2014年夏季北京市会考数学试卷


2014 年北京市夏季普通高中会考数学试卷
一.在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {?1, 0,1} ,集合 B ? x x ? 0 ,那么集合 A (A)

??1?
1

(B)

??1,0?
(C)2

(C) )

??1,1?
(D)4

?

?

B?(

)

(D)

??1,0,1?
开始

2、计算: 83 ? log 2 4 ? ( (A)0 (B)1

3、 经过坐标原点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 ( (A) x ? y ? 0 (B) x ? y ? 0 (C) x ? y ? 2 ? 0 (D) x ? y ? 2 ? 0 4、某程序框图如图所示, 执行该程序后输出的 y 的值为( (A)3 (B)4 (C)6 (D)8 5、已知正数 a , b 满足 a ? b ? 4 ,那么 a ? b 的最小值为( (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 )

) 否 )

x?3 x?5


y ? 2x ? 2


y ? x2 ? 1

6、函数 f (x) ? sinx 在区间 [0, ? ] 上的最小值为( (A)-1 (B)0 (C)

输出 y

1 2

(D)1

结束

7、已知某几何体的三视图如图所示,那么该几何体是( ) (A)四棱柱 (B)四棱椎 (C)四棱台 (D)六棱台 8、某校高中三个年级共有学生两千余人,且高一、高二、高三学生人数之比为 4 : 3 : 3 ,现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为 100 的样本,那 么应从高二年级学生中抽取的人数为( ) (A)30 (B)40 (C)50 (D)60 9、在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且前 4 项的和 S4 ? 10 , 那么 a4 ? ( (A)2 ) (C)4 (D)5 )
俯视图 主(正)视图 左(侧)视图

(B)3

10、在函数 y ? 2x , y ? (A) y ? 2x (B) y ?

x , y ?| x | , y ? tan x 中,奇函数是( x
(C) y ?| x | (D) y ? tan x )

11、 sin14 cos 76 ? cos14 sin 76 的值为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

12、△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(?1,1) , B(1, 0) , C (2, 2) ,那么向量 AB ? BC 的坐标是( (A) (1,3) (B) (3,1) (C) (2,3) (D) (?1, ?3) ) ) 13、函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 的图象一定经过的点的坐标是(



(A) (1, 0) (B) (1, a) (C) (0,1) (D) (0, a) 14、在长度为 4 的线段 EF 上任取一点 C,那么线段 EC 的长度不超过 1 的概率是( (A)

1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

1

?y ?1 15、已知实数 x, y 满足条件 ? ? x ? y ? 1 ,那么目标函数 z ? x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?



(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 16、对于下列四个命题: ①平行于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ③平行于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 其中正确命题的序号是( ) (A)① (B)② (C)③ (D)④ 17、某学校现有艺术、体育、科技三个课外社团,一位同学只能参加其中一个社团,且每位同学参加每个社团的可能 性相同。甲、乙两位同学都各自选择并参加了其中的某个社团,那么这两位同学恰好参加同一个社团的概率为( ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

18、已知定点 A(0,1) ,点 B 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是( ) (A) (? 2, 2) (B) (?1,1) (C) (0, ?1) (D) (?1, 0)

19、 “大数据”是当今流行词汇之一,它不仅用来描述大量的数据,也用来刻画处理数据的速度。某数据中心指出, 互联网上的数据量每年将增长 50%,按照此增长率,数据量要达到现有水平的 4 倍,至少需要( ) (A)2 年 (B)3 年 (C)4 年 (D)5 年 20、已知点 P( x, y) 在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上,点 A(2, 0) ,那么 OP ? AP 的取值范围是( (A) [?1,3] 二、填空题: 21、已知平面向量 a ? (1,1) , b ? (x, ?1) ,且 a ? b ,那么实数 x 等于_____________ 22、某中学全体学生参加了“爱北京、爱家乡、爱环境”知识竞赛,现从中随即抽取了 50 名学生的成绩作为样本进 行统计,得到的频率分布直方图如图所示,那么 x ? ______ (B) [?3,1] (C) [?2, 2] (D) [?3, 2] )

频率 _ 组距 _ 0 . 040 _

x

0 . 016 _ 0 . 008 _ 0 . 004 _ 50 _ 60 _ 70 _ 80 _ 90 _ 100 _ 成绩(分) _

23、在等比数列 {an } 中, a1 ?

1 , a4 ? ?4 ,那么 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值为_______ 2
2

24、 已知函数 f (x) ? ?

?e x ? a , x ? 0 ? 2 x ? 1, x ? 0

, 其中 a ? R 。 如果函数 f (x) 在 R 上恰有两个零点, 那么 a 的取值范围是__________

三、解答题: 25、如图,在三棱椎 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC,AC⊥CB,D、E 分别是 AB、PB 的中点。 (1)求证:AP∥ 平面 CDE (2)求证:AC⊥PB

P

E

C D A

B

26、已知函数 f (x) ? sin(? ? x) cosx (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)在△ABC 中,如果 A ?

2? , BC ? 5 3 , AC ? 5 ,求 f (B) 的值。 3

3

27、已知直线 x ? y ? 2 2 与圆 C: x2 ? y 2 ? r 2 相切。 (1)求圆 C 的方程; (2)过点 P(0,5) 的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,设

| PA | ? ? ,求 ? 的取值范围。 | PB |

28、已知函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f (x) 满足: ①当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 ; ②对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,都有 f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 (1)求 f (1) 的值; (2)求证:函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增; (3)当 f (2) ? 5 时,求满足 f ( x) ? 17 的 x 的取值范围。

4

参考答案: 1. B 2.D 3.B 4.D 5.C. 6B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.A 12.B 13.A 14.B 15.D 16.C 17.A 18.D 19.C 20.A 21. 1 22.0.032 23.4 24.【-1,0】 27. (1) x2 ? y 2 ? 4 --2 分 (2)当直线 l 与 y 轴重合时, ? ? 25.略 26. T ? ? , f ( B) ?

3 4
3 7 或? ? 7 3

当直线 l 与 y 轴不重合时,设 l : y ? kx ? 5 , ?

? y ? kx ? 5 ,所以 (k 2 ? 1) x2 ? 10kx ? 21 ? 0 2 2 x ? y ? 4 ?

? 100k 2 ? 84(1 ? k 2 ) ? 0 ,解得 k 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。 x1 ? x2 ? ?

21 。 4

10k 21 x | PA | (1), x1 x2 ? 2 ? 0(2) ,则 ? ? ? 1 --相似。 2 k ?1 k ?1 | PB | x2

所以 x1 ? ? x2 (3)由(1) (2) (3)可得:

(1 ? ? )2

?

?

100k 2 100 1 ? (1 ? 2 ) --求值域 2 21(k ? 1) 21 k ?1

4?
28.

(1 ? ? )2

?

?

3 7 3 7 100 解之: ? ? ? 1或1 ? ? ? 综上: ? ? [ ,1) (1, ] 7 3 7 3 21

(1) f ( x) ? f ( x 1) ? f ( x) f (1) ? f ( x) ? f (1) ? 2 所以 f ( x) f (1) ? 2 f ( x) ? f (1) ? 2 ? 0 ,因此 [ f ( x) ? 1][ f (1) ? 2] ? 0 ,因为 f ( x) ? 1 ? 0 不成立,所以 f (1) ? 2 ;

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1
(2)任取 1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) f (

x2 ) ? f ( x1 ) ? x1

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? 2 ? ? f ( x1 ) , x1 x1 x2 ) ? 2] x1

? [ f ( x1 ) ? 1][ f (
因为 x1 ? 1,

x2 x ? 1,所以 f ( x1 ) ? 2, f ( 2 ) ? 2 ,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,得证—5 分 x1 x1

2 (3)由 f (2) ? 5 得 f (4) ? f (2) ? 2 f (2) ? 2 ? 17 ,由第二问及 f (1) ? 2

所以当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 17 ;当 0 ? x ? 1 时,易知 又 f (1) ? f ( x

1 1 ? 1 ,所以 f ( ) ? 2 。 x x

1 1 1 ) ? f ( x) f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? 2 , x x x 1 1 1 所以 f ( x) f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? 0 , f ( x) ? 1 ? ? 2 ? 17 1 x x f ( ) ?1 x
综上: {x | 0 ? x ? 4}
5


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