数列求和与数列的综合应用


数列求和与数列的综合应用 教学目标 1.掌握等比数列的求和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 知识梳理 数列求和的常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? Sn= = 2 (2)等比数列的前 n 项和公式: ;

?na1, Sn=?a1-anq ? 1-q =
2.倒序相加法

q=1 , q≠1 .

如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的, 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此 法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求 得其和. 5.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法

一个数列的前 n 项和中, 可两两结合求解, 则称之为并项求和. 形如 an=(- 1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如, Sn=1002-992+982-972+?+22- 12=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.

要点点拨 1.一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通 项变形, 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适 2.解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法 往往通过通项分解或错位相减来完成. (2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、 倒序相加法等来求和. 的方法求和. 热点题型一 分组求和法求和 [例 1] 已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),

且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. [思路点拨] 第(1)问由已知条件列出关于 p、q 的方程组求解;第(2)问分组

后用等差、等比数列的求和公式求解. [规律总结] 对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问

题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比 数列的求和. 变式训练 1 设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 热点题型二 错位相减法求和

[例 2]

1 (2012· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n2+kn(其中 k∈N+), 且

Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; (2)求数列{ 9-2an 2n }的前 n 项和 Tn. ?S1,n=1, (1)利用方程的思想确定 k, 然后由 an=? 求 an; ?Sn-Sn-1,n≥2

[思路点拨]

(2)用错位相减法求 Tn. [规律总结] 本题主要考查数列的通项、递推、错位相减法求和以及二次函

?S1,n=1, 数的最值的综合应用.利用 an=? 来实现 an 与 Sn 的相互转化是 ?Sn-Sn-1,n≥2 求解数列问题时比较常用的技巧之一,要注意 an=Sn-Sn-1 不能用来求首项 a1, 首项 a1 一般通过 a1=S1 来求解.当数列的通项由两项的乘积组成,即其中一项 是等差数列,另一项是等比数列时,通常运用错位相减法求数列的前 n 项和.

变式训练 2 (2012· 天津)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1 =b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=anb1+an-1b2+?+a1bn, n∈N*, 证明 Tn+12=-2an+10bn(n∈N*). 热点题型三 裂项相消法求和

[例 3]

(2013· 大连模拟)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且

满足 4Sn=(an+1)2 (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最小值. an· an+1

[思路点拨]

(1)利用 Sn+1-Sn=an+1 寻找 an+1 与 an 的关系.

(2)先用裂项法求 Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值. [规律总结] 1.在对 bn 进行裂项时,易犯

1 1 1 = - 的错误,可通过通分验证. ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 2.在用裂项相消法求和时,消项后并不一定只剩下第一项和最后一项,也 可能剩下前几项和后几项.

变式训练 3 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1 =1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求S +S +?+S 的值.
1 2 n

热点题型四 数列的综合应用 [例 4] (2011· 陕西卷)如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于 点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;?;Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,?,n).

(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|. [ 规律总结] 数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的

解析式构造数列, 用函数或方程的方法研究数列问题.函数与数列的综合问题主 要有以下两类: 一是已知函数的条件,利用函数的性质图象研究数列问题.如恒成立,最值 问题等.二是已知数列条件,利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化 简变形,从而解决函数问题. 变式训练 4 已知数列{an}、{bn},对于 n∈N*,点 Pn(n,an)都在经 1 过 A(-1,0)与 B(2, 3)的直线 l 上, 并且点 C(1,2)是函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1) 图象上的一点,数列{bn}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)记数列{ 1 1 }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2ln2 an· lnbn+1

命题透视 从近几年的高考试题来看,等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不 等式交汇是考查的热点,题型以解答题为主,难度偏高,主要考查学生分析问题 和解决问题的能力. 创新探究—— 分类讨论思想在数列综合题中的应用 [例题] a2≠0. (1)求证:{an}是首项为 1 的等比数列; n (2)若 a2>-1,求证:Sn≤2(a1+an),并给出等号成立的充要条件. (2012· 重庆)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1,其中

[思路点拨]

(1)先写出 Sn+1 与 Sn,两式相减后可证;(2)由(1)写出通项公式,

观察 n 的值使等号成立,对 a2 进行分类讨论,证明不等式成立.

考题体验 1.(2012· 北京)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从

目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为(

)

A.5 C.9 D.11

B.7

2.(2012· 浙江)已知 数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈ N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.


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