等比数列前n项和优秀教案


等比数列的前 n 项和
一、教学目标
1、掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相 关问题。 2、通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类 讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价 值、应用价值,发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点
重点:掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决 相关问题。 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想
本节课采用探究式课堂教学模式, 即在教学过程中, 在教师的启发引导下, 以学生独立自主和合作交流为前提, 以“正弦定理的发现”为基本探究内 容, 以四周世界和生活实际为参照对象, 为学生提供充分自由表达、 质疑、 探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的 尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生 在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究” 中创新。设计思路如下:
创设情境 布疑激趣 观察实验 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入思考 证明猜想 简单应用 总结评估

四、教学过程
(一)创设问题情景 课前给出复习:等比数列的定义及性质 课首给出引例:“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意, 哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借 给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数 都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来, 但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请在座的同

1

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入 到研究者的角色中来!] (二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: (1 ? 30) ? 30 ' ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ? ? 465 (万元) 穷人 30 天借到的钱: S 30 2 穷人需要还的钱: S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? ?的问题让学生探 究,

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229

①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到

2S30 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? 230 ②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到: (分) ≈1073(万元) > 465(万元) S30 ? 230 ? 1 ? 1073741823 答案:穷人不能向富人借钱 (三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式?(学生很自然地模仿 以上方法推导)

S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 (1) qSn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 ? a1q n (2)
(1)-(2)有 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
q ?1 ?na1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q , q ?1 ? 1? q ? 1? q ? 推导等比数列前 n 项和 S n 的公式,教师引导讲完课本上的推导方法

后, 教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发 言)

2

学生 A: ? a2 ? a3 ? ? ? a n ? q
a1 a2 a n ?1

?

a 2 ? a3 ? ? ? a n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1



s n ? a1 a ? an q ? q ? sn ? 1 (q ? 1) sn ? an 1? q 。
学生 B:

sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1
? a1 ? q a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ? a1 ? qsn?1 ? a1 ? q?s n ? a n ? ? a1 ? qsn ? a n q

?

?

? sn ? qsn ? a1 ? an q ? sn

?

a1 ? an q (q ? 1) 1? q

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设 问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥 了组织者、推进者和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、 成为发现者、创造者!让学生享受成功的喜悦! ] 【基础知识形成性练习】 1、求下列等比数列的各项和: 1 1 1 1 (1)1,3,9,?,2187 (2) 1,? , ,? , ?,? 2 4 8 512 2、根据下列条件求等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ① a1 ? 2, q ? 2, n ? 8 ② a1 ? 8, q ? 2, a n ?
1 2

(四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2,1/4,1/8??的 (1)前 8 项的和; (2)第四项到第八项的和 1 1 解 : (1) ? a1 ? , q ? , n ? 8 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 255 ? S8 ? 2 1 256 1? 2

3

(2)? a 4 ? a1 q 3 ?

1 ,n ? 5 16 1 1 (1 ? 5 ) 2 ? 31 ? S ' ? 16 1 256 1? 2

例 2:在等比数列 ?an ? 中, (1)已知 (2)已知

a1 ? ?4, q ? 2, 求 S n

a1 ? 1, ak ? 243 , q ? 2 求 Sk

[例 1 教师板演示范,强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法,学生 不会时要分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习】 1、在等比数列 ?an ? 中, ①已知 a1 ? ?1.5, a7 ? ?96 ,求 q 和 S n ②已知 a3 ? 4, S3 ? 12, 求 q 和 a1 2、求数列 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ?a n?1 ? ?(a ? 0) 的前 n 项和。 [允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就 算完成了作业。然后老师给出评价] (五)课堂小结 等差数列 等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (六)布置作业 1、根据下列条件,求等比数列 ? an ①:

?的前 n 项和 S n
②:

a1 ? 3, q ? 2, n ? 6
1 1 , an ? 2 2

a1 ? 8, q ?

4

,n ? 4 ③: a2 ? 0.12, a5 ? 0.00096
a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ?
2、在等比数列 ? an

④:

5 , 4

?中,

①:已知 a1 ? 2, S 3 ? 26 ,求 q 和 S n ②:已知 S 2 ? 30, S 3 ? 115,求 S n 3、在等比数列 ? an

?中,已知 S n

? 48, S 2 n ? 60 ,求 S 3 n

[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症 结所在,就算完成了作业。]

五、板书设计
公式推导 等比数列的前 n 项和 例题 练习

六、教学后记
本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。同时,考虑到这是一节 探究课,授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发, 采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方 法分成五个步骤层次分明(1)创设问题情景、布疑激趣(2)启发引导学 生数学地观察问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想(4)数学应 用(5)知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的 前提下,在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了公式,感受到 了创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、情 感目标均得到了较好的落实。

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