2.2 平面向量的线性运算


2.2平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及几何意义 2.2.2 向量减法运算及几何意义 2.2.3 向量数乘运算及几何意义

从运动的合成看向量运算
在大陆和台湾没有直航之前,台湾同胞要到上海探亲,得 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,那么这两次 位移之和是什么?

???? ???? ???? 位移 A B + B C = A C
上海 台北 香港 A B

C

从力的合成看向量运算
橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点;同时橡皮 条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系?

E
O

F1+F2=F

E

O

F

F

F是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线

一、向量的加法运算
运动的合成 力的合成
???? ???? ???? AB + BC = AC

C

A
B

F1 + F2 = F F2

F1
F

数的加法启发我们,从运算的角度看, AC可以认为 是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的

合成可以看作向量的加法。
向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量的加法法则:三角形法则、平行四边形法则

1.向量加法法则
? ? ? ? 已知向量a , b , 求作向量a ? b

b
a


作法:

a

B
b


b

a

A C

a?b

a?b

C

B
作法: 1.在平面内任取一点O 2.作OA ? a , OB ? b 则向量OC ? a ? b

1.在平面内任取一点 A 2.作 AB ? a , BC ? b 则向量 AC ? a ? b

位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型

力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型

2.向量加法法则总结与拓展
向量加法的三角形法则: 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 向量加法的平行四边形法则: 1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 三角形法则推广为多边形法则:
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 多个向量相加, 如:AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF ,

这时也必须“首尾相连”.

3. 当向量共线时,如何相加?

(1)同向

(2)反向

a

a

b
A
B C

b
B C A

???? ? ? AC = a + b
规定: ? 0 ? 0 ? a ? a a

???? ? ? AC = a + b

4. 向量的加法具备交换律和结合律。
数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有 a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) 向量的加法具备吗?你能否画图解释?

向量加法满足交换律和结合律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? a (a+b)+c ? a ? (b ? c) 以上两个运算律可以推广到任意多个向量.

练习:化简

(1 ) A B ? C D ? BC ? _ _ _ _ _ _ _ _
( 2 ) M A ? BN ? A C ? C B ? _ _ _ _ _ _ _ _

?

? ?

?

???? ???? ??? ???? ? (3) A B ? B D ? C A ? D C ? _____

?

?

1个 下列命题中, 正确的个数有 _________ .
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,那么a ? b的方向 必和a, b之一的方向相同; ( 2)△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ( 4)若a, b均为非零向量,则 a ? b 与 a ? b 相等; (5)若向量a, b反向,且 a ? b , 则a ? b与a的方向相同.

(3)若 AB ? BC ? CA ? 0,则A, B , C为一个三角形的三顶点;

二、向量的减法运算
1.相反向量 类比实数的相反数的概念,定义相反向量: 与a长度相等,方向相反的向量, 叫做a的相反向 量,记作-a ; -a与a互为相反向量 规定:零向量的相反向量仍是零向量 所以: 1、-(-a)=a;2、a+(-a)=(-a)+a=0; 3、a=-b,b=-a,a+b=0 向量的减法:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于 加上这个向量的相反向量

2.向量减法法则

a
b
?b

a ? (?b)

a
b

a ?b

a

O

a
a ?b

b b
B

A

O

a
b?a

A

b
B

作法:在平面内任取一点O , 作OA ? a , OB ? b, 则BA ? a ? b.
要点:1.平移到同一起点;2.指向被减向量.

3. 当向量共线时,如何相减? (1)同向
b
a
b

a
a ?b

(2)反向

a
b

a ?b

4.探究:向量的三角形不等式

问题一: ? b 与a ? b 、 ? b 的大小关系如何? a a

a ? b ? a?b ? a ? b

问题二:上述不等式等号何时成立?
问题三:对于实数a, b,是否有类似的结论?

5.用向量表示平行四边形法则的两条对角线

D
a

C
b

AC ? a ? b BD ? AD ? AB ? a ? b

A

B

注意:向量加减法与平行四边形形状

当非零不共线向量a , b满足什么条件时,有 (1)a ? b与a ? b互相垂直?? a ? b ? 菱形 ( 2) a ? b ? a ? b ?

? a ? b ? 矩形

练习:

1.随意画三个互不共线的向量a , b, c , 作出a ? b ? c和a ? b ? c 2.正方形ABCD边长为1,设 AB ? a , BC ? b, AC ? c , (1)求作向量a ? b ? c,并计算 a ? b ? c ( 2)求作向量a ? b ? c,并计算 a ? b ? c 3.化简:) AB ? AD ? DC ; ( 2) AB ? CD ? AC ? BD (1 (3) AB ? MB ? BO ? OM

?

?

?

??

?

三、向量的数乘运算

已知非零向量a , 作出a ? a ? a和( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ), 你能说明它们的几何意 义吗?
a a a -a a -a -a

O

A

B

C

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? ( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ) 记作 ? 3a

3a与a的方向相同 3a ? 3 a

? 3a与a的方向相反 ? 3a ? 3 a

1.向量的数乘运算的定义
实数? 与向量a的积是一个向量,这种 运算叫向量的数乘 . 记作? a,它的长度和方向规定 如下: (1) ? a ? ? a ; ( 2)当? ? 0时,? a的方向与a的方向相同; 当? ? 0时,? a的方向与a的方向相反; 当? ? 0时,? a ? 0.
几何意义: (1) ? 可视为将向量a的长度 a 伸长或缩短; ( 2)? 的符号表示是否改变向 量a的方向.

2.数乘向量运算律
? ,?是实数,

数乘结合律 第一分配律 第二分配律

(1)? ( ? a ) ? ( ?? )a; ( 2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? (a ? b ) ? ? a ? ? b.

1.如何证明? 2.如何解释运算 律的几何意义, 尤其是(3)?

向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
对于任意向量a , b,以及任意实数? , ?1 , ?2, 恒有?(?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ?? 2 b

(1) 1.已知a , b是两个非零向量, 下列说法正确的有 _____.

2 (1) ? 2a的方向与5a的方向相反,且 ? 2a的模是 5a的模的 ; 5 ( 2)a ? b与 ? b ? a ( )是一对相反向量; (3)若a , b不共线,则? a (? ? 0)与b不共线;
1个(7)正确 2.下列说法正确的个数是 _______

(1)若? a ? 0,则? ? 0; )若? ? 0,则? a ? 0; (2 (3)若非零向量a , b满足 a ? b ? a ? b , ?? ? 0, 则? a与? b同向; ( 4)对于实数m 和向量a , b,若m a ? m b, 则a ? b; (5)对于实数m , n和向量a,若m a ? na , 则m ? n; (6) ? a ? ? a; (7 )? ( ? ? a ) ? ?? ? ? a .

补充:共线定理
对于向量a和b,以及实数? 问题1:如果b ? ? a,那么向量a和b是否共线? 问题 2:如果向量a和b共线,那么是否存在一个 实数,使得b ? ? a ?

向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数?,使得b ? ? a 即a(a ? 0) // b ? 存在唯一? ? R,使得b ? ? a
定理的应用: 证明 三点共线: AB ? ? BC ? A, B, C三点共线 ? AB ? ? CD ? AB // CD ? 证明 向量共线 ? ? AB // CD 证明 两直线平行: AB, CD不在同一条直线上? ?

问题:已知OA和OB不共线, ? t AB( t ? R ), AC 试用OA和OB表示OC .
1 特例:对于OC ? (1 ? t )OA ? t OB ,当t ? 时,你知道其几何意义吗? 2
OA ? OB 中点公式向量表示法:C为AB中点,则OC ? 2

一般地:对于OC ? ? OA ? ? OB , A, B , C三点共线与? , ?的值有什么关系?

A, B , C三点共线 ? 存在实数? , ?,且? ? ? ? 1, 使得OC ? ? OA ? ? OB

问题:A, B , C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若 GA ? GB ? GC ? 0,则G在三角形内的什么位置?

G是△ABC重心 ? GA ? GB ? GC ? 0(G在△ABC内)
OA ? OB 类比:C为线段AB中点,则OC ? 2 G为△ABC的重心,则OG与OA, OB , OC 有什么关系?

G是△ABC重心, O为平面内不同于G的任意一点, 1 则OG ? OA ? OB ? OC 3

?

?

练习:证明几何问题
1.用向量证明:三角形两 边中点的连线平行于第 三边且 等于第三边的一半. [类似题 ] ABCD为一个四边形, E , F , G , H分别为BD, AB, AC , CD的中点,求证:四边形 EFGH为平行四边形. 2.已知D , E为△ABC的边AB, AC的中点,延长 CD至M使 DM ? CD,延长BE至N使BE ? EN,求证:M , A, N三点共线. 1 [类似题 ]平行四边形OACB中,BD ? BC,OD与BA相交于E , 3 1 求证:BE ? BA. 4


相关文档

更多相关文档

2平面向量的线性运算 加法
2.2平面向量的线性运算
平面向量的线性运算2
2.2.12平面向量的线性运算doc
数学必修四课件 2.2.2 平面向量的线性运算
课件-2.2 平面向量的线性运算(2)(配人教新课标A版)
必修4-2.2平面向量的线性运算
4.2平面向量线性运算的坐标表示
2.4.1--平面向量的坐标表示-2.4.2-平面向量线性运算的坐标表示
高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算学案苏教版4讲解
2.2平面向量的线性运算
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算
2.2平面向量的线性运算
平面向量的线性运算
电脑版