2014年高一数学必修5考试题(4)


一,选择题(10 个小题,共 50 分) 1. 若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A 2. A. 1 B. cos A C. tan A D.

)

1 tan A
)

2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是(
B.

1 2 3. 在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于(

?1

C. ? 1

D.



A. 1: 2 : 3

B. 3 : 2 :1

C. 1: 3 : 2

D. 2 : 3 :1 )

4.在 ?ABC 中, B ? 60 , b2 ? ac ,则 ?ABC 一定是( A.锐角三角形 B。钝角三角形

C。腰三角形 D。 等边三角形 )

5.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 12 , a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,则 a7 ? a8 ? a9 等于(

A. ?12 B。 6 C。 24 D。 0 6.在 ?ABC 中,下列关系式不一定成立的是( ) A. a sin B ? b sin A B. a ? b cos C ? c cos B C. a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C D. b ? c sin A ? a sin C 7.在等差数列 {an } 中, a3 , a8 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个根,则 S10 是(
2

)

A. 15

B. 30

C. 50

D. 15 ? 12 29 ) C。 b ? 3, ac ? ?9 ) D。 b ? ?3, ac ? ?9

8.如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,则( A. b ? 3, ac ? 9 B。 b ? ?3, ac ? 9

9.等差数列 ?an ? 中,若 S p ? Sr , 则 S p?r 的值为( A. p B。 r C。0 f ( x ) 10.函数 由下表定义: D。 p ? r 2 1 3 3 ,则 a2010 ? ( D。5

x
f ( x)

1 4

4 5 )

5 2

若 a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) , n ? 1, 2,3, A.1 B。2 C。4 二,填空题(4 个小题,共 20 分)

11.在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 12. 等差数列 的第 3,7,10 项成等比数列,则这个等比数列的公比 q=

13.若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则 14.在计算“

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N ? ) ”时,某同学学到了如下一种方法: 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1

先改写第 k 项: 由此得

1 1 1 , ? ? k (k ? 1) k k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, , ? ? 1? 2 1 2 2 ? 3 2 3 n(n ? 1) n n ? 1

相加,得

1 1 1 1 n ? ??? ? 1? ? . 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 1 , ? ? ??? ? (n ? N ? ) ” 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

类比上述方法,请你计算“

其结果为 . 三.解答题(6 个小题,共 80 分) 15. (12 分)在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

16. (12 分)成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数。

17. (14 分)如图,从气球 A 测得正前方的河流上的桥梁两端 B、C 的俯角 ? 、 ? , 如果这时气球的高度是 h,求桥梁 BC 的长度。

18. (14 分)设等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,若 S3 ? S6 ? 2 S9 ,求数列的公比

q
19. (14 分)设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a2 ? 2 , a3 a4 a5 ? 29 . (1)求首项 a1 和公比 q 的值; (2)试证明数列 {log m an } (m ? 0且m ? 1) 为等差数列.

20. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 1,an,Sn 等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{

m?4 n * * 成立, }的前 n 项和,若对于 一切n ? N , 总有Tn ? 其中 m∈N ,求 m 的最小值. 3 an
2

参考答案
一,选择题:ACCDC,DABCA 二,填空题:11。对

sin A ? sin B, 则

a b ? ?a?b? A? B 2R 2R

12.

或1

13。

2 39 3

1 1 3 S?ABC ? bc sin A ? c ? ? 3, c ? 4, a 2 ? 13, a ? 13 2 2 2

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2
三.解答题 15.证明:将 cos B ?

n 2 ? 3n 14。 4(n ? 1)(n ? 2)

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cos A ? 代入右边 2ac 2bc
6 分?

3分

得右边 ? c(

a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 2a 2 ? 2b 2 ? )? 2abc 2abc 2ab
12 分 3分

a 2 ? b2 a b ? ? ? 左边, ab b a

10 分



a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

16.解:设四数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d , 则 4a ? 26, a ? d ? 40
2 2

13 3 3 ,d ? 或? , 7分 2 2 2 3 3 当 d ? 时,四数为 2,5,8,11 10 分 当 d ? ? 时,四数为 11,8,5, 2 2 2 17.解:过 A 作垂线 AD 交 CB 于 D,则在 Rt ?ADB 中, h ?ABD ? ? , AB ? 。 4分 sin ?
即a ? 又在 ?ABC 中, ?C ? ? , ?BAC ? ? ? ? ,

12 分

由正弦定理,得

BC AB ? sin(? ? ? ) sin ?

10 分

? BC ?

AB ? sin(? ? ? ) h ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin ? ? sin ?

14 分

18.解: (1)当 q ? 1 时, (2)当 q ? 1 时,

S3 ? S6 ? 9a1 ? 18a1 ? 2S9 S3 ? S6 ? 2S9

? q ? 1 不成立

3分

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) ? ? ? ? q3 ? q6 ? 2q9 1? q 1? q 1? q

6分

?1 ? q3 ? 2q6

8分
3

?2(q3 )2 ? q3 ?1 ? 0 ? (2q3 ? 1)(q3 ?1) ? 0
1 1 q ? 1 ,? 2q3 ? 1 ? 0 ? q3 ? ? ,? q ? 3 ? 2 2
19. 解: (1)

11 分

14 分

a3a4 a5 ? (a4 )3 ? 29 ? a4 ? 23 ? 8 (a4 ? 0) ,

3分



a4 ? q 2 ? 4 ? q ? 2 , ??(5 分) 又由 a4 ? a1q3 ,即 8 ? a1 23 ,解得 a1 ? 1 . a2
9分 12 分 14 分

7分

(2)证明:由(1)知, an ? 2n?1 . 设 bn ? log m an ,则 bn ? logm 2n?1 ? (n ? 1)log m 2 . ∵ bn?1 ? bn ? n logm 2 ? (n ? 1)logm 2 ? log m 2 =常数,

∴ 数列 {bn } 为等差数列,即数列 {log m an} ( m ? 0且m ? 1) 为等差数列. 20.解: (Ⅰ)由题意知 2an ? S n ? 1, 当 n=1 时,2a1=a1+1,∴a1=1, 当 n≥2 时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 , 整理得 3分

an ? 2, a n ?1
5分 6分

∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,

? an ? a1 ? 2 n?1 ? 1? 2 n?1 ? 2 n?1
(Ⅱ) Tn ?

1 2 n ? ? ... ? a1 a2 an

Tn ? 1 ?

2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2

8分

两式相减

1 1 1 1 1 n Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 10 分 1(1 ? ( ) n ) n 2?n 2 ? ? n ? 2? n 1 2 2 1? 2 2?n ? Tn ? 4 ? n ?1 ? 4 11 分 2 m?4 m?4 * 成立,即只须 ? 4,即m ? 16. ∵对于 一切n ? N , 有Tn ? 3 3
∴m 的最小值为 16 14 分
4


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