江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编20:矩阵与变换


江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 20:矩阵与变换
1 . ( 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 选 修 4-2: 矩 阵 与 变 换 已 知 , 点 A 在 变 换

T: ? ? ? ? ? ? ? ?

? x? ? y?

? x? ? ?y ?

?x ? 2 y? o ? 作用后,再绕原点逆时针旋转 90 ,得到点、B.若点 B 的坐 标为(-3,4),求点 A 的坐标. y ? ?

2 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)

已知矩阵 A ? ?

?1 a ? ? ?1? ?8? 5 的一个特征值为 ?1 ? ?1 ,其对应的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,已知 ? ? ? ? ,求 A ? . ? c 0   1 1 ? ? ? ? ? ?

3 . (镇江市 2013 届高 三上学期期末考试数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 求曲线 C : xy ? 1 在矩阵 A ? ? ? ?? ?

2 2 ?    ? 2 2 ? 对应的变换下得到的曲线 C ? 的方程. 2 2?     ? 2 2 ?

4 . (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

5 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)

已 知 A(0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) 在 矩 阵 M ? ?

?a b ? ? 对应变换的作用下,得到的对应点分别为 ?c d   ?

A?(0, 0) , B?( 3,1) , C ?(0, 2) ,求矩阵 M .

6 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换

1

? ?1 a ? 已知 a , b ? R ,若矩阵 M ? ? 所对应的变换把直线 l : 2 x ? y ? 3 变换为自身,求 M ?1 . ? ? b 3?

7 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换

?1 0 ? ?0 ?1? 已知曲线 C : y 2 ? 2 x ,在矩阵 M ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 N ? ? ? ? 对应的变换作 ?0 2 ? ?1 0 ?

用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程.

8 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换

? m 0? 2 2 设 曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在矩阵 M ? ? ? ? m ? 0 ? 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? y ? 1 ,求矩阵 M n 1 ? ?
的逆矩阵 M ?1 .

9 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)(选修 4-2:矩阵与变换)

求曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 M ? ?
2

?1 0? ?1 0? ,N ? ? ? ?. ?0 2? ?? 1 1 ?

10. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)(选修 4—2:矩阵与变换)本小题满分 10 分)

已知矩阵 M ? ?

?1 x ? ? 的一个特征值为 ?1 ,求其另一个特征值. ?2 1  ?

2

11. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)选修 4—2:矩阵与变换

已知矩阵 A ? ?

?3 3 ? ?1? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? ,属于特 征值 1 的一个特征向量为 ? ?c d ? ?1?

? 2 ? ? ? .求矩阵 A 的逆矩阵. ? ? 2?

?3?

12 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁) 2013 届高三第二次调研考试数学试卷) [ 选修 4—2 : 矩阵与 变换 ] 若圆

?a 0? y2 x2 ?1 C : x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ?(a ? 0, b ? 0) 对应的变换下变成椭圆 E : 4 ? 3 ? 1, 求矩阵 A 的逆矩阵 A . ? 0 b?

13 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) B

选修 4 - 2: 矩阵与变换若矩阵

A 有特征值

?1 ? 3 , ?2 ? ?1 ,它们所对应的特征向量分别为 e1 ? ? ? 和 e2 ? ? ? ,求矩阵 A . ?0 ? ?2?

?1 ?

?1 ?

14. (南京市、盐城市 2013 届高三年 级第一次模拟考试数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)

?1 M ?? ?2 已知矩阵

2? x? ? 的一个特征值为 3, 求 M 的另一个特征值及其对 应的一个特征向量.

15 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)选修 4—2:矩阵与变换

已知矩阵 M = ?

?1 a? ? 对应的变换将点 A(1,1)变为 A' (0,2),将曲线 C:xy=1 变为曲线 C'. ?b 1?

(1)求实数 a,b 的值;(2)求曲线 C' 的方程.

3

江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 20:矩阵与变换 参考答案
一、解答题 16 . (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

解:∵ ?

?a ?b

1? 0? ?

? 1 ? ?0 2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 1? ?1 ? ?0? ? ?2? ,∴a=1,b=2 ?M= ? 2 0? ∴M = ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? 2? ? ?

17 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换【答案】

18 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)【答案】

19 . (镇江市 2013 届高 三上学期期末考试数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)【答案】

? , y0 ?) , 解:设 P( x0 , y0 ) 为曲线 xy ? 1 上的任意一点,在矩阵 A 变换下得到另一点 P?( x0

? 2 2?    ? ? ?? ? x0 2 2 ? ? x0 ? ? ? 则有 ? ? ? ?, ?  ? y0 ? ? 2 2 ? ? y0  ?     ?? ? ? 2 2 ?

? ?? ? x0 ? 即? ? ? y0 ? ? ?

2 ( x0 ? y0 ), 2 2 ( y0 ? x0 ), 2

? ? x0 ? ? 所以 ? ? y0 ? ? ?

2 ? ? y0 ? ), ( x0 2 2 ? ? y0 ? ), ( x0 2

又因为点 P 在曲线

? 2 ? y0 ?2 ? 2 xy ? 1 上,所以 x0 y0 ? 1 ,故有 x0

即所得曲线方程 x 2 ? y 2 ? 2

20 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)【答案】

4

21 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换【答案】

对于直线 l 上任意一点 ? x, y ? ,在矩阵 M 对应的变换作用下变换成点 ? x?, y?? ,

? ?1 a ? ? x ? ? ? x + ay ? ? x? ? 则? ?? ? ? ? ? ? ? ? , 因为 2 x? ? y? ? 3 ,所以 2(? x + ay) ? (bx + 3 y) ? 3 , ? b 3 ? ? y ? ? bx + 3 y ? ? y?? ??2 ? b ? 2, ?a ? 1 , ? ?1 1? 所以 ? 解得 ? 所以 M ? ? ?, ? ?4 3? ?2a ? 3 ? ?1 , ?b ? ?4 . ? 3 ?1? 所以 M ?1 ? ? ? ? 4 ?1?

22 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换【答案】

?0 ?1? ?1 0 ? ?0 ?2 ? 解:设 A=NM,则 A ? ? ?? ??? ?, ?1 0 ? ? 0 2 ? ?1 0 ?

设 P ? x ', y '? 是曲线 C 上任一点,在两次变换下,在曲线 C2 上的对应的点为 P ? x, y ? , 则
x ' ? y, ? x ? ?0 ?2 ? ? x ' ? ? ?2 y '? ? x ? ?2 y ', ? ? , 即 ∴ ? ? ? ? ? y ? ? 1 0 ? ? y '? ? x ' ? y ' ? ? 1 x. ?? ? ? ? ? ? ? ? y ? x ', ? ? 2

又点 P ? x ', y '? 在曲线 C : y 2 ? 2 x 上,∴ (? 1 x) 2 ? 2 y ,即 y ? 1 x 2 2 8
23 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)选修 4-2:矩阵与变换【答案】

【解】设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上任一点 P ( x, y ) 在矩阵 M 对应的变换下的像是 P ?( x ?, y ?) ,

? x? ? ? m 0? ? x ? ? mx ? ? x? ? mx, 由? ? ?? ,得 ? ?? ? ? ? ? ? y?? ? n 1 ? ? y ? ? nx ? y ? ? y? ? nx ? y,
因为 P?( x?,y?) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 ? mx ? ? ? nx ? y ? ? 1,化简可得 (m2 ? n2 ) x2 ? 2nxy ? y 2 ? 1
2 2

依题意可得 m2 ? n2 ? 2, 2n ? 2 , m ? 1,n ? 1 或 m ? ?1,n ? 1 而由 m ? 0 可得 m ? 1,n ? 1

5

?1 0? ? 1 0? 故M ?? , M ?1 ? ? ? ? ?1 1? ? ?1 1 ?
24 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)(选修 4-2:矩阵与变换)【答案】

解:MN= ?

?1 0 ? ? 1 0 ? ? 1 0 ? =? , 设P 是曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的 (x?, y?) ? ? ? ? ?0 2? ? ?1 1 ? ? ?2 2 ?

? x, y) 变换下变为点 P , 则有 ? ??? (

? x? ? y?

?1 ? ?2

? 0 ?? x ' ? ? x ? ??? ? ? 2 x? ? ? y ?' ? ? 2

? y , 于 是 x? ? x , y ? ? x ? ? ?y 2 2 ?

代入

得 xy ? 1 , 所以曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy ? 1 2x?2 ? 2x? y?? 1 ? 0
25. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) (选修 4—2:矩阵与变换)本小题满分 10 分) 【答案】

26. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)选修 4—2:矩阵与变换 【答案 】

解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? ,可得 ? 即c ? d ? 6; 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ?

?1? ?1?

?3 3 ? ?1? ?1? ? ? ? =6 ? ? , ?c d ? ?1? ?1?

?3? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 可得, ? ? ? ? ? = ? ? , 即 3c ? 2d ? ?2 , ? ? 2? ?c d ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

1? ?2 ? 3 - 2? ?c ? 2, ? 3 3? 解得 ? 即 A=? ? , A 逆矩阵是 ? 1 1 ? . ?d ? 4, ? 2 4? ?? ? 3 2?
27. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)[选修 4—2 :矩阵与 变换]【答案】

设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则 ? ?? ??? ? , 所 以 ? ? ? ? ? 0 b ? ? y ? ?by ? ? y ?? ? y ? ? by.

因 为 点 P?( x?, y?) 在 椭 圆 E :

x2 y2 + ?1 上 , 所 以 4 3

? a2 ? 1, 2 2 ? ?a2 ? 4, a2 x 2 b y ? ?4 2 2 + ? 1 , 又圆方程为 x ? y ? 1 ,故 ? ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . 2 4 3 ? ? b ? 1, ?b ? 3, ? ?3

6

?2 所以 A ? ? ?0

?1 ?2 0? ?1 ? , 所以 A ? ? 3? ? 0 ? ?

? 0 ? ? 3? 3 ? ?
选修 4 - 2:矩阵与变换若矩阵【答案】

28. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)B

? Ae1 ? ?1e1 a b? 设A?? ? c d ? ,由 ? Ae ? ? e ? ? ? 2 2 2 ? 3 ?2 ? ? ?0 ?1?

? ? 得? ? ?

?a ?c ? ?a ?c ?

b ? ?1 ? ?1 ? ? 3? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d ? ?0? ?0? ?0? ? ,即 ? b ? ?1 ? ? 1 ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d ? ? 2? ? 2 ? ? ?2 ?

a?3 ? c?0 ? c?0 ,? , a ? 2b ? ?1 ? b ? ?2 ? c ? 2 d ? ?2 d ? ?1

a?3

所以 A ? ?

29. (南京市、盐城市 2013 届高三年 级第一次模拟考试数学试题)(选修 4—2:矩阵与变换)【答案】

f (? ) ?
解:矩阵 M 的特征多项式为

? ?1
?2

?2

? ? x = (? ? 1)(? ? x) ? 4
由 (? ? 1)(? ? 1) ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? ?1

因为 ?1 ? 3 方程 f (? ) ? 0 的一根,所以 x ? 1

? ?? ? ? ? ? ? 1 ? y ? ,则 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 x ? ? y 设 2 对应的一个特征向量为

?x ?

?? 2 x ? 2 y ? 0

? ?? ? x ? 1 , 则 y ? ? 1 ?? 1? 令 ,所以矩阵 M 的另一个特征值为 -1,对应的一个特征向量为
30 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)选修 4—2:矩阵与变换

?1 ?

解 (1)由题知,?

?a=-1, 1+a=0, ?1 a? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ?=? ?,即?b+1=2,解得?b=1. ? ?b 1? ? 1 ? ? 2 ? ?

(2)设 P' (x, y)是曲线 C'上任意一点,P' 由曲线 C 上的点 P (x0,y0) 经矩阵 M 所表示的变换得到,

y+x x0= , 1 - 1 x x 0 2 ?x0-y0=x, ? ? ? ? ? ? ? 所以? [来源:学科网] ? ? ?=? ? ,即 x0+y0=y,解得 y-x ? 1? ?y0? ?y? ?1 y0= . 2
因为 x0y0=1,所以

? ? ?

y+x y-x
2 ·

= 1,即 - =1. 2 4 4

y2 x2

即曲线 C' 的方程为 - =1 4 4

y2 x2

7


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