广东省广州市执信中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷 数学(理科) 命题学校:广州市第二中学 命题人:刘 敏

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

注意事项: 1. 答题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关 信息填写在答题卡指定区域内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 选做部分,执信、广雅、六中的同学做题类 A,二中的同学做题类 B. 5. 考生必须保持答题卡的整洁.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? y y ? 2 A. y y ? 0

?

x

? , B ? ?y y ?
B. y y ? 0

x ? 1 ,则 A ? B 等于
C. y y ? 1

?

( D. y y ? 1 (



?

?

?

?

?

?

?

?


2. (题类 A) “ ? ? ? ”是“ cos ? ? cos ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2. (题类 B) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 3i 等于 ( 3 ? i)2
B. ?





A. ?

1 3 ? i 4 4

1 3 ? i 4 4
-1-

C.

1 3 ? i 4 4

D.

1 3 ? i 4 4

3.运行如图所示程序语句后,输出的结果是 A.17 C.21 B.19 D.23





4.从 ?1, 2,3, 4,5 ? 中随机选取一个数 a ,从 ?1, 2,3? 中随机选取一个 数 b ,则 b ? a 的概率是 ( )

4 5 2 C. 5
A.

3 5 1 D. 5
B.

i=1 DO i = i+2 S = 2i+3 i = i-1 LOOP UNTIL i≥8 PRINT S END

5.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 、 a3 、 2a2 成等差数列,则 A. 1 ? 2
1

1 2

a9 ? a10 ( a7 ? a8



B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

6.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ? x ?1 ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间 (0,1) 上
2

单调递减的函数序号是 A.①② 7. (题类 A)双曲线 B.②③ C.③④ D.①④





x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过焦点 F1 的弦 AB 长为 m ( A 、 B 在同一支 a 2 b2
( C. 4 a ? m D. 4a ? 2m ( C. 2 x sin x
2

上) ,另一焦点为 F2 ,则 ?ABF2 的周长为 A. 4a ? 2m B. 4 a
2



7. (题类 B)设 f ( x) ? sin x ,则 f '( x) 等于 A. sin 2 x B. cos x
2


2

D. 2 x cos x

? x ? ?1 ? 8.若变量 x 、 y 满足条件 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
A.1 C.3 B.2 D.4





9.几何体的三视图如图所示(均为直角边长为 2 的等腰直角三角 形) ,则几何体的表面积为 ( )

-2-

A. 4 ? 4 2 C. 6 ? 2 3

B. 4 ? 4 3 D. 8

10.若 a , b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是( A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数 B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数 (

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?



11.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. [1 ? 2 2,1 ? 2 2] C. [?1,1 ? 2 2] B. [?1,3] D. [1 ? 2 2,3]



12.正实数 a 、 b 满足 a b ? b a ,且 0 ? a ? 1 ,则 a 、 b 的大小关系是 A. a ? b B. a ? b C. a ? b

( D.不能确定



第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 份,共 20 分. 13.已知 cos x ? sin x ?

3 2 cos 2 x ,则 ? __________; ? 5 sin( x ? ) 4
3 8

2 14. (题类 A)抛物线 y ? ax 的焦点坐标为 (0, ) ,则 a ? __________;

14. (题类 B)计算定积分

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? __________;

15.已知正实数 x 、 y 满足 2 x ? y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小 值为__________; 16.如图,正三棱锥 A ? BCD 的侧棱长为 2,底面 BCD 的 边长为 2 2 , E 、 F 分别为 BC 、 BD 的中点,则三棱锥

A

B E C

A ? BEF 的 外 接 球 半 径 R ? __________ , 内 切 球 半 径

F

D

r ? __________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

-3-

17. (本小题满分 10 分) 甲、乙两机床同时加工直径为 100 mm的 零件,为检验质量,随机从中各抽取 5 件,测 量结果如图.请说明哪个机床加工的零件较 好? 甲 乙 99 99 100 100 98 102 100 99 103 100

18. (本小题满分 12 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

S
19. (本小题满分 12 分)

?ABC 是边长为 4 的正 在三棱锥 S ? ABC 中,
三角形, 平面 SAC ? 平面 ABC , SA ? SC ? 2 3 ,

C B

M 为 AB 的中点.
(1)求证: AC ? SB ; ( 2 )求二面角 S ? CM ? A 的平面角的余弦 值.

A

M

20. (本小题满分 12 分)

c 如图, A 、 B 、 C 的坐标分别为 (? , 0) 、 2 c ( , 0) 、 (m, n) , G 、 O ' 、 H 分别为 ?ABC 的 2
重心、外心、垂心. (1)写出重心 G 的坐标; (2)求外心 O ' 、垂心 H 的坐标; (3)求证: G 、 H 、 O ' 三点共线,且满足

y

C

O' G H A O B x

GH ? 2 O ' G .

-4-

21. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 是公差 d 不为 0 的等差数列, a1 ? 2 , Sn 为其前 n 项和. (1) 当 a3 ? 6 时, 若 a1 ,a3 ,an1 ,an2 , ?,ank 成等比数列 (其中 3 ? n1 ? n2 ? ? ? nk ) , 求 nk 的表达式; (2)是否存在合适的公差 d ,使得 ?an ? 的任意前 3n 项中,前 n 项的和与后 n 项的和的 比值等于定常数?若存在,求出 d ;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 12 分) (题类 A)以椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 短轴端点 A(0,1) 为直角顶点,作椭圆内接等腰直角 a2

三角形,试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. (题类 B)函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x , g ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x ) 的最大值; (2)设 0 ? a ? b ,求证: 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a) ln 2 . 2

-5-

2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考 数学(理科)参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. BBCDC BDCAA DB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 份,共 20 分. 13.

6 5

14.

2 3

15. 18

16.1, 2 ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解: x甲 ?

99 ? 100 ? 98 ? 100 ? 103 ? 100 5 99 ? 100 ? 102 ? 99 ? 100 x乙 ? ? 100 5

????1 分 ????2 分 ????3 分

故它们的整体水平相当; 又 s甲 ?
2

(99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (98 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (103? 100) 2 ? 2.8 5
????5 分

2 s乙 ?

(99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (102 ? 100) 2 ? (99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? 1.2 5
????7 分

2 2 有 s甲 ,从而乙机床相对稳定; ? s乙

????9 分 ????10 分

故乙机床加工的零件相对较好.

18. (本小题满分 12 分) 解:? cos ?ADC ?

3 ? 0 ,??ADC 为锐角 5

????1 分 ????2 分

又? ?ADC ? ?B ? ?BAD ,??B 亦为锐角

-6-

2 从而 cos B ? 1 ? sin B ?

4 12 2 , sin ?ADC ? 1 ? cos ?ADC ? ????4 分 5 13

?sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B)
1 ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

4 12 3 5 ? ? ? 5 13 5 13 33 1? 65 AD BD ? 又? sin B sin ?BAD
1?

????8 分 ????10 分

5 sin B ? AD ? BD ? ? 33 ? 13 ? 25 33 sin ?BAD 65

????12 分

S
19. (本小题满分 12 分) 证明: (1)取 AC 的中点 O ,连接 OS 、 OB , ????1 分

C O D M B

? SA ? SC ,? AC ? OS
????2 分

? BA ? BC ,? AC ? OB
????3 分 又

A

OS 、 OB ? 面 OSB , OS ? OB ? O
????4 分

? AC ? 面 OSB ? AC ? SB
(2)方法一: 平面 SAC ? 平面 ABC , SO ? AC

????5 分 ????6 分

由面面垂直性质定理,有 SO ? 面 ABC 过 O 作 OD ? CM 于 D ,连接 SD

????8 分

由三垂线定理,有 SD ? CM ,从而 ?SDO 为二面角 N ? CM ? B 的平面角 ????10 分 又 SO ? 2 2 , OD ? 1 ,? SD ? 3

-7-

? 二面角 N ? CM ? B 的平面角的余弦值为
方法二: 平面 SAC ? 平面 ABC , SO ? AC 由面面垂直性质定理,有 SO ? 面 ABC 从而 OA 、 OB 、 OS 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系

1 3

????12 分

z S
????8 分

C O A x M B y

易知 S 、C 、 M 的坐标分别为 (0,0, 2 2) 、(?2, 0, 0) 、

(1, 3,0) ,面 ACM 的一个法向量为 (0, 0,1)
????9 分

? 设 n( x, y, z ) 为面 SCM 的一个法向量 ? ??? ? ? ?n ? CS ? 2 x ? 2 2 z ? 0 则 ? ? ???? , ? n ? CM ? x ? 3 y ? 2 2 z ? 0 ? ? ? 取 z ? ?1 ,则 n ? ( 2, 6, ?1)
故二面角 N ? CM ? B 的平面角的余弦值为

????11 分

(0, 0,1) ? ( 2, 6, ?1) 1 ? 3 1? 2 ? 6 ? 1

????12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)重心 G 的坐标为 (

m n , ); 3 3

????1 分

(2)设外心 O ' 、垂心 H 的坐标分别为 (0, y1 ) 、 (m, y2 ) , BC 中点为 D

c ? ? m? ? ????? ??? 2 ? (m ? c ) ? ( n ? y ) ? n ? 0 ?O ' D ? BC ? 1 则? 2 2 2 ? ? ???? ??? c c ? AH ? BC ? (m ? ) ? (m ? ) ? y2 ? n ? 0 ? 2 2

????3 分

? 4m 2 ? 4n 2 ? c 2 y ? ? ? 1 8n ?? 2 2 ? y ? ?4m ? c 2 ? 4n ?

????5 分

-8-

故外心 O ' 的坐标为 (0,

4m 2 ? 4n 2 ? c 2 ?4m2 ? c 2 ) ,垂心 H 的坐标为 (m, ) ; ??7 分 8n 4n

(3) GH ? (

????

????? m ?12m2 ? 4n 2 ? 3c 2 2m ?12m2 ? 4n 2 ? 3c 2 , ) , O 'G ? ( , ) 3 12n 3 24n
????10 分 ????12 分



???? ????? GH ? 2O ' G

故 G 、 H 、 O ' 三点共线,且满足 GH ? 2 O ' G .

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)数列 ?an ? 的公差 d ?

a3 ? a1 6 ? 2 ? ?2 3 ?1 3 ?1

????1 分 ????2 分

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n
另一方面,数列 a1 , a3 , an1 , an2 ,?, ank 的公比 q ?

a3 6 ? ?3 a1 2

????3 分

?ank ? a1 ? 3(k ?2)?1 ? 2 ? 3(k ?2)?1 ? 2 ? nk
从而 nk ? 3k ?1 (2)等差数列 ?an ? 中, S n ? na1 ?

????5 分 ????6 分

n d d (n ? 1)d ? ? n 2 ? (2 ? ) ? n ????7 分 2 2 2 d d d d 2 2 从而 S3n ? S 2 n ? [ ? (3n) ? (2 ? ) ? 3n] ? [ ? (2n) ? (2 ? ) ? 2n] 2 2 2 2 5d 2 d ? n ? (2 ? ) ? n 11 ? ????9 分 2 2 5d 2 d d d ? n ? (2 ? ) ? n ? ?[ ? n 2 ? (2 ? ) ? n] 令 S3n ? S2n ? ? Sn ,则 2 2 2 2

d ? 5d ??? ? ?d ? 4 ? 2 2 故? ?? ? 2 ? d ? ? (2 ? d ) ?? ? 5 ? ? 2 2
即是说 d ? 4 满足题意,且定常数为 5 .

????11 分

????12 分

22. (本小题满分 12 分) (题类 A) 解:假设存在符合条件的等腰直角三角形,则两条直角边的斜率均存在,且为一正一负,不

-9-

妨设其中正的斜率为 k (k ? 0) 此时直角边的直线方程为 y ? kx ? 1 ????1 分

联立椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,有 x2 ? a2 (kx ? 1)2 ? a2 a2
????2 分

即 (a2 k 2 ? 1) ? x2 ? 2a2 k ? x ? 0

? x ? 0或x ? ?

2a 2 k a2k 2 ? 1

????3 分

从而该直角边长为

2a2 k 2a2 k 2 ? 1 ? k ? ? 1? k 2 a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1

????4 分

1 2a 2 ( ? ) 1 2 2a 2 k 同理可得另一条直角边长为 ? 1 ? (? ) ? 2 ? k 2 ?1 2 1 k a ?k a 2 (? ) 2 ? 1 k


??6 分

2a 2 ? k 2 ? 1 ,则 k (a2 ? k 2 ) ? a2k 2 ? 1 2 2 a ?k
k 3 ?a 2 k 2 ? a 2 k ? 1 ? 0 , (k ?1)[k 2 ? (1 ? a2 )k 2 ? 1] ? 0



?
考虑

k ? 1 或 k 2 ? (1 ? a2 )k 2 ? 1 ? 0

????8 分

,必须 f (k ) ? k 2 ? (1 ? a2 )k 2 ? 1,若其有非1 的正的零点(两零点之积为1 )
2 2 ? ??k ? (1 ? a ) ? 4 ? 0 ?a? 3 ? 2 1 ? a ? 0 ? ?

????10 分

综合:

1 ? a ? 3 时,能作出 1 个符合条件的三角形; a ? 3 时,能作出 3 个符合条件的三角形.
????12 分

(题类 B) 解: (1) f '( x) ? 从而 故

1 x ?1 ? ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

????1 分 ????2 分 ????3 分

上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减 f ( x) 在 (?1, 0)

f ( x)max ? f (0) ? 0

- 10 -

(2)下面用两种方法分别证明不等式的左、右两边

a?b )?0 2 a?b a?b a?b a ln a ? b ln b ? 2 ? ln ? (a ? b) ln 即要证 2 2 2 a?x h1 ( x) ? a ln a ? x ln x ? (a ? x) ln ( x ? a ? 0) 令 2 1 a?x 1 1 则 h1' ( x) ? ln x ? x ? ? [ln ? ? ? (a ? x)] a?x 2 x 2 2 2x a?x ? ln ?0 11 ? ln a?x a?x
左边:要证

g (a) ? g (b) ? 2 g (

????4 分 ????5 分

即是说 从而

h1 ( x) 在 (a, ??) 上单调递增
b ? a 时, a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln
a?b 2

????6 分

故不等式左边成立; 右边:要证 即要证 即 即 令 即要证 即 令 则 11 ? ln 即是说 从而

????7 分

a?b ) ? (b ? a) ln 2 2 a?b a?b a ln a ? b ln b ? 2 ? ln ? (b ? a ) ln 2 2 2 g (a) ? g (b) ? 2 g (
a ln a ? b ln b ? (a ? b)[ln(a ? b) ? ln 2] ? (b ? a) ln 2 ? 0 a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln(a ? b) ? 2a ln 2 ? 0
????8 分

x?

b ,有 b ? ax(a ? 0 , x ? 1) a

a ln a ? ax ln(ax) ? (a ? ax) ln(a ? ax) ? 2a ln 2 ? 0 x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 2ln 2 ? 0
????9 分 ????10 分

h2 ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? 2ln 2( x ? 1)
1 1 x ' h2 ( x) ? ln x ? ? x ? [ln(1 ? x) ? ? (1 ? x)] ? ln x 1? x 1? x x ? ln1 ? 0 1? x

h2 ( x) 在 (1, ??) 上单调递增
x ? 1 时, x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? 2ln 2 ? h2 (1) ? 0

????11 分

故不等式右边成立.

????12 分

- 11 -


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