【高三总复习】2013高中数学技能特训:3-1 角的概念的推广与任意角的三角函数(人教B版) 含解析


3-1 角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2012· 潍坊模拟)已知角 α 的终边经过点 P(m, -3), 且 cosα 4 =-5,则 m 等于( 11 A.- 4 C.-4 [答案] C [解析] 由题意可知,cosα= -4,故选 C. (理)(2012· 济南一模)已知 α 是第二象限角, P(x,4)为其终边上的一 1 点,且 cosα=5x,则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 [答案] D [解析] 由任意角的三角函数的定义可知 4 3(舍去)或 x=-3,所以 tanα=-3,故选 D. 2.已知集合 A={(x,y)|y=sinx},集合 B={(x,y)|y=tanx},则 A∩B=( ) x 1 =5x,解得 x= x +16
2

) 11 B. 4 D.4

m 4 =-5,又 m<0,解得 m= 2 m +9

) 3 B.4 4 D.-3

A.{(0,0)} B.{(π,0),(0,0)} C.{(x,y)|x=kπ,y=0,k∈Z}

D.? [答案] C [解析] 函数 y=sinx 与 y=tanx 图象的交点坐标为(kπ,0),k∈ Z. 3.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半 径不可能等于( A.5 [答案] B 1 [解析] 设扇形的半径为 R,圆心角为 α,则有 2R+Rα=2R2α, 1 4 4 即 2+α=2Rα 整理得 R=2+α,由于α≠0, ∴R≠2. cosα 4.(2012· 广西田阳高中月考)若 sinαtanα<0,且 tanα <0,则角 α 是( ) A.第一象限角 C.第三角限角 [答案] C [解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可. 由 sinαtanα<0 可知 sinα、 tanα 异号, 从而 α 为第二或第三象限角. cosα 由 tanα <0 可知 cosα、tanα 异号,从而 α 为第三或第四象限角. 综上可知,α 为第三象限角. 1 5 .已知 cosθ = 2 ,角 α 的终边经过点 P(sin2θ , sin4θ) ,则 6sinα+cosα 的值为( 3sinα-2cosα ) B.第二象限角 D.第四象限角 ) B.2 C.3 D.4

A.-1 C.7 [答案] B 1 [解析] ∵cosθ=2,

B.1 7 D.5

sin4θ ∴tanα=sin2θ=2cos2θ=2×(2cos2θ-1)=-1, ∴ 6sinα+cosα 6tanα+1 6×?-1?+1 = = =1. 3sinα-2cosα 3tanα-2 3×?-1?-2

6.函数 f(x)=sinx 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b) a+b =1,则 cos 2 =( A.0 C.-1 [答案] D a+b π π [解析] 由条件知, a=-2+2kπ (k∈Z), b=2+2kπ, ∴cos 2 =cos2kπ=1. y 7.若点 P(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则x的值为 ________. [答案] - 3 y [解析] 依题意,知x=tan300° =-tan60° =- 3. 8.(2011· 太原调研)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴 重合,点 P(- 4m,3m)(m>0) 是角 α 终边上一点,则 2sinα + cosα = ________. ) 2 B. 2 D.1

2 [答案] 5 [解析] 由条件知 x=-4m,y=3m,r= x2+y2=5|m|=5m,∴ y 3 x 4 sinα=r=5,cosα=r=-5, 2 ∴2sinα+cosα=5. π 1 7π 9 . (2012· 南昌调研 )已知 sin(α +12) = 3,则 cos(α +12 ) 的值为 ________. 1 [答案] -3 7π π π π 1 [解析] cos(α+12)=cos[(α+12)+2]=-sin(α+12)=-3. 10.(2011· 绍兴月考)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称 (a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sinα· cosα+ sinβ· cosβ+tanα· tanβ 的值. [解析] 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sinα= cosα= sinβ= -2a 2 , 2 2=- 5 a +?-2a?

-2a a 1 ,tanα= a =-2, 2= 5 a +?-2a?
2

a 1 2a 2 = , cos β = = , 5 5 ?2a?2+a2 ?2a?2+a2

a 1 tanβ=2a=2, 故有 sinα· cosα+sinβ· cosβ+tanα· tanβ = -2 1 1 2 1 × + × +(-2)×2=-1. 5 5 5 5

能力拓展提升 3π 3π 11.(文)(2011· 山东济宁一模)已知点 P(sin 4 ,cos 4 )落在角 θ 的终 边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A.4 5π C. 4 [答案] D 3π 3π [解析] 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角,∵tanθ= 3π cos 4 7π =- 1 , θ ∈ [0,2 π ) ,∴ θ = 3π 4. sin 4 (理)(2011· 新课标全国理,5)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( 4 A.-5 3 C.5 [答案] B 1 [解析] 依题意:tanθ=± 2,∴cosθ=± , 5 cos2θ-sin2θ 2 3 ∴ cos2θ = 2cos θ - 1 = 5 - 1 = - 5 或 cos2θ = 2 = cos θ+sin2θ
2

) 3π B. 4 7π D. 4

)

3 B.-5 4 D.5

1-tan2θ 1-4 3 =-5,故选 B. 2 = 1+tan θ 1+4 12.已知{an}为等差数列,若 a1+a9+a17=π,则 cos(a2+a16)的 值为( )

1 A.-2 1 C.2 [答案] A

3 B.- 2 3 D. 2

π [解析] 由条件知,π=a1+a9+a17=3a9,∴a9=3, 2π π 1 ∴cos(a2+a16)=cos2a9=cos 3 =-cos3=-2,故选 A. 13.在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是______. π 5π [答案] (4, 4 ) [ 解析 ] 由三角函数定义结合三角函数线知,在 (0,2π) 内,使

π 5π sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为(4, 4 ). [ 点评 ] 的应用. 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中

14.直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点,以 x 轴的正 方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的角为 α,OB 为终边的角为 β,则 sin(α+β)的值为________.

4 [答案] -5 [解析] 将 y=2x+1 代入 x2+y2=1 中得,5x2+4x=0,∴x=0 3? ? 4 4 3 或-5,∴A(0,1),B?-5,-5?,故 sinα=1,cosα=0,sinβ=-5, ? ? 4 cosβ=-5, 4 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-5.

π [点评] 也可以由 A(0,1)知 α=2,
?π ? 4 ∴sin(α+β)=sin?2+β?=cosβ=-5. ? ?

3 15.(文)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= 6 x. 1 求 sinα+tanα的值. [解析] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.

3 x 3 又 cosα= 6 x,∴cosα= 2 = 6 x. x +2 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 1 由三角函数的定义,有 sinα=- 6 ,tanα=- 5, 6 5+ 6 1 6 ∴sinα+tanα=- 6 - 5=- ; 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sinα+tanα= . 6 (理)已知 sinθ、cosθ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; sinθ cosθ (2)求 + 的值. 1-cotθ 1-tanθ [解析] (1)由韦达定理可得
?sinθ+cosθ= 3-1, ? ? ?sinθ· cosθ=m. ② ?



由①得 1+2sinθ· cosθ=4-2 3. 3 将②代入得 m=2- 3,满足 Δ=( 3-1)2-4m≥0, 3 故所求 m 的值为2- 3. sinθ cosθ sinθ cosθ (2) + = cosθ+ sinθ 1-cotθ 1-tanθ 1- sinθ 1-cosθ cos2θ-sin2θ sin2θ cos2θ = + = =cosθ+sinθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ cosθ-sinθ = 3-1. 16. 周长为 20cm 的扇形面积最大时, 用该扇形卷成圆锥的侧面,

求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, ∴l=20-2r, 1 1 S=2rl=2(20-2r)· r=(10-r)· r, ∴当 r=5 时,S 取最大值. 此时 l=10,设卷成圆锥的底半径为 R,则 2πR=10, 5 ∴R=π, ∴圆锥的高 h= 5 π -1 ?5? 5 -?π?2= , π ? ?
2 2

2 2 1 2 π ?5?2 5 π -1 125 π -1 V=3πR h=3×?π? · π = . 3π2 ? ?

1.记 a=sin(cos2010° ),b=sin(sin2010° ),c=cos(sin2010° ) ,d =cos(cos2010° ),则 a、b、c、d 中最大的是( A.a [答案] C [解析] 注意到 2010° =360° ×5+180° +30° ,因此 sin2010° =- 1 3 π 3 π 1 sin30° =- 2 , cos2010° =- cos30° =- 2 ,- 2 < - 2 <0 ,- 2 < - 2 1 3 π 1 3 3 3 1 <0,0<2< 2 <2, cos2>cos 2 >0, a=sin(- 2 )=-sin 2 <0, b=sin(-2) 1 1 1 3 3 =-sin2<0,c=cos(-2)=cos2>0,d=cos(- 2 )=cos 2 >0,∴c>d, 因此选 C. [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”考查了终边相同的角、诱 导公式、正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识 B.b C.c ) D.d

要求掌握熟练的小综合训练. 2.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )

A.2017 C.2014 [答案] D

B.4028 D.2011

?nπ π? nπ [解析] ∵f(n)=2sin? 3 +2?+1=2cos 3 +1.由 S=S+f(n)及 n= ? ?

nπ n+1 知此程序框图是计算数列 an=2cos 3 +1 的前 2014 项的和. 即 π ? 2π ? 3π ? ? ? ? S = ?2cos3+1? + ?2cos 3 +1? + ?2cos 3 +1? + ? + ? ? ? ? ? ?

2010π ? ? ?2cos ? 3 +1? ? π 2π 3π 2014π? ? π = 2 ?cos3+cos 3 +cos 3 +?+cos 3 ? + 2014 = 2×335×cos 3
? ?

2π 3π 4π 5π 6π 2011π 2012π + cos 3 + cos 3 + cos 3 + cos 3 + cos 3 + 2cos 3 + cos 3 +

2013π 2014π 3 cos 3 +cos 3 +2014=2×(-2)+2014=2011. 3.已知 M(1-cos20° ,sin20° )为角 α 的终边上一点,则锐角 α 等于( ) B.20° D.80°

A.10° C.70° [答案] D [解析] 根据定义可知 tanα= =tan80° ,所以选 D.

sin20° 2sin10° cos10° cos10° = 2sin210° = sin10° 1-cos20°

4.已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosB-sinA,tanB-cotC), 在第________象限. [答案] 二 π [解析] ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A<2, π π π π 0<B<2,0<C<2,且 A+B>2,B+C>2, π π π π ∴2>A>2-B>0,2>B>2-C>0, π? ? ∵y=sinx 与 y=tanx 在?0,2?上都是增函数,
? ? ?π ? ?π ? ∴sinA>sin?2-B?,tanB>tan?2-C?, ? ? ? ?

∴sinA>cosB,tanB>cotC,∴P 在第二象限.


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