指数函数习题课


指数函数

一、复习回顾
1、复合函数的定义域、值域、单调性
(1)形如 y

?a

f ( x)

的函数

定义域:就是 f ( x) 定义域 值域: 先求出 f ( x) 的值域,再由单调性 f ( x) 求出 y ? a 值域 单调性:由函数f ( x)的单调性与函数 a f ( x ) 的单调性共同决定

练习

练习1 求函数

y?2

x 2 ?2 x?1

的值域、单调区间

二、单调性与奇偶性问题
【例题】
x a 1.已知函数 f ? x ? ? ? 1 . ax ?1

(1)求f(x)的值域. (2)证明f(x)为奇函数. (3)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.

【解题探究】(1)判断函数奇偶性的基本步骤是什么? (2)定义法证明函数单调性的基本步骤是什么? (3)分式型函数如何进行恰当变形后可以更容易求值域?

探究提示: 1.先求定义域,再判断f(-x)与f(x)是否相等或互为相反数. 2.定义法证明函数单调性的基本步骤: 取值、作差变形、判号、下结论. 3.采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 (或分母)含 有未知数的形式更容易求值域.(分离常数法)

【拓展提升】 1.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则 如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数

也不是偶函数.
(2)正确利用变形技巧

耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)〒f(-x)=0判
定.

2.函数单调性的判定 (1)解答题中通常利用定义法进行证明 .(通法) (2)选择题、填空题中可利用函数图象,也可以利用已知函数 单调性进行分析,例如由y=2x是增函数可知y=2-2x是减函数, y=x+2x是增函数等.

【例题】

2.设a是实数,f(x)=a-

(1)证明:不论a为何实数,f(x)均为增函数;

2 (x∈R). x 2 ?1

(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数成立.
(1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则

f(x1)-f(x2)= (a=
2 2x
2 1

2

2 ? x ? 1 2 ?1
1 2

2x ? 1
1

)-(a-

2

2x ? 1
2

)

x 2(2 - 2x ) x = ( 2x ?1)(2 ?1)
1 2

.
x 1 x 2

由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,

所以 2 ,即 2 . ? 2 2 ? 0
x 1 x 2

x x 又由2x>0得 2 ? 1 ? 1,2 ? 1 ? 1,
1 2

所以f(x1)-f(x2)<0, 因为此结论与a的取值无关,

所以不论a为何实数,f(x)均为增函数.
(2)若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),即f(-x)+f(x)=0

得a=1.

2 2 a- -x ? a- x ?0, 2 ? 1 2? 1 x x 2 ?2 2 2(2 ? 1) 2a ? ?x ? x ? x ?2 x (2 ? 1) ?2 2 ? 1 2? 1

(2)解法二:假设存在a使得f(x)为奇函数. 由f(x)定义域为R,知f(0)=0,∴a=1. 证明:a=1时,

2x ? 1 f ?x? ? x , 2 ?1

2? x ? 1 1 ? 2 x f ? ?x ? ? ? x ? ? ?f ? x ? , x 2 ?1 1? 2
∴a=1时,f(x)为奇函数.

为奇函数,则a=__ 2 , b=_____. 1
f (0) ? 0 ? b ? 1;

x -2 【1】已知定义域为R的函数 f ( x ) ? x ?1 ? b 2 ?a

f ( ?1) ? ? f (1) ? a ? 2.

1 【2】已知函数 f ( x) ? a ? x 是奇函 4 ?1

数,求常数a的值。


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