2 2 3 2 ? 22 ? ( ) 2 ? ? ?2 2 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹方程为 则a ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

2 , c ? 1.b ? a 2 ? c 2 ? 1
x2 ? y2 ? 1 2

∴曲线 E 方程为

(2)直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1),设M ( x1 , y1 ),设M ( x1 , y1 , ), N ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0


∴方程有两个不等的实数根

? x 1 ? x2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x ? x ? 1 2 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? BM ? ( x1 ? 1, y1 ), BN ? ( x2 ? 1, y2 )
BM ? BN ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x1 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) 2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? 1 ? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵∠MBN 是钝角

? BM ? BN ? 0 即

7k 2 ? 1 7 7 ? 0 解得: ? 又 M、B、N 三点不共线? k ? 0 ?k? 2 1 ? 2k 7 7

综上所述,k 的取值范围是 (? 基础巩固训练

7 7 ,0) ? (0, ) 7 7

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 圆的离心率为( ) A

?BDB1 ? 90? ,则椭

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2
5 ?1 2

[解析] B .

b b ? (? ) ? ?1 ? a 2 ? c 2 ? ac ? e ? a c

2. 设 F1、F2 为椭圆 A、0 B、1

x2 2 +y =1 的两焦点,P 在椭圆上,当△F1PF2 面积为 1 时, PF 1 ? PF 2 的值为 4
D、3

C、2

[解析] A . ? S?F1PF2 ? 3 | yP |? 1 , ? P 的纵坐标为 ? 3.椭圆

3 2 6 3 ,从而 P 的坐标为 (? ,? ) , PF 1 ? PF 2 ? 0, 3 3 3

x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9
B. 2 x ? y ? 10 ? 0
2

A. x ? 2 y ? 0
2

C. 2 x ? y ? 2 ? 0

D. x ? 2 y ? 8 ? 0

y ? y2 x1 y2 x y2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得: x1 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) 1 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 4 , 36 9 36 9 x1 ? x2 y ? y2 1 ? 1 ?? x1 ? x2 2 3 4.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ? .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 4 . e?
[解析] D.


1 AB ? AC ? BC 2 5. 已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 ?PF 1 F2 : ?PF 2F 1 : ?F 1 PF 2 ? 1 : 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为
[解析] AB ? 4k , AC ? 3k , BC ? 5k , e ? _________. [解析]

3 ?1

[三角形三边的比是 1 : 3 : 2 ]

? a2 ? x2 y 2 6.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径的圆,过点 ? ,0 ? 作圆 a b ? c ? 的两切线互相垂直,则离心率 e = . 2 2 a ? 2a ? e ? [解析] c 2
综合提高训练 x2 y2 7、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与过点 A(2,0),B(0,1)的直线 l 有且只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 a b
e? 3 .求椭圆方程 2

[解析]直线 l 的方程为: y ? ?

1 x ?1 2


由已知

a2 ? b2 3 ? ? a 2 ? 4b 2 a 2

? x2 y2 ? ?1 ? 2 ? a2 b 由? ?y ? ? 1 x ? 1 ? 2 ?

得: (b 2 ?

1 2 2 a )x ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 4


∴ ? ? a 4 ? (4b 2 ? a 2 )(a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 ? 4b 2 由①②得: a 2 ? 2 , b2 ? 故椭圆 E 方程为 8.

1 2

y2 x2 ? ?1 1 2 2

x2 y2 2 已知 A、B 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (?1, )在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的 2 a b
交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求 [解析](1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 又 OM ? AB ∴ PA ? AB

sin A ? sin B 的值。 sin C



?c ? 1 ?1 1 ? ∴ ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b 2 2 2 ? ?a ? b ? c
∴椭圆的标准方程为

解得a 2 ? 2, b2 ? 1, c 2 ? 1

x2 ? y 2 =1 2
C

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2
A

B

在△ABC 中,由正弦定理,

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C



sin A ? sin B BC ? AC 2 2 ? ? 2 = sin C AB 2

9. 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,说明理由. D

y
C

A [解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是

O

B

x

?

??

2,0 , 2,1 .

?? ?

图8

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? . 2 a b
2

2

2

则2a ? AC ? BC ?

?

2? ? 2

?

?? ? ?1 ? 0?
2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2 ?a ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 . x2 y2 ? 1. ? 椭圆的标准方程是 ? 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?. 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, 1 ? 2k x ? 8kx ? 4 ? 0
2 2

?

?



8k 4 , x1 x 2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,
有 x1 ? x 2 ? ? 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k 2 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 所以,

?

?

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?



8 ? 4k 2 ? 0, 1 ? 2k 2

得 k 2 ? 2, k ? ? 2.

所以直线 l 的方程为 y ?

2 x ? 2 ,或 y ? ? 2x ? 2 .

所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.

参考例题: 1、 从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 F1 , A 为椭圆的右顶点, a 2 b2

B 是椭圆的上顶点,且 AB ? ?OP(? ? 0) .
⑴、求该椭圆的离心率.⑵、若该椭圆的准线方程是 x ? ?2 5 ,求椭圆方程. [解析] ⑴、

AB ? ? OP ,? AB ∥ OP ,? △ PF1O ∽△ BOA ,

?

PF1 BO

?

FO1 OA

?

c bc , ? PF1 ? a a

c 2 PF1 b2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? PF ? ,? b ? c , 而 a ? b ? c ? a ? 2c ? e ? . 1 2 2 2 a b a 2 a2 ? 2 5 ? a 2 ? 2 5c , ⑵、 x ? ?2 5 为准线方程,? c 2 ?a ? 2 5c 2 ? ? x2 y 2 ?a ? 10 ? ? 1. 由 ?b ? c . ? 所求椭圆方程为 ?? 2 10 5 b ? 5 ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2、设 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,若 ?F1 PF2 ? ,证明: ?F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关 3 ?PF 2 2 1 | ? | PF 2 |? 2a ? ?( PF1 | ? | PF2 |) ? 4a ? [解析]由 ? 得 , ? ? 2 2 2 2 2 2 | PF | ? | PF | ? | F F | ? 2 | PF || PF | cos ? | PF | ? | PF | ? 4 c ? | PF || PF | 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ? 1 ? 3 ?
又 P ( ?c, y ) ?

4 3 2 2 2 2 | PF1 || PF2 |? b 2 ? S ?F1PF2 ? b ,命题得证 ?3 | PF 1 || PF 2 |? 4(a ? c ) ? 4b ,? 3 3

10


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