解三角形经典例题


解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【典型题剖析】 考察点 1:利用正弦定理解三角形 例1 在 ABC 中,已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

A : B : C ? 1: 2 : 3, 而A ? B ? C ? ? . ?A?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

,

6 3 2 解: 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。

? a : b :? sin A : sin B : sin C ? sin

?

: sin

?

: sin

?

?

1 3 : :1 ? 1: 3 : 2. 2 2

例 2 在 ABC 中,已知 c= 2 + 6 ,C=30°,求 a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。

a b c 2? 6 ? ? ? , sin 30? 解:∵C=30°,c= 2 + 6 ,∴由正弦定理得: sin A sin B sin C
∴ a=2( 2 + 6 )sinA,b=2( 2 + 6 )sinB=2( 2 + 6 )sin(150°-A). ∴a+b=2( 2 + 6 )[sinA+sin(150°-A)]= 2( 2 + 6 )·2sin75°·cos(75°-A)=

?

2? 6

?

2

cos(75°-A)

① ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A<150°,∴0°<A<150°, ∴-75°<75°-A<75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1,

? 当 75°-A=0°,即 A=75°时,a+b 取得最大值
2? 6

2? 6

? =8+4
2

3;

? ∴>

?

2

? cos75°=

2? 6


2

6? 2 4 = 2+ 6.

综合①②可得 a+b 的取值范围为( 2 + 6 ,8+4 3 > 考察点 2:利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中, a ·tanB= b ·tanA,判断三角形 ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得:
2 2

? 2R sin A?

2

?

sin B sin A 2 ? ? 2R sin B ? ? cos B cos A ,

?sin A cos A ? sin B cos B,
即 sin 2 A ? sin 2 B ,? 2 A ? 2 B或2 A ? 2 B ? ? ,

? A ? B或A ? B ?

?
2.

∴ ABC 为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC 中,由 sin 2 A ? sin 2 B 得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠

? A+∠B= 2 ”的导出过程。
例4 在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。

lg sin B ? ? lg 2,?sin B ?
解: 又∵B 为锐角,∴B=45°.

2 2 .

lg a ? lg c ? ? lg 2, 得


c 2 ? . a 2

sin A 2 ? 2 , 由正弦定理,得 sin C
∵ A ? 180? ? 45? ? C, 代入上式得:

2 sin C ? 2sin ?135? ? C ?

? 2 ?sin135? cos C ? cos135? sin C ?
? 2 cos C ? 2 sin C,
? cos C ? 0,?C ? 90?,? A ? 45?. ? ABC为等腰直角三角形。
考察点 3:利用正弦定理证明三角恒等式 例5

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c2 ? a2 ? ? ?0 在△ABC 中,求证 cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A .
2 2 2 【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将 a ,b ,c 转化为 sin A,sin B,sin C .

2

2

2

证明:由正弦定理的变式 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B 得:

a 2 ? b2 4 R 2 sin 2 A ? 4 R 2 sin 2 B = cos A ? cos B cos A ? cos B ? 4 R 2( [ 1-cos 2 A)-(1-cos 2 B)] cos A ? cos B (cos 2 B ? cos 2 A) ? 4 R 2 (cos B ? cos A) cos A ? cos B

?

b2 ? c2 ? 4 R 2 (cos C ? cos B), cos B ? cos C c2 ? a2 ? 4 R 2 (cos A ? cos C ). 同理 cos C ? cos A

? 左边=4 R 2 (cos B ? cos A ? cos C ? cos B ? cos A ? cos C ) ? 0 ? 右边 ? 等式成立。
【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后利用三角知识去解决,要 注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6
2 2 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2B,求证 c ? b ? ab .

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明:

A ? B ? C ? 180?,? B ? C ? 180? ? A.

又 C ? 2B,?C ? B ? B.
sin( B ? C ) ? sin(180? ? A) ? sin A,

? c 2 ? b 2 ? 4 R 2 (sin 2 C ? sin 2 B) ? 4 R 2 (sin C ? sin B)(sin C ? sin B) B?C C?B B?C C?B ? 4 R 2 ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 2 2 2 2 2 2 ? 4 R sin(C ? B) sin(C ? B ) ? 4 R sin A sin B ? ab ? 右边. ? 等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中,要充分利用三角形本身所具有的性质。

(1) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , 2B ? 2? ? 2C.
? ? tan C.
(3) sin cot C . 2

A? B ? C ? ? , 2A ? 2 2 2

(2)sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , tan( A ? B)

A? B C A? B C A? B ? cos , cos ? sin , tan ? 2 2 2 2 2

(4)sin(2 A ? 2 B) ? ? sin 2C, cos(2 A ? 2 B) ? cos 2C, tan(2 A ? 2 B) ? ? tan 2C.
考察点 4:求三角形的面积 例7

a ? 2, C ?
在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 【点拨】先利用三角公式求出 sinB,sinA 及边 c,再求面积。

?
4

, cos

B 2 5 ? 2 5 ,求△ABC 的面积 S.

cos
解:由题意

B 3 B 2 5 cos B ? 2 cos 2 ? 1 ? , ? 2 5 2 5 ,得

4 3? 7 2 ? sin B ? ,sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin( ? B) ? , 5 4 10 ∴B 为锐角,
c?
由正弦定理得

10 , 7

?S ?

1 1 10 4 8 ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7

【解题策略】在△ ABC 中,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟,并能灵活应用,

A ? B ? C ? ? , sin( A ? B )? sin C , cos( A ? B ?)?
cos
例8

A? B cos C ; sin ? 2

C A? B C , cos ? sin . 2 2 2

C?
已知△ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,△ABC 的外接圆半径为 12,且 值。 【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

?
3 , 求△ABC 的面积 S 的最大

S
解:

ABC

?

1 1 ab sin C ? 2 R sin A 2 R sin B sin C 2 2

? 3R 2 sin A sin B ?

3 2 R [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

?

3 2 1 R [cos( A ? B) ? ]. 2 2

当cos( A ? B) ? 1,即A ? B时,
(S ) ? 3 3 2 3 3 R ? 144 ? 108 3. 4 4

ABC max

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面积的最大值。 考察点 5:与正弦定理有关的综合问题 例9 已知△ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B, 求内角 C

【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、分析能力和转化能力。 解法 1:

a ? b ? a cot A ? b cot B, 且

a b ? ? 2R sin A sin B (R 为△ABC 的外接圆半径) ,

?sin A ? cos A ? cos B ? sin B,?1 ? sin 2 A ? 1 ? cos 2B.

? cos 2 A ? cos 2 B ? 0

又 sin 2 A ? sin 2 B ? 2cos( A ? B)sin( A ? B). ? cos( A ? B)sin( A ? B) ? 0, ? cos( A ? B) ? 0或 sin( A ? B) ? 0.
?A? B ?
又∵A,B 为三角形的内角,

?
2

或A ? B ,

当A ? B ?

?
2

时,C ?

?
2



当 A ? B 时,由已知得

cot A ? 1,? A ? B ?

?
4

,? C ?

?
2

.

C?
综上可知,内角 解法 2:

?
2.

由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得,

sin A ? sin B = cos A ? cos B , sin A ? cos A ? cos B ? sin B ,
sin A cos
从而

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

,

sin( A ? ) ? sin( ? B). 4 4 即 ?A?
又∵0<A+B<π ,

?

?

?
4

?

?
4

? B,

?A? B ?

?
2

,? C ?

?
2

.

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。 例 10

cos A b 4 ? ? 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10, cos B a 3 ,求 a,b 及△ABC 的内切圆半径。
【点拨】欲求边,应将已知条件中的边角统一,先求角再求边。


解:

cos A b cos A sin B ? , 可得 = , cos B a cos B sin A

变形为 sin A cos A ? sin B cos B,?sin 2 A ? sin 2B

a ? b,? 2 A ? ? ? 2 B,? A ? B ?
又 ∴△ABC 是直角三角形。

?
2

,

?a 2 ? b 2 ? 102 ? ?b 4 ? ? 由 ? a 3, 解得 a ? 6, b ? 8.
? ABC的内切圆半径为r= a ? b ? c 6 ? 8 ? 10 ? ?2 2 2

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。 ------------------------------------------

『易错疑难辨析』
易错点 利用正弦定理解题时,出现漏解或增解
【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有: (1)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求另一边 的对角时,出现漏解或增解; (2)在判断三角形的形状时,出现漏解的情况。 例1 (1) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 30?, 求B; (2) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2, A ? 60?, 求B; 【错解】

sin B ? b ?
(1) 由正弦定理得

sin A sin 30? 3 ? 6? ? ,? B ? 60? a 2 2 3
sin A sin 60? 1 ? 2? ? ,? B ? 30?或150? a 2 2 3

sin B ? b ?
(2) 由正弦定理得

sin B ?
【点拨】 (1)漏解,由

3 2 (0°<B<180°)可得 B ? 60?或120? 因为 b>a,所以两解都存在。 (2)增解。由

sin B ?

1 2 (0°<B<180°)可得 B ? 30?或150? ,因为 b<a,根据三角形中大边对大角可知 B<A,所以 B ? 150? 不符

合条件,应舍去。 【正解】

sin B ? b ?
(1)由正弦定理得 又∵0°<B<180°

sin A sin 30? 3 ? 6? ? . a 2 2 3

? B ? 60?或120? (经检验都符合题意)

sin B ? b ?
(2)由正弦定理得

sin A sin 60? 1 ? 2? ? . a 2 2 3

又∵0°<B<180°? B ? 30?或150? ∵b<a,根据三角形中大边对大角可知 B<A,

? B ? 150? 不符合条件,应舍去,? B ? 30? 。

易错点

忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】解题过程中,忽略三角形本身的隐含条件,如内角和为 180°等造成的错误。 例2

c 在△ABC 中,若 C ? 3B, 求 b 的取值范围。
【错解】 由正弦定理得

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B) = ? ? b sin B sin B sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B ? sin B
? cos 2B ? 2cos2 B ? 4cos2 B ? 1.

0 ? cos 2 B ? 1??1 ? 4 cos 2 B ? 1 ? 3,? 0 ?

c ?3 b

c =4 cos 2 B ? 1 【点拨】在上述解题过程中,得到了 b 后,忽略了三角形的内角和定理及隐含的 A, B, C 均为正角这一条
件。 【正解】 由正弦定理可知

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B) = ? ? b sin B sin B sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B ? sin B
? cos 2B ? 2cos2 B ? 4cos2 B ? 1.

A ? B ? C =180?, C ? 3B.
2 ∴0°<B<45°, 2 < cos B <1.
c ∴1< 4cos B ? 1 <3,故 1< b <3.
2

-------------------------『高考真题评析』
例1 ( 2010 ·广东高考)已知 a , b , c 分别是△ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则

sin C ? _______

【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角 C 的值。

A ? B ? C ? ? , 又 A ? C ? 2B , 【点拨】 在△ABC 中, 故

B?

?
3, 由正弦定理知

sin A ?

a sin B 1 B ? , A? 6 b 2 又 a<b, 因此

C?
从而可知

?
2 ,即 sin C ? 1 。故填 1.

【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化。 例2

b ? 1, c ? 3, C ?
(2010·北京高考)如图 1-9 所示,在△ABC 中,若 则 a ? _________ .

2? , 3

【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题,同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。

3 1 1 ? ,? sin B ? . 2? sin B 2 sin 3 【点拨】由正弦定理得,
∵C 为钝角,∴B 必为锐角,

?B ?

?
6

?A?

?
6

.? a ? b ? 1.

故填 1 【名师点评】

? 0,? ? 范围内,正弦值等于 2 的角有两个,因为角 C 为钝角,所以角 B 必为锐角,防止忽略角的范围而出现增解 在
C

1

1

2? 3

a
B

A

3
图 1-9 例3 (2010·湖北高考)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60?, 则 cos B 等于( )

A. ?

2 2 3

B.

2 2 3

C. ?

6 3

D.

6 3

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式,解题的关键是确定角 B 的范围。

15 10 10 sin 60? ? ,? sin B ? ? sin 60 ? sin B 15 【点拨】由正弦定理得

10 ?

3 2 ? 3. 15 3 ∵ a > b , A ? 60? ,∴ B 为锐角。

? 3? 6 ? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ,故选 D
2

2

【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角 B 的范围,从而确定角 B 的余弦值。 例4

AC cos B ? . (2010·天津高考)在△ABC 中, AB cos C
(1)求证 B ? C ;

cos A ? ?
(2)若

?? ? 1 sin ? 4 B ? ? 3 ? 的值。 3 ,求 ?

【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基 础知识,同时考察基本运算能力。

sin B cos B ? 证明: (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知,得 sin C cos C 。
于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0, 即

sin ? B ? C ? ? 0.

因为 ?? <B-C< ? ,从而 B-C=0,所以 B=C . 解: (2)由 A ? B ? C ? ? 和(1)得 A ? ? ? 2 B ,故

cos 2 B ? ? cos ?? ? 2 B ? ? ? cos A ?

1 3

又 0<2B< ? ,于是

sin 2 B ? 1 ? cos 2 2 B ?

2 2. 4 2 sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ? 3 从而 9 ,

cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ?

?? ? 4 2 ?7 3 ? 7 sin ? 4B ? ? ? sin 4B cos ? . 3? 3 18 9 。所以 ?

【名师点评】 (1)证角相等,故由正弦定理化边为角。 (2)在(1)的基础上找角 A 与角 B 的函数关系,在求 2B 的正 弦值时要先判断 2B 的取值范围。

知能提升训练
A. a > b sin A C. a < b sin A

学以致用


1、在△ABC 中,下列关系式中一定成立的是( B. a = b sin A D. a ≥ b sin A

A?
2、 (2011·山东模拟)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, A.1 B.2 C. 3 ? 1 D. 3

?
3

, a ? 3, b ? 1
,则 c 等于( )

3、 (2011·广东模拟)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 sin B 等于(



3 A. 3

?
B.

3 3

6 C. 3

?
D.

6 3

a b c ? ? 4、在△ABC 中,若 cos A cos B cos C ,则△ABC 是(
A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边直角三角形 D.等腰直角三角形



c 5、在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 b 的范围是(
A. C.



? 0, 2 ?
2, 3

B.

?

?

? 2, 2 ? ?1, 3 ? D.
) C.2 个 D.无数个 )

6、在△ABC 中, a ? ?, b ? 3?, A ? 45? ,则,满足此条件的三角形有( A.0 个 B.1 个

7、在△ABC 中,若 A:B:C=3:4:5,则 a : b : c 等于( A.3:4:5 B.2: 6 :

?

3 ?1

?

C. 1: 3 :2

D. 2 :

3? 2 3: 2


8、 (2011·浙江模拟)在△ABC 中, B ? 135?, C ? 15?, a ? 5, 则此三角形的最大边长为( A. 5 3 B. 4 3 C. 5 2 D. 4 2

9、在△ABC 中 A ? 75?, B ? 45?, c ? 3 2, 则 b ? ________ 。 10、 (2011·山东模拟)在△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a ? 2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的 大小为 _______ 。 11 、在△ ABC 中已知 a ? x cm , b ? 2 cm , B ? 45? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,那么 x 的取值范围是

______________ 。
12、如图 1-10 所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90?, BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos ?CBE 的值; (2)求 AE 的长。

D
C

E B
A
图 1-10

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? 2 sin C 。 13、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证 c

14、在△ABC 中, c ? 2 2, tan A ? 3, tan B ? 2, 求 a , b 及三角形的面积。

15、已知方程

x2 ? ?b cos A? x ? a cos B ? 0

的两根之积等于两根之和,且 A, B 为△ABC 的内角, a , b 分别为 A, B 的对

边,判断△ABC 的形状。

tan A ?
16、在△ABC 中, (1)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(2)若△ABC 的最大边长为 17 ,求最小边的长。

1.1.2
『典型题剖析』
考察点 1: 利用余弦定理解三角形 例 1: 已知△ABC 中, b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?, 求 A,C 和 a 。

余弦定理

【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a ,再由再由正弦定理求角 A,角 C,也可以 先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角。 解法 1: 由正弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B, 得
2 2 2

32 ? a2 ? 3 3 ? 2a ? 3 3 ? cos30?

? ?

2



? a2 ? 9a ? 18 ? 0, 解得 a ? 3 或 6.当 a ? 3 时, A ? 30?,? C ? 120?

1 6? a sin B 2 ? 1, sin A ? ? ? A ? 90?,?C ? 60?. a ? 6 b 3 当 时,由正弦定理得
解法 2: 由 b < c , B ? 30?, b >

c sin 30? ? 3 3 ?

1 3 3 ? 2 2 ,知本题有两解。

c sin B sin C ? ? b 由正弦定理得
? C ? 60? 或 120? ,

3 3?

1 2? 3 3 2 ,

当 C ? 60? 时, A ? 90? ,由勾股定理得:

a ? b 2 ? c 2 ? 32 ? 3 3

?

?

2

?6

当 C ? 120? 时, A ? 30? ,∴△ABC 为等腰三角形,? a ? 3 。 【解题策略】比较两种解法,从中体会各自的优点,从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边 和一角,有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程,利用解方程的方法求出第三边的长, 这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理,先求角再求边。

例 2:△ABC 中,已知 a ? 2 6, b ? 6 ? 2 3, c ? 4 3 ,求 A,B,C 【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值,进而求得各角的值。 解法 1: 由余弦定理得:

6?2 3 ? 4 3 ? 2 6 b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? 2bc 2? 6 ? 2 3 ? 4 3

?

? ? ? ? ? ?
2 2

?

2

?

36 ? 24 3 ? 12 ? 48 ? 24 48 3 ? 48 72 ? 24 3 3 ? 3 3 ? ? 48 3 ? 48 2 3 ? 2 2 。

?

因为

A ?? 0?,180?? ,
a ?b ?c 2ab
2 2 2

所以 A ? 30? 。

cos C ?

?2 6 ? ? ?6 ? 2 3 ? ? ?4 3 ? ? 2 ? 2 6 ? ?6 ? 2 3 ?
2 2

2

?

24 ? 36 ? 24 3 ? 12 ? 48 2 ? 2 24 6 ? 24 2

因为

C ?? 0?,180?? ,

所以 C ? 45?

因为 A ? B ? C ? 180?, 所以 B ? 180? ? 45? ? 30? ? 105? 解法 2:

sin A ?
由解法 1 知

1 2,

c sin A sin C ? ? a 由正弦定理得,
因为 b > c ,所以 B>C,

4 3?

1 2 ? 2. 2 2 6

所以角 C 应该是锐角,因此 C ? 45? 。 又因为 A ? B ? C ? 180?, 所以 B ? 180? ? 45? ? 30? ? 105? 【解题策略】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求解,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大 小确定角的大小,防止增解或漏解。 考察点 2: 利用余弦定理判断三角形的形状 例 3: 在△ABC 中,已知

? a ? b ? c?? a ? b ? c? ? 3ab, 且 2 cos A sin B ? sin C ,试判断△ABC 的形状。

【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的已知条出发,找到三角形边角之间的关 系,然后判断三角形的形状。

解法 1: (角化边)

sin C c ? 由正弦定理得 sin B b , cos A ? sin C c ? 2sin B 2b 。

由 2 cos A sin B ? sin C ,得

cos A ?
又由余弦定理的推论得

c2 ? b2 ? a 2 2bc 。

?

c c 2 ? b2 ? a 2 ? , 2 2 2 2 2b 2bc 即 c ? b ? c ? a ,?a ? b 。



? a ? b ? c?? a ? b ? c? ? 3ab. ? ? a ? b ?

2

? c 2 ? 3b 2 , ?4b2 ? c2 ? 3b2 , b ? c.

? a ? b ? c,? ABC 为等边三角形。
解法 2: (边化角)

A ? B ? C ? 180?,?sin C ? sin ? A ? B?.


2 cos A sin B ? sin C ,

? 2cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B, ?sin ? A ? B? ? 0.
又∵A 与 B 均为 ABC 的内角,∴A=B. 又由

? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab ,得 ? a ? b ?
2 2

2

? c 2 ? 3ab



a ? b ? c ? 2ab ? 3ab ,即 a ? b ? c ? ab, 由余弦定理得
2

2

2

2

cos C ?

1 2,

而 0°<C<180°,? C ? 60?. 又

A ? B,? ABC 为等边三角形。

【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状,有两条思考路线:一是化边为角,求出三个角之间 的关系式;二是化角为边,求出三条边之间的关系式,种转化主要应用正弦定理和余弦定理。 例 4: 已知钝角三角形 ABC 的三边 a ? k , b ? k ? 2, c ? k ? 4, 求 k 的取值范围。 【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形,按三角形中大边对大角的原则,结合 a,b,c 的大小关系,故必有 C 角最大且为 钝角,于是可有余弦定力理求出 k 的取值范围。 解:

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C, ?当C为钝角时, ?2ab cos C >0,? a 2 ? b 2 < c 2 ,
2

? k 2 ? ? k ? 2?



? k ? 4?

2

,解得-2<k<6.而 k+k+2>k+4,∴k>2.故 2<k<6.故 k 的取值范围是

? 2,6?.

【解题策略】应用三角形三边关系时,应注意大边对大角。 考察点 3:利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例5 在中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,

(1)求证 a cos B ? b cos A ? c;

a cos 2
(2)求证

C A 1 ? cos 2 ? ? a ? b ? c ? . 2 2 2

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ?a ?b 2ac 2bc 证明: (1)左边 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ? ? 2ac 2bc ? 2c 2 ?c? 2c 右边,故原式成立。 ?
(2)左边

a ?1 ? cos C ? c ?1 ? cos A? ? 2 2

?

a ? a 2 ? b2 ? c2 ? c ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2? 2ab 2bc ? 2? ?

1? a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? ? ?a ? ?c? ? 2? 2b 2b ?
? 1 ?a ? b ? c? ? 2 右边,故原式成立。

【解题策略】 (1)小题利用余弦定理将角化为边。 (2)小题先降幂,然后利用余弦定理将角化为边。 例6 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c。

a 2 ? b2 sin ? A ? B ? ? ; 2 sin C (1)求证 c
a ? c cos B sin B ? (2)求证 b ? c cos A sin A
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用

a 2 ? b2 c 2 ? 2bc cos A b ? ? 1 ? 2 ? ? cos A 2 2 2 2 2 c c 证明: (1)由 a ? b ? c ? 2bc cos A, 得; c 。
b sin B ? , 又∵ c sin C

a 2 ? b2 sin B sin C ? 2sin B cos A ? 1? 2 ? ? cos A ? 2 sin C sin C ∴ c

?

sin ? A ? B ? ? 2cos A sin B sin A cos B ? cos A sin B ? sin C sin C

?

sin ? A ? B ? . sin C

故原式成立。

a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 2ac 2a ? ? b2 ? c 2 ? a 2 2b2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 b?c? 2bc 2b (2)左边 a ?c?
a 2 ? c2 ? b2 b sin B ? 2 2a ? ? ? 2 2 b ?c ?a a sin A 2b 右边。
故原式成立。 考察点 4:正余弦定理的综合应用 例 7: 在 ABC 中,已知

b?

?

3 ? 1 a, C ? 30?, 求 A, B.

?

【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。 解:

b?

?
?

3 ? 1 a,? c 2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos C
2

?

?? ?

?

3 ? 1 a ? ? a 2 ? 2a 2 ?

?

3 ?1 ?
3 ?1 a2

?

3 2

? 4 ? 2 3 a2 ? a2 ? 3
2

? ? ? ?2 ? 3? a .

?

?

∵a>0,c>0,

? c ? 2 ? 3 a,?

c ? 2 ? 3. a

c sin C ? , 由正弦定理得 a sin A

1 sin C 2? 3 3 ?1 6? 2 2 ? sin A ? ? ? ? ? , 2 4 2 2 2? 3 2? 3
? A ? 75? 或 105? .


b?

?

3 ?1 a

?

知 a>b, 与已知矛盾。

若 A ? 75?, 则

B ? 180? ? ? A ? C ? ? 75?, a ? b,

? A ? 105?, B ? 180? ? ? A ? C ? ? 45?.
【解题策略】本题边未知,已知一角,所以考虑使用余弦定理得 a,c 的关系,再结合正弦定理求 sin A. 注意特殊角的

sin 75? ?
三角函数值,如: 例 8:

6? 2 6? 2 ,sin15? ? . 4 4

设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b ? c ? a ? 3bc,
2 2 2

(1)求 A 的大小; (2)求

2sin B cos C ?sin ? B ? C ?

的值。

【点拨】本题考察余弦定理,和角、差角的正弦公式的综合应用。 解: (1)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A, 得
2 2 2

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3bc 3 ? ? , 2bc 2bc 2

A?
所以 (2)

? . 6

2sin B cos C ? sin ? B ? C ?

? 2sin B cos C ? ?sin B cos C ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ?
? sin ?? ? A ? ? sin A ?
例 9: 设 ABC 得到内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4. (1)求边长 a; (2)若 ABC 的面积 S=10,求 ABC 的周长 l 。 【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。 解: (1)已知 a cos B ? 3, b sin A ? 4.

1 2。

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? ? ? cot B. b sin B b 将两式相除,有 4 b sin A sin A
又由 a cos B ? 3 知 cos B >0,

3 4 cos B ? ,sin B ? 5 5 ,则 a ? 5. 则 S?
(2)由

1 ac sin B ? 10, 2 得 c ? 5.

cos B ?


a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 5 得b ? 2 5 。

故 l ? 10 ? 2 5 。

a 【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点,也是解决此题的关键,相除之后出现 sin A ,使用正弦定理使问题
得到顺利解决。

『易错疑难解析』
易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时,需要十分小心,当该因式恒正或恒负时可以约去,一定要避免约去 可能为零的因式而导致漏解。 例 1: 在 ABC 中,已知 a cos A ? b cos B, 试判断 ABC 的形状。 【错解】由余弦定理得:

a?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b? , ? a 2 ? b2 ? c2 ? a 2 ? ? b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? , 2bc 2ac

?a2b2 ? a2c2 ? a4 ? b2a2 ? b2c2 ? b4 ,
? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? ,

? c 2 ? a 2 ? b2 .
故 ABC 为直角三角形。 【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式,其思路是正确的,但是在等式变形中约去了可能为零
2 2 的因式 a ? b ,产生了漏解的情况,导致结论错误。

【正解】 由余弦定理得:

a?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b? , ? a 2 ? b2 ? c2 ? a 2 ? ? b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? , 2bc 2ac

? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? , ? ? a 2 ? b 2 ?? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 0,

? a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2 。
∴ ABC 为等腰三角形或直角三角形。

易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件,特别是隐含条件,全面、细致地分析问题,如下列题中的 b >a 就是一个重要条件。 例 2: 在 ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2 2, C ? 15?, 求 A 。 【错解】由余弦定理,得

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? 4 ? 8 ? 2? 2? 2 2 ?

6? 2 ? 8 ? 4 3,? c ? 6 ? 2. 4

sin A ?
由正弦定理,得

a sin C 1 ? . c 2 又 0°<A<180°,? A ? 30? 或150? .

【点拨】注意到已知条件中 b ? 2 2 > a ? 2 这一隐含条件,则 B > A ,显然 A ? 150? 是不可能的。
2 2 2 【正解】由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 8 ? 4 3 ?c ? 6 ? 2.

sin A ?
又由正弦定理,得

a sin C 1 ? . c 2 ∵b>a,∴B>A.又 0°<A<180°,? A ? 30?

『高考真题评析』
例 1: ( 2011. 山 东 模 拟 ) 在 ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 , BC ? 3BD, AD ? 2, ?ADB ? 135?, 若 AC ? 2 AB, 则

BD ? __________ .
【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。

, 则 DC ? 2 x, 在 【 点 拨 】 如 图 1-13 所 示 , 设 AB ? k , 则 AC ? 2k , 再 设 BD ? x

ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得

? 2? 2 k 2 ? x2 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? x ? 2 ? 2x ? ?







ADC

















2k 2 ? 4 x 2 ? 2 ? 2 ? 2 x ? 2 ?
值舍去) ,故填 2 ? 5 。

2 ? 4 x 2 ? 2 ? 4 x, 2 ? k 2 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x ②。由①②得 x ? 4x ?1 ? 0, 解得 x ? 2 ? 5 (负 2

【名师点评】根据题意画出示意图由 CD=2BD,AC= 2 AB,设出未知量,在两个三角形中分别利用余弦定理,然后联立方 程组求解。

A

B
D
图 1-13 例 2:

C

(2010.天津高考)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc,sin C ? 2 3sin B, 则 A 等
2 2

于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用,考察分析问题、解决问题的能力。

2 2 【点拨】由 sin C ? 2 3 sin B, 根据正弦定理得 c ? 2 3b, 代入 a ? b ? 3bc, 得 a ? b ? 6b , 即 a ? 7b , ,由余弦

2

2

2

2

2

定理得

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 6b2 3 ? ? ? , 2 2bc 2 又 0°<A<180°,? A ? 30?. 故选 A 2b ? 2 3 4 3b

【名师点评】应用正弦定理把已知条件中 sin C ? 2 3 sin B, 转化成边 b,c 的关系,再代入已知得 a,b 的关系,利用 余弦定理变形形式求角的余弦值。 例 3: (2010.北京高考)某班设计了一个八边形的班徽(如图 1-14 所示) ,它由腰长为 1,顶角为 a 的四个等腰三角形,及 其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( ) A. 2sin a ? 2 cos a ? 2 B. sin a ? 3 cos a ? 3 C. 3sin a ? 3 cos a ? 1 D. 2sin a ? cos a ? 1 【命题立意】本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识。 【点拨】三角形的底边长为 x ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos a ? 2 ? 2cos a ,

1 ? S ? 4S三角形 ? S正方形 ? 4 ? ?1?1? sin a ? x 2 ? 2sin a ? 2 ? 2cos a ? 2sin a ? 2cos a ? 2 2
故选 A。 【名师点评】此题难度较低,该八边形由 4 个等腰三角形和一个正方形组合而成,应用余弦定理求正方形的边长是关 键。 例 4: (2010.安徽高考)设 ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,且

?? ? ?? ? sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B ?3 ? ?3 ? 。
(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b,c(其中 b<c) 【命题立意】本题考察两角和的正弦公式,同脚三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,余弦定理,向量的数量 积等知识。 解: (1)因为

? 3 ?? 3 ? 1 1 2 sin 2 A ? ? cos B ? sin B cos B ? sin B ? ? ? ? 2 ?? 2 ? ? sin B 2 2 ? ?? ?
? 3 1 3 cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? , 4 4 4

sin A ? ?
所以

? 3 A? . 3 2 。又 A 为锐角,所以

(2)由 AB ? AC ? 12, 得 cb cos A ? 12. ①由(1)知

A?

? . 3 所以 cb=24.②

2 2 2 2 2 由余弦定理知 a ? c ? b ? 2cb cos A. 将 a ? 2 7 及①代入,得 c ? b ? 52 ,③

③+②×2,得

?c ? b?

2

? 100,

,所以 c ? b ? 10 。

2 因此 c,b 是一元二次方程 t ? 10t ? 24 ? 0 的两个根,解此方程并由 b<c 知 c=6,b=4.

3 sin 2 A ? . 4 【名师点评】 (1) 题三角形的六个元素均未知, 只能从已知条件出发, 把方程右边关系式进行化简整理, 得
(2)题考察了构造方程求跟的能力。 例 5: (陕西高考)如图 1-15 所示,在 ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长。 【命题立意】本题主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形,同时考察运算求解能力。 解:在 ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

cos ?ADC ?
由余弦定理得

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 ? ?? 2 AD ? DC 2 ?10 ? 6 2

??ADC ? 120?, ?ADB ? 60?. 在 ABD 中, AD ? 10, B ? 45?, ?ADB ? 60?,
AB AD ? , 由正弦定理得 sin ?ADB sin B

AD ? sin ?ADB 10sin 60? ? AB ? ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ? 5 6.

A

B

D

C
图 1-15

【名师点评】已知 ACD 的三边,则由余弦定理先求 ?ADC 的余弦值,再求角,即可求的补角 ? ADB ,在 ? ABD 中, 已知两角一边用正弦定理求解即可。 例 6:

b a ? ? 6 cos C, (2010.江苏高考)在锐角 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a b

tan C tan C ? 求 tan A tan B 的值。
【命题立意】本题考察三角函数的化简及正、余弦定理的综合应用。

b a ? ? 6 cos C , b 2 ? a 2 ? 6ab cos C ? 3 ? 2ab cos C ? 3 ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 解:由 a b 得
2 ? a 2 ? b 2 ? ? 3c 2 .

化简整理得

tan C tan C ? 将 tan A tan B 切化弦,得

sin C ? cos A cos B ? sin C sin ? A ? B ? sin C sin C sin 2 C ?? ? ? ? ? ? . ?? cos C ? sin A sin B ? cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
sin 2 C ? cos C sin A sin B
根据正、余弦定理得

c2 2c 2 2c 2 ? ? ?4 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? c2 3 2 2 c ?c ab ? 2 2ab

tan C tan C ? ?4 所以 tan A tan B
2 2 【名师点评】整理通式的常用方法是通分,出现 a ? b , cos C 这样的形式时应考虑向余弦定理靠拢。

知能提升训练 学以致用
1、 (2011.山东模拟) ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, A. 2 2 B.3 C. 3 ? 1 D. 2 3 )

A?

?
3

, a ? 7, b ? 1,
则 c 等于( )

2、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么他的顶角的余弦值为(

5 A. 18

3 B. 4

3 C. 2

7 D. 8


2 2 2 3、在不等边三角形 ABC 中,a 为最大边,且 a < b ? c ,则 A 的取值范围是(

?? ? ? ,? ? ? A. ? 2

?? ? ? ? , ? B. ? 4 2 ?
? ?? ? 0, ? D. ? 2 ?
cos 2 A b?c ? , 2 2c 则 ABC 的形状为 (

?? ? ? ? , ? C. ? 3 2 ?
4、在 ABC 中,



A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 5、在 ABC 中,下列结论;

2 2 2 ①若 a > b ? c ,则 ABC 为钝角三角形 2 2 2 ②若 a = b ? c ?bc ,则 A=60° 2 2 2 ③若 a ? b > c ,则 ABC 为锐角三角形

④若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=1:2:3 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6、 (2011.广东模拟) 在 ABC 中, 分别是角 A, B, C 所对的边, 已知

a ? 3, b ? 3, C ?

?

, 6 则角 A 等于 ____________

? ? a ? c, b ? ? ? b ? a, c ? a ? 7、 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 设向量 p , ,若 p ∥q,则 C 的大
小为 ____________ 8、在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知

cos A ?

1 3。

tan 2
(1)求 (2)若

B?C A ? sin 2 2 2 的值
ABC

a ? 2, S

? 2 ,求 b 的值

9、 (2011.山东模拟)设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小;

? 2b ?

3c cos A ? 3a cos C.

?

B?
(2)若角

? , 6 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ABC 的面积

cos B b ?? . 2a ? c 10、在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c 且 cos C
(1)求角 B 的大小;

(2)若 b ? 13, a ? c ? 4, 求 ABC 的面积。

11、在 ABC 中, sin A : sin B : sin C ?

2 :2 :

?

3 ?1

? ,求

ABC 的三个内角。

12、在

?a

2

? b 2 ? sin ? A ? B ? ? ? a 2 ? b 2 ? sin ? A ? B ? ,

试判断 ABC 的形状。

2 13、已知三角形的一个内角为 60°,面积为 10 3 cm ,周长为 20cm ,求此三角形的各边长。

14、 (2011.济宁模拟)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知

b 2 ? ac, cos B ?

3 4

1 1 ? (1)求 tan A tan C 的值; BA ? BC ?
(2)设

3 , 2 求 a ? c 的值

15、如图 1-18 所示,半圆 O 的直径长为 2,A 为直径延长线上一点, OA ? 2 ,B 为半圆周上一个动点,以 AB 为边, 向圆外作等边三角形 ABC ,则 B 点在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?并求出这个最大面积。

图 1-18

1.2 应用举例
『典型题剖析』

考察点 1:测量距离问题
例 1:某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为 30°求 塔高。 【点拨】依题意画图,如图 1-23 所示,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米,此时∠DBF=45°,从 C 到 D

tan ?AEB ?
测塔的仰角,只有 B 到 CD 最短时,仰角才对大,这是因为 而要求 BE 需先求 BD(或 BC) 。

AB , BE AB 为定值,要求出塔 AB。必须先求出 BE,

解:如图 1-23 所示当 BE ? CD 时,测的塔的最大仰角为 30°,即 ?AEB ? 30? ,在 △BDC 中,CD=40,∠BCD=30°, ∠DBC=135°。

CD BD ? , 由正弦定理得 sin ?DBC sin ?DCB

? BD ?

40sin 30? ? 20 2. sin135? ?BDE ? 180? ? 135? ? 30? ? 15?,

在 Rt ?BED 中,

BE ? DB sin15? ? 20 2 ?

6? 2 ? 10 4

?

3 ?1 .

?

在 Rt ABE 中, ?AEB ? 30? ,

? AB ? BE tan 30? ?

10 3? 3 3

?

?

10 3? 3 故所求的塔高为 3 米。
【解题策略】 (1)依据提议画图是解决三角形应用题的关键。本例中,既有方位角(它是在水平面上所成的角) ,又有 仰角(它是在铅锤面上的角) ,因而本例的图形是一个立体图形,因此在画图时,要注意运用空间想象力进行画图。 (2) 由本例可知,方位角是相对于某地而言,因此在确定方位角时,必须先弄清是哪一点的方位角,从这个意义上来说, 方位角是一个动态角,在理解题意时要把它看活,否则可能产生偏差。

?

?

图 1-23 例2 如图 1-24 是曲柄连杆装示意图,连杆 AC=l,曲柄 AB=r,曲柄 AB 和曲轴 BL 所成的角为α (1)求连杆 AC 和曲轴 BL 间的夹角 β 的正弦 (2)当 α 取什么值时,β 最大? (3)已知 BD=a,求滑块 C 的位移 x

图 1-24 【点拨】首先应分清楚条件中的量,谁是变化的谁是固定不变的,变化的又是怎样变化的,BD 固定,C 点在线段 BD 上移动,AB,AC 的长度不变,A 点在以 B 为圆心,AB 为半径的圆上移动。 解: (1)在 ABC 中 , B ? ? , AB ? r , AC ? l.

r l r sin ? ? ,? sin ? ? . sin ? sin ? l 根据正弦定理得,
(2)根据题意知β 为锐角,? sin ? 最大时,β 最大。

? 当 sin ? ? 1 ,即

??

?
2 时,β 最大。

BC l ? , (3)根据正弦定理 sin A sin ? 得

BC ?

l sin ?? ? ? ? l sin ? cos ? ? l cos ? sin ? ? . sin ? sin ?

sin ? ?

l 2 ? r 2 sin 2 ? r sin ? , ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? l l
2 2 2

? BC ?

l l ? r sin ? ? l

l cos ?

r sin ? l ? l 2 ? r 2 sin 2 ? ? r cos ? sin ?

2 2 2 ? 位移 x ? BD ? BC ? a ? l ? r sin ? ? r cos?.

【解题策略】在理解曲柄连杆的工作原理之后,解此题应该不是很困难,在解(3)题时,应注意β 不是已知量,应用

r,l 及α 来表示,否则很容易写成

BC ? l cos ? ?

l cos ? sin ? , sin ? 要引起重视。

考查点 2
例3

测量高度问题

地面上有一旗杆 OP,为了测量它的高度 h,在地面上选一基线 AB,AB=20m,在 A 点测得 P 点的仰角∠OAP=30°,在 B 点测得 P 点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆 PO 的高度 h 为多少(精确到 0.1m) 解:在 Rt PAO 中,

AO ?

h ? 3h tan 30?

在 Rt PBO 中,

BO ?

h ?h tan 45?

在 ABO 中,由余弦定理,得

202 ?

? 3h?

2

? h2 ? 2 3h ? h cos 60?



h?
解得

20 4? 3

? 13.3 ? m ?

【解题策略】在解三角形问题时,一定要选择合适的三角形,这样可以简化计算过程。

图 1-25
例 4:

如图 1-26 所示,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为α ,沿倾斜角为β 的斜坡向上走 a 米到 B,又测得山顶 P 的仰角为γ ,

求山高。 【点拨】由图形知山高为 PQ,只要已知 PA,就可通过解 Rt APQ 求得,而 AP,可由正弦定理求出。 解:在△ABP 中,

?ABP ? 360? ? ? ? 90? ? ?90? ? ? ? ? 180? ? ?? ? ? ?.
AB AP ? , ?APB ? ? ? ? , AB ? a, 由正弦定理可得 sin ?APB sin ?ABP

AP ?

AB sin ?ABP a sin ? ?180? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a sin ? ? ? ? ? m ? ? ? sin ?APB sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?

故山高 PQ 为

a sin ? sin ?? ? ? ? m sin ?? ? ? ?

【解题策略】解决本题的关键是利用平面几何知识求出 ?APB 和 ?ABP 。

图 1-26

例 5: 如图 1-27 所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角α =54°40′,在塔底 C 处测得 A 处的俯角β =50°1′。 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3m,求出山高 CD(精确到 1m) 【点拨】根据已知条件,应该设法计算出 AB 或 AC 的长 解:在△ABC 中,∠BCA=90°+β , ∠ABC=90°-α , ∠BAC=α -β , ∠BAD=α .根据正弦定理, 得

BC AB ? sin(? ? ? ) sin(90 ? ? )

所以,AB ?

BC sin(90 ? ? ) BC cos ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

解Rt ?ABD, 得 BD ? AB sin ?BAD ?

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米。 27.3cos 50 1' sin 54 40 ' ? 【解题策略】本题的关键是把握俯角的概念,明确已知量与几何图形中量的对应关系。 ' '

sin(54 40 ? 50 1 ) ? 177( m)

图 1-27

考查点 3:测量角度问题 例 6: 如图 1-28 所示,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° 的方向航行 67.5n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32° 的方 向航行 54.0n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角 度精确到 0.1° ,距离精确到 0.01n mile) 解:在△ABC 中, ?ABC ? 180? ? 75? ? 32? ? 137?, 根据余弦定理得:

AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC
? 67.5 ? 54.0 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137?

? 113.15 (n mile)
BC AC ? 根据正弦定理,得 sin ?CAB sin ?ABC ,

? sin ?CAB ?

BC sin ?ABC ? 0.3255, AC

??CAB ? 19.0?,75? ? ?CAB ? 56.0?.
答:此船应该沿北偏东 56.0 ? 的方向航行,需要航行约 113.15(n mile)

图 1-28 例 7: 如图 1-29 所示,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9 海里的 B 处,并以 20 海里/时的速度沿南偏 西 15°方向行驶,若甲船以 8 海里/时的速度行驶,应沿什么方向,用多少小时能尽快追上乙船?

【点拨】根据图意明确已知条件与几何量之间的对应关系。 解:设用 t 小时甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中, AC ? 28t , BC ? 20t , AB ? 9, ?ABC ? 180? ? 45? ? 15? ? 120?. 由余弦定理得, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ?ABC,
2 2 2

? 28t ?


2

2 ? 1? ? 92 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ? ? ? , ? 2?

128t 2 ? 60t ? 27 ? 0,? t ?

3 9 t?? 32 (舍去) 4或

BC sin ?ABC sin ?BAC ? ? AC 由正弦定理,得
又∠ABC=120°,∴∠BAC 为锐角,

15 ?

3 2 ? 5 3. 21 14

??BAC ? arcsin

5 3 7 2 5 3 . 14 又 14 < 14 =

2 5 3 ? ? arcsin 2 , 14 < 4 ,

?
∴甲船沿南偏东 4

? arcsin

3 5 3 14 的方向,用 4 小时能尽快追上乙船。

【解题策略】 (1)首先明确题中所给出的各个角的含义,然后分析题意,分析已知、所求,再根据题意画出正确的示 意图,这是最关键、最主要的一步。 (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,灵活运用正、余弦定理解决 问题。 考察点 4:求面积的问题 例 8: 在半径为 R 的扇形 OAB 中,圆心角∠AOB=60°,在扇形内有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积。 【点拨】扇形内的内接矩形有且仅有两种类型:一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合,如图 1-30(1)所示;另一 种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形,如图 1-30(2)所示,我门分别求出这两种类型的矩形的最大面积,再取两者中 较大的,就是符合条件的最大面积。

图 1-30 解:如图 1-30(1)所示,设 PQ=x,MP=y,则矩形的面积 S=xy。连接 ON,令∠AON=θ ,则 y=Rsinθ 。在△OMN

中,利用正弦定理,得

R x ? , sin120? sin ? 60? ? ? ?
.? S ? xy ? 2R2 sin ? sin ? 60? ? ? ? 3 ? R2 ? cos 2 ?? ? 30? ? ? cos 60? 3


?x ?

2R sin ? 60? ? ? ? 3

? ? 30?





Smax ?

3 2 R . 6

如图 1-30(2)所示,设 PN=x,MN=y,则矩形的面积为 S ? xy ,连接 ON,令∠AON=θ 。

ON PN OP ? ? , 在△OPN 中,利用正弦定理,得 sin ?OPN sin ? sin ?ONP

?x ?

R ? sin ? ? 2 R sin ? , y ? 2 R sin ? 30? ? ? ? sin150?

? S ? xy ? 4 R 2 sin ? sin ? 30? ? ? ? ? 2 R 2 ? ?cos 2 ?15? ? ? ? ? cos 30? ? ?.

Smax ? 2 ? 3 R 2 . ? ? 15 ? 当 时,
3 3 2 R 6 > 2 ? 3 ,∴所求的最大面积为 6 。
【解题策略】这是一道传统题,理解扇形的内接矩形有且仅有上诉两种情况是解决本题的关键,也是本题的难点。 例9 如图 1-31 所示,圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4 求四边形 ABCD 的面积。

?

?

图 1-31 解:连接 BD 则四边形 ABCD 的面积为

S?S

ABD

?S

CDB

?

1 1 AB ? AD sin A ? BC ? CD sin C. 2 2

∵A+C=180°,∴ sin A ? sin C,

?S ? ?

1 ? AB ? AD ? BC ? CD ? sin A 2

1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 4 ? sin A ? 16sin A. 2

在△ABD 中,由余弦定理,得

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos A ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4cos A ? 20 ? 16cos A.
2 2 2 在△CDB 中, BD ? CB ? CD ? 2CB ? CD cos C ? 52 ? 48cos C.

? 20 ? 16cos A ? 52 ? 48cos C.
1 cos C ? ? cos A,? 64 cos A ? ?32,? cos A ? ? , 2

? A ? 120?,? S ? 16sin120? ? 8 3.
【解题策略】解斜三角形应用题的步骤: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知所求,理清量与量之间的关 系。 (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形的模型。 (3)选择正弦定理和余弦定理求解。 (4)将三角 形的解还原成实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算的要求。

考察点 5:解三角形在日常生活中的应用
例 10 一次机器人足球比赛中,甲队一号机器人,由 A 点开始做匀速直线运动,到达 B 点时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于 自己的速度向点 A 做匀速直线滚动,如图 1-32 所示,已知

AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAD ? 45?, 若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?

图 1-32 【点拨】机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,设为 C 点,利用速度建立 AC 与 BC 之间的 关系,再利用余弦定理建立方程解决问题。 解:设机器人最快可在点 C 处截住足球,点 C 在线段 AD 上,连接 BC,设 BC ? x dm, AC=AD-CD=(17-2x)dm 在△ABC 中,由余弦定理得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A,
2 2 2



x2 ? 4 2

?

?

2

? ?17 ? 2 x ? ? 8 2 ?17 ? 2 x ? cos 45?,
2

解得

x1 ? 5, x2 ?

37 . 3

? AC ? 17 ? 2 x ? 7 (dm)或

AC ? ?

23 3 (dm) (舍去)

∴该机器人最快可在线段 AD 上离 A 点 7dm 的点 C 处截住足球。 【 解 题 策 略 】 解 决 本 题 的 关 键 是 将 实 际 问 题 转 化 为 解 三 角 形 的 模 型 , 在 △ ABC 中 , 已 知 ∠ A=45 ° ,

AB ? 4 2 , AC? 1 7? 2x ,BC ? 因此,可以利用余弦定理列出方程求解 x, x
例 11 如图 1-33 所示,公园内有一块边长为 2a 的等边三角形 ABC 形状的三角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相 等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上。 (1)设

AD ? x ? x ? a ? , ED ? y,

求用 x 表示 y 的函数关系式;

(2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE 的位置应该在哪里?如果 DE 是参观路线,则希望它最长, DE 的位置又该在哪里?请予以证明

图 1-33 【点拨】 (1) 要用 x 表示 y , 可由面积相等用 x 表示 AE, 然后由余弦定理表示 y(2) 要求 DE 的最值, 即求函数 的最值,需借助于

y ? f ? x?

y ? f ? x?

的单调性求解。

解: (1)∵在△ABC 中,D 在 AB 上,? a ? x ? 2a.

S

ADE

?

1 S 2

ABC

,

1 1 2a 2 ? x ? AE ? sin 60? ? AB 2 ? sin 60?, AE ? . 2 4 x 4a 2 y ? x ? 2 ? 2a 2 , x 在△ADE 中,由余弦定理得
2 2

4a 2 ? y ? x ? 2 ? 2a 2 ? a ? x ? 2a ? . x
2
2 (2)令 x ? t ,则 a ? t ? 4a , 则

2

2

y? t?

4a 2 ? 2a 2 , t

4a 2 f ?t ? ? t ? ? 2a 2 , t ? ? a 2 , 2 a 2 ? a2 ? t1 < t 2 < 2 a 2 , ? t 令 当 时,任取

f ? t1 ? ? f ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ?

t1t2 ? 4a 4 . a2 ? t1 < t 2 < 2 a 2 , t1t2 ∵

? t1t2 >0, t1 ? t2 <0, a 4 < t1t2 < 4 a 4

? f ?t1 ? ? f ?t2 ?


>0,

f ? t1 ?



f ? t2 ? .

f ?t ?

在?

? a 2 , 2a 2 ?

上是减函数。 上是增函数。

同理 又

f ?t ?

在?

? 2a 2 , 4a 2 ?

? f ? a 2 ? ? 3a 2 , f ? 2a 2 ? ? 2a 2 , f ? 4a 2 ? ? 3a 2 .
2

当 t ? 2a , 即 x ?

2a 时,y 有最小值 2a ,此时 DE∥BC,且 AE ? 2a ,

2 2 当 t ? a 或 4 a ,即 x ? a 或 2 a 时,y 有最大值 3a ,此时 DE 为△ABC 中边 AB 或边 AC 上的中线。

『易错疑难解析』
易错点 实际应用错误 【易错点解析】由于实际应用问题的条件多,文字繁琐,故对题意理解不够、把握不准,致使常常出错。 例1 在大河边上高 a 米处的 A 点,测的得对岸一铁塔的顶点 M 的仰角为θ ,而在河中铁塔倒影的顶点的俯角为 ? ,试求铁 塔的高度。

图 1-34 【错解】 如图 1-34 所示设直线 A M 在河面上,点 N 是铁塔顶点 M 在河中的倒影, M 是 MN 与 A M 的交点,由于铁塔顶点
' ' ' ' M 与它在河面的倒影关于河面对称,故 MN ? A M ,且 MM ? M N 。

'

'

'

'

'

由点 A 向 MN 作垂线,设垂足为 B,令 AB=x,则由题设条件知 ?MAB ? ? , ?BAN ? ?.
' ' 于是在 Rt△ABM 中,MB ? x tan ? . 在 Rt△ABN 中, BN ? x tan ?. 由于 A A ? a, 且 MM ? M N ,? BN ? MB ? a,

'

即 x tan ? ? x tan ? ? a ,

?x ?

a , tan ? ? tan ?

? MB ? x tan ? ?

a tan ? a tan ? , BN ? x tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ?

M 'M ?
∴塔高

MB ? BN a ? tan ? ? tan ? ? a sin ?? ? ? ? ? ? 2 2 ? tan ? ? tan ? ? 2sin ?? ? ? ?

(米)

【点拨】上述错解中,其解题思路其实是正确的,错误在于 BM 与 BN 的关系上,由于
' ' ' ' ' ' MM ' ? M ' N ,故 MB ? BM ? M N ,? MB ? 2BM ? M N ? BM , ? MB ? 2BM ? BN ,



BM ' ? AA' ? a,? BN ? MB ? 2a, 而不是 BN ? MB ? a.

【正解】在错解中将 “ BN ? MB ? a ”改写成“ BN ? MB ? 2a ”后,

可得 x tan ? ? x tan ? ? 2a ,

?x ?

2a 2a tan ? , ? MB ? x tan ? ? , tan ? ? tan ? tan ? ? tan ?

BN ? x tan ? ?

2a tan ? . tan ? ? tan ?

M 'M ?
∴塔高

MB ? BN a ? tan ? ? tan ? ? a sin ?? ? ? ? ? ? 2 ? tan ? ? tan ? ? sin ?? ? ? ?

(米)

易错点 应用正、余弦定理解决实际问题时出现增解或漏解
【易错点解析】在应用正弦定理和余弦定理解三角形时因为三角形可能会出现两解、一解或无解的情况,所以在求解 时一定要注意验证解的情况,避免出现增解或漏解。 例2 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向上, 由城 A 出发的一条公路, 走向是南偏东 40°, 在 C 处测的公路上距 C 点 31km 的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去,走了 20km 后到达 D 处,此时 C、D 间距离为 21km,这人还要走多远才能到达城 A?

图 1-35 【错解】如图 1-35 所示,∠CAD=60°, 在△BCD 中,由余弦定理得

BC 2 ? BD 2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 cos B ? ? , 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31
sin B ? 1 ? cos 2 B ?
所以

BC sin B 12 3 AC ? ? 24. . sin ?CAB 31 在△ABC 中,

2 2 2 在△ACD 中,由余弦定理,得 CD ? AC ? AD ? 2 AC ? AD cos ?CAD

即 21 ? 24 ? AD ? 24 AD, 所以 AD=15 或 AD=9,
2 2 2

所以这个人还要走 15km 或 9km 才能到达城 A。 【点拨】余弦定理中,线段的长度都带有平方,故求线段的长度是可能会有两个值,出现错误的原因是未检验解是否 符合题意。 【正解】设∠ACD=α ,∠CDB=β ,

cos ? ?
在△CBD 中,由余弦定理,得

BC 2 ? CD 2 ? CB 2 202 ? 212 ? 312 1 ? ?? 2 BD ? CD 2 ? 20 ? 21 7,

sin ? ?
所以

4 3 . 7



sin ? ? sin ? ? ? 60? ? ? sin ? cos 60? ? cos ? sin 60? ?

4 3 1 3 1 5 3 ? ? ? ? . 7 2 2 7 14

CD AD 21? sin ? ? , AD ? ? 15 sin 60? 在△ACD 中,由正弦定理,得 sin 60? sin ? 则 (km) 。
所以这人还要走 15km 才能到达城 A。

『高考真题评析』
例1 (2011.湖北模拟)为了测量两山顶 M,N 的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅 锤平面内, (如图 1-36)飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一各方案,包括: (1)指出需要测量的 数据(用字母表示,并在图中标出) ; (2)用文字和公式写出计算 M,N,间的距离的步骤。

图 1-36 【命题立意】本题考察解三角形的应用,熟知正、余弦定理,并应用到解决实际问题上。 解:方案 1: (1)需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 (如图 1-37 所示)

?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的俯角 ? 2 , ?2 ;A,B 的距离 d

图 1-37

AM ?
(2)第一步:计算 AM,由正弦定理得,

d sin ? 2 ; sin ??1 ? ? 2 ?

AN ?
第二步:计算 AN,由正弦定理得, 第三步:计算 MN,由余弦定理得:

d sin ? 2 ; sin ? ? 2 ? ?1 ?

MN ? AM ? AN ? 2 AM ? AN cos ??1 ? ?1 ?.

【名师点评】本题构思新颖,是课本中测量两个不能到达的地方之间的距离的引申拓展。 例2 (2010.陕西高考)如图 1-38 所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船 立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

【命题立意】本题主要考察运用正、余弦定理理解三角形,把实际问题转化成解三角形的问题,同时考察运用数学知 识解决实际问题的能力和运算求解能力。 【解析】 由题意知 AB=5(3+ 3)(海里), ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB ∴DB=

DB

AB

ABsin∠DAB 5 3+ 3 sin45° = sin∠ADB sin105°

5 3+ 3 sin45° 5 3 3+1 = = =10 3(海里), sin45°cos60°+cos45°sin60° 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+30°=60°,

BC=20 3 海里, 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=
1 300+1 200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 ∴该救援船到达 D 点需要 1 小时. 例3

(2010.福建高考) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。 在小艇出发时 ,轮船位 于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船 沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小 艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【命题立意】本题主要考察用解三角形的有关知识来解决实际问题。

图 1-39 解:如图,由(1)得

OC ? 10 3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC, 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海
里 / 小 时 , 故 轮 船 与 小 艇 不 可 能 在 A 、 C ( 包 含 C ) 的 任 意 位 置 相 遇 , 设

10 3 ?COD=? (0 <? <90 ),则在Rt?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD= cos ? ,

t?
由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为

10 ? 10 3 tan ? 10 3 t? 30 v cos ? , 和

15 3 3 10 ? 10 3 tan ? 10 3 v? ,又v ? 30,故 sin (? +30 ) ? ? sin (? +30 ) 2 , 30 v cos ? ,解得 所以
3 tan ? 取得最小 值,且最小值为 3 ,于是 从而 30 ? ? <90 ,由于? ? 30 时, t? 当 ? ? 30 时,
2 10 ? 10 3 tan ? 30 取得最小值,且最小值为 3 。

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇 【名师点评】将实际问题落实到几何图形中,把实际量与几何量建立对应关系,利用三角形和函数知识来求解最值。

知能提升训练
A. 50 2m B. 50 3m

学以致用

1、 (2011.潍坊模拟)如图 1-40 所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 A,C 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以算出 A,B 两点的距离为( )

C. 25 2m

25 2 m D. 2

图 1-40 2、如图 1-41 所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点测的树尖的仰角分别为 30°,45°,且 A,B 两点之间的距离为 60m,则树的高度为( )

?30 ? 30 3 ? m ?15 ? 30 3 ? m C.
A.

?30 ? 15 3 ? m ?15 ? 3 3 ? m D.
B.

图 1-41

3、在船 A 上测得它的南偏东 30°的海面上有一灯塔,船以每小时 30 海里的速度向东南方向航行半小时后,于 B 处看

? 6? 2? sin15 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 到灯塔在船的正西方向,则这时船和灯塔相距





15
A.

?

6? 2 2

?
海里

15 2 ? 5 6 2 B. 海里 15 2 ? 5 6 4 D. 海里

15
C.

?

6? 2 4

?
海里

4、如图 1-42 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20°的方向 上,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A. a km B. 3a km C. 2a km D. 2 a km

图 1-42 5、若 P 在 Q 的北偏东 40°50′方向上,则 Q 在 P 的( ) A.东偏北 45°10′方向上 B. 东偏北 45°50′方向上 C.南偏西 44°50 发奋方向上 D.西偏南 45°50′方向上 6、一货轮航行到 M 处,测的灯塔 S 在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔 S 相距20海里,随后货轮按北偏西 30°的 方向航行 30 分钟后,又测得灯塔 S 在货轮的东北方向,则货轮的速度为 ( )

? 20 ? C.
A.

20

6? 2 6?

? 海里/时 3? 海里/时

B.

20

? ?

6? 2 6?

D.

20

? 海里/时 3? 海里/时

7、 (2011.淄博模拟)当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘光环船遇险等待救援,甲船立 即前往营救, 同时把消息告诉在甲船的南偏西 30°方向相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东θ 角的方向沿直线 前往 B 处救援,则 sin ? 的值等于

____ 。

8、如图 1-43 所示,飞机的航向和山顶在同一个平面内,已知飞机的高度为海拔 h km,速度为 v km/s,飞行员先看到

撒谎拟定的俯角为 a,进过 t s 后又看到山顶的俯角为β ,求山顶的海拔高度, (用 h, v, ? , ? 等表示)

图 1-43 9、某地出图一块类似三角形形状的古代玉佩(如图 1-44 所示) ,其一角已经破损,现测得如下数据: BC=2.57cm, CE=3.57cm,BD=4.38cm,B=45°,C=120°,为了复原,请计算玉佩两边的长。 (结果精确到 0.01cm)

图 1-44 10、在气象台 A 的正西方向 300km 处有一台风中心,它以每小时 40km 的速度向东北方向移动,距离台风中心 250km 以 内的地方都会受其影响,则从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在的位置将遭受台风影响?持续多长时间?

A 11、如图 1-45 所示,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 1
处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 到甲船的北偏西 120°方向的

B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行

B2 处,此时两船相距 10 2 海里,则乙船每小时航行多少海里?

图 1-45 12、如图 1-46 所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,且 小区里有一条平行于 BO 的小路 CD。已知某人从 C 点沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟,若此人 步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) 。

图 1-46 13、如图 1-47 所示,海中小岛 A 周围 20 海里内有暗礁,船沿正南方向航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°处, 航行 30 海里到达 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 60°处,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危 险?

图 1-47


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