简单的三角恒等变换


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第4讲

简单的三角恒等变换
★知 识 梳理

1. 升降幂公式:

1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

2 ; 1 ? cos ? ? 2sin

?
2

2. 同角正余弦化积公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中 sin ? ?

b a 2 ? b2

; cos ? =

a a 2 ? b2

★重 难 点 突 破 1.重点:掌握利用三角恒等变换处理三角式化简,求值与证明等问题。 2.难点:确定三角变换的方向及三角公式的合理运用. 3.重难点:通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异,建立联系,使问题获解。 (1)三角变换的基本思路是“变角、变名、变式” 问题 1: (07 江苏)若 cos(? ? ? ) ?

1 3 tan , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? ? ? _____. 5 5

点拨:已知条件中的角是 ? ? ? , ? ? ? ,待求式中的角是 ? , ? ,故只需将条件展开,再由 同角关系式来处理。由 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

1 5

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 5

2 ? ?cos? cos ? ? 5 ? 求出 ? ?sin ? sin ? ? 1 ? 5 ?

? tan? tan ? ?

sin ? sin ? 1 ? cos? cos ? 2

(2) 处理三角式的化简、 求值和证明问题的基本原则是 “见平方就降次, 见切割就化弦, 充分利用同角关系式,关注符号定象限,象限定符号的特征” 。 问题 2:已知 tan ? ? cot ? ?

5 π ?π π? , ? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值. 2 4 ?4 2?

点拨:本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能 力。先将切化弦,再寻找角之间的关系。 由 tan ? ? cot ? ? 因为 ? ? (

? ?

5 sin ? cos ? 5 2 5 4 ,得 ? ? ,则 ? ,sin 2? ? . 2 cos ? sin ? 2 sin ? 2 5

, ), 所以 2? ? ( , ? ), 4 2 2

?

3 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? , 5

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? ? ? 4 2 3 2 2 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
★热 点 考 点 题 型 探 析 考点 1: 三角求值题的处理 题型 1.给角求值问题 [例 1] (山东省聊城一中 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)

2 cos10? ? sin 20? = . cos 20? 【解题思路】要注意到 10? ? 30? ? 20? ,然后用公式展开.
不查表求值 【解析】原式 =

2cos(30? ? 20?) ? sin 20? 3 cos 20? ? ? 3. cos 20? cos 20?

【名师指引】给角求值问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注 意公式的顺用、逆用和变形用. 【新题导练】 1. (tan5°-cot5°)·

sin 20? 1 ? cos 20?

解:原式= 2 cot 10? tan 10? ? 2

3 ? sin 700 2.(08 海南省) =() 2 ? cos 2 100
A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

【解析】

3 ? sin 70? 3 ? cos 20? 3 ? (2cos 2 20? ? 1) ? ? ? 2 ,选 C。 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10?

答案:C 题型 2 给式求值 [例 2] (惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题)已知 sin ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; (2)求

x

x

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

【解题思路】第(1)问注意到 x ? 2 ?

x ,第(2)问对三角式化为 x 的表达式. 2

解析: (1)由 sin

x x x ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 , 2 2 2
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x 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan2 2 2 tan
(2) 原式=

cos2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

?

cos x ? sin x 3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . sin x 4 4

【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手. 例 3. (福建省师大附中 2008 年高三上期期末考试) 设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ? 求 tan ? 的值。 【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos(? ? ? ) ?
? ?

?

?

?

?

4 4 , tan ? ? , 5 3

4 5

4 5 又 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0 3 ?sin(? -? )=5 3 ? tan(? -? )=4 4 又 ? tan? = 3 3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 7 4 3 ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ( ? 3 ) ? 4 24 4 3

【名师指引】 三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三 角变换 【新题导练】 1. 已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? )的值; 4
3 4

(Ⅱ)设 ? ∈(0,

? ? ),f ( )= 1 ,求 cos2 ? 的值.
2
5

解析: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f(

? 1 1 24 )=sinα +cosα = ,∴1+sin2α = , sin2α = ? , 25 5 25 2
3 3 7 ∵α ∈(0, π )∴2α ∈(π , π ) ∴cos2α <0. 4 2 25
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? ? ? )=sin +cos =1 4 2 2

∴cos2α = ?

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故 cos2α = ?

7 25

2. 已知向量 a=(3sinα ,cosα ),b=(2sinα , 5sinα -4cosα ),α ∈ (
3π , ),且 a⊥b. 求 tanα 的值; 2π 2

解: (1)∵a⊥b,∴a·b=0.而 a=(3sinα ,cosα ) b=(2sinα , 5sinα -4cosα ), , 2 2 故 a·b=6sin α +5sinα cosα -4cos α =0.

4 1 ,或 tanα = . 3 2 1 4 3π ∵α ∈( , ) .∴tanα =- . 2π ,tanα <0,故 tanα = (舍去) 2 2 3
由于 cosα ≠0,∴6tan α +5tanα -4 =0.解之,得 tanα =-
2

题型 3.给式求角 例 4.(广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)已知:向量 a ? ( 3, ?1) ,

?

? ? ? b ? (sin 2x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b ,若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ?
【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系,再进一步处理。 解析:∵ f ( x) ? a ? b = 3 sin 2 x ? cos 2 x 由 f ( x) ? 0 得 3sin 2x ? cos 2x ? 0 即 tan 2 x ? ∵0 ? x ??,

,求 x 的值;

? ?

3 3
∴ 2x ?

? 0 ? 2 x ? 2?

?
6

, 或 2x ?

7? ∴x? 或 12 12
例 5.(2007·四川 )已知 cos ? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? .

?

7? , 6

【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值,再精确估计角的范围再定角。

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

【解题思路】 由同角关系求出 tan ? 再求 tan 2? ; ? ? ? ? ? 又 ? ? ? [解析](Ⅰ)由 cos ? ?

? 结合角 ? 的范围定角。

2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2

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又∵ cos ?? ? ? ? ?

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

2

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 3 7 14 7 14 2
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值 求角以及计算能力。 【新题导练】 3.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C( 3 cos? ,3 sin ? ).若 ? ? (?? ,0) , 且 AC ? BC ,求角 ? 的大小;
2 2 解析: (Ⅰ)由已知得: (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?

9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2

则 sin ? ? cos ?

因为 ? ? (?? ,0)

?? ? ?

3? 4

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? 解析: 1 ? ∴

tan A 2c ? ,求角 A; tan B b

tan A 2c sin A cos B 2sin C sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ,即 , ? ?1? ? ? tan B b sin B cos A sin B sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C 1 π ,∴ cos A ? .∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? . ? sin B cos A sin B 3 2

考点 2: 三角式的化简与证明 题型 1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值. 例1. 化简

2 tan( ? ? ) sin 2 ( ? ? ) 4 4
【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求:①函数种类最少;②项数最少;③函数次 数最低;④能求值的求出值;⑤尽量使分母不含三角函数;⑥尽量使分母不含根式. [解析]原式=

?

2 cos 2 ? ? 1

?

? ? ? 2sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 2sin( ? ? ) 2 ? 4 4 4 ? cos ( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) 4

2 cos 2 ? ? 1

=

2 cos 2 ? ? 1

2 cos 2 ? ? 1 cos 2? ? ?1 = cos 2? cos 2?
【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项.

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3x x 2sinx 例 2:证明 tan -tan = 2 2 cosx+cos2x 3x x 3x x 【解题思路】细心观察已知等式中的角,发现它们有隐含关系: + =2x, - =x 2 2 2 2

? 2 -2 =x

3x

x

3x x 3x x ∴sinx=sin cos -cos sin 2 2 2 2 ②



3x x 又 cosx+cos2x=2cos cos 2 2 ①÷②即得: 3x x sin sin 2 2 2sinx 3x x = - =tan -tan . cosx+cos2x 3x x 2 2 cos cos 2 2 【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 【新题导练】 5.

2sin 2? cos 2 ? ? =( 1 ? cos 2? cos 2?



A、 tan ?

B、 tan 2?

C、1

D、

1 2

B[解析]

2sin 2? cos 2 ? 2 ? 2sin ? cos ? cos 2 ? 2 tan ? ? ? ? ? ? tan 2? 2 2 2 1 ? cos 2? cos 2? 1 ? 2cos ? ? 1 cos ? ? sin ? 1 ? tan 2 ?
2

6.求证: 2sin 2? ? 3sin4? ? 证明:左边= 2sin 2? ? 3sin4? 2

4 tan 2? (1 ? tan 2 2? ) ( .= 2sin 4? ? 30?) sin8? (1+ tan 2 2? )
2 sin 4? cos 4? = (2sin2 2? ?1) ? 3sin 4? sin8?

= 3 sin 4? ? cos 4? = 2(

3 1 ( = =右边 sin 4? ? cos 4?) 2sin 4? ? 30?) 2 2
1 ? tan 2 2? 2 tan 2? = cos 4? , = sin4? 可简化过程. 2 1+ tan 2? 1+ tan 2 2?

[方法技巧] 利用万能公式得出

★抢 分 频 道
基础巩固训练 1 已知 x ? ( ? A
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?
2
B
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, 0) , cos x ?
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4 ,则 tan 2 x ? ( 5
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7 24

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?

7 24

C

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D

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?

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解析:D

x ? (?

?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7
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2.( 汕头金山中学 2008~2009 学年度上学期高三期末考试)

4 ) ,且 cos ? ? ? ,则 sin 2? 等于( ) 2 5 7 24 7 24 C .? A. B. D .? 25 25 25 25 4 ? 3 24 解析:由 cos ? ? ? 且 ? ? (?? , ? ) 知 sin ? ? ? 故 sin 2? ? 2sin ? cos ? = 选B 5 2 5 25
已知 ? ? (?? , ? 3. (广东深圳外国语学校 2008—2009 学年高三第二次月考) 已知 sin ? ? 的值为( A. ? )

?

3 ?? ? , s ? ?? ? 则n i 5 ?2 ?

4 5

B. ?

4 5

C.

4 5

D. ?

3 5

解析: sin ?

4 ?? ? ? ? ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? = ? 选 A 5 ?2 ?
0 0 0 0

4.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? 则 a, b, c 大小关系( A C
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6 , 2



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a?b?c c?b?a
C.

B D

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b?a?c a?c?b

5 ? 4
解析:D

7 ? 4

D.

5 7 ?或 ? 4 4

a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
0 0 0 0
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5.求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________ . tan 60 ? tan(20 ? 40 ) ?
0 0 0

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解析: 3

tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
5. 设向量 a ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , b ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) ,且 a ? b ? ( , ) . (1)求 tan ? ;

?

?

?

?

4 3 5 5

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ?1

2 sin(? ? ) 4
解: (1) a ? b
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?



? ?

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? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? )

4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos ? cos ? ? , 2sin ? sin ? ? 5 5 3 ∴ tan ? ? 4

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? . cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7

6. ( 广 东 省 四 校 联 合 体 08 年 第 一 次 联 考 ) 设 函 数 f ( x) ? a ? b , 其 中 向 量

? ?

? ? ? ? ?? a ? (2cos x,1), b ? (cos x, 3sin 2x), x ? R ,若函数 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? ?? , ? , 求x; ? 3 3?
解: (1) a ? b ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
2

?
6

)

?1 ? 2 sin(2 x ? ? x ? [? ? 2x ?

?
6

) ? 1? 3 ? 2x ?

即 sin(2 x ? ? [?

?
6

)?? 3

? ?

, ] 3 3 ??

?
6

? 5?

, ] 3 6

?
6

?
3

得x ? ?

?
4
综合拔高训练

7. (中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试) 已知向量 a ? (cos ?, sin ?) , b ? (cos ? , sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ) 求 cos(? ? ? ) 的值;

?

?

? ?

2 5 . 5

5 ? ? ? 0 , 且 sin ? ? ? , 求 sin ? 2 2 13 ? ? 解:(Ⅰ)?a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , ? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ? .
(Ⅱ) 若 0 ? ? ? , ?

?

?

? ? 2 5 ? a ?b ? , 5


?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 cos ?? ? ? ? ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

4 , 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? ,

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3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , 13 13 ? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? ?

? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? . 5 13 5 ? 13 ? 65
1 , 4 a ? ( , ), 4 2

8. 已知

sin(
2

?
4

? 2a) ? sin(

?
4

? 2a ) ?

? ?

求 2 sin a ? tana ? cot a ? 1 的值. 解: 由 sin( =

?
4

? 2a ) ? sin(

?
4

? 2a ) = sin(

?
4

? 2a) ? cos(

?
4

? 2a )

1 ? 1 1 1 ? ? 5? sin( ? 4a) ? cos 4a ? , 得 cos 4a ? 又 a ? ( , ) ,所以 a ? . 2 2 2 4 2. 4 2 12 sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 cos 2? 2 ? ? cos 2? ? 于是 2 sin ? ? tan? ? cot? ? 1 ? ? cos 2? ? sin ? cos? sin 2? 5? 5? 3 5 ? 2 cot ) = ? (? == ? (cos ? 2 3) ? 3 6 6 2 2
8 π 9. 已 知 向 量 → = (cosx,sinx), → = ( 2 , 2 ) , 若 → · → = , 且 < x < a b a b 5 4

8 8 ? 4 ,? 2 cos x ? 2 sin x ? ,即 cos( x ? ) ? 5 5 4 5 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ∵ ? x ? ,? 0 ? x ? ? , sin( x ? ) ? , tan( x ? ) ? 4 2 4 4 4 5 4 4 ? ? 4 tan( x ? ) ? ? cot( x ? ) ? ? 4 4 3 ? ? 7 sin 2 x ? cos( 2 x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? 2 4 25 sin 2 x(1 ? tan x) ? 7 4 28 ? sin 2 x ? tan( x ? ) ? ? (? ) ? ? . ∴ 1 ? tan x 4 25 3 75
解:? a ? b ?
? ?

sin 2 x(1 ? tan x) π ,求 的值. 2 1 ? tan x

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