先猜后证,探求解析几何中点的存在性问题


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辅教 导学 ?  

数 学 通 讯— — 2 O 1 3年 第 9期 ( 上半月)  

1 5  

先 猜 后证 , 探 求 解 析 几何 中 点 的存 在 性 问题 
黄汉 桥  
( 湖 北 省 襄 阳市 第 一 中学 , 4 4 1 0 0 0 )  

解 析几 何 中 点 的 存 在 性 问题 备 受 高 考 和 各  级、 各类 考 试 的 喜 爱 , 这 类 问题 灵 活 多变 , 对 数 学  运 算 能力 要 求 较 高 , 笔者通过“ 先 猜 后证 ”将 问题  化 繁为 简 , 探 求解 析几 何 中点 的存 在性 问题 , 旨在 
探 索解 题 方 法 , 总结 解 题 规 律 , 激活解题思维 , 下  面 以几 道 题 为例进 行说 明.  
一  

故以 P Q为 直径 的圆 的方程 为 ( z一兰 ) ( z 一”  
7 / "  

+4 m) +(  +   ) (  4  4 )一 0 , 化简并 整理得 : z 2   +( 4 m- -  )  +  ( Y 42 ) +(  42 ) 2 =0 恒 
7l  

, ‘  

成立, 故 X一 0 , Y一一2 , 即存在 定点 M ( 0 , 一2 ) 符 
合题 意.   点评  解 析几 何 中点 的恒 成立 问题一 直备受 

例1 ( 2 0 1 3年湖 北八校 第 二次联 考第 2 1 题)   已知椭 圆 C   , 抛物线 C 。的焦点 均 在 Y轴上 , C 。 的  中心和 C 。的顶 点均为 原 点 o, 从 每 条 曲线 上 取 两 
个点 , 将其 坐 标记 录于 下表 中 :  
Z  O   一 1   1   1 6   4  

命题 者 的青睐 , 这类 问 题 充 分 考查 学 生 灵 活运 用 
知识 的能 力 , 具 有 很 好 的 区分 度 , 上 述 解 法 中, 通 

过 P, Q两 个点 的坐标 直接 给 出以 P Q 为直 径的 圆  的方 程 , 是 否对普 通 学生 要求 有 点 高 了? 这 个 技巧 
我认 为不 属于 通性 通 法 , 而且 针对 一个 带 有 两 个 



2  

— 2  

1  

( 1 ) 求C   , C 2 的标 准方 程 ;   ( 2 ) 设 斜 率不 为 0的动直线 z 与C   有且 只有 一  个 公共 点 P, 且与 C 。的准线 相 交 于点 Q, 试 探究 :   在 坐标 平 面 内是否 存在 定点 M , 使得 以 P Q为直 径 
的 圆恒过 点 M? 若存 在 , 求 出点 M 的坐标 ; 若 不存  在, 请 说 明理 由.  

字母 m,   的二 元 二 次方 程 的 恒成 立 问题 , 对 学 生  的理解 和接 受 能力 是 否 是 一个 强 大 的挑 战 呢? 学  生并不 知如 何分 析 多个 变 量 下 的 恒成 立 问题 , 使  问题 变得更 加艰 难 , 鉴 于 以上 考 虑 , 笔 者并 没有 讲 
授上述 方法 , 下面 给 出 自己 的解法 , 目的只 是为 了  让学生 理解 自然 的解 法 , 培 养 分 析 问题 和 解 决 问 

先 给 出命题 者 的参考 答案 .  

题 的能 力 , 如 有不 当之 处 , 还请 批评 指正 .   我 们知道 , 当 P 为 椭 圆左 顶点 时 , 即 P( 一2 ,  
O ) , 此 时 Q( 一2 , 一4 ) , 以P Q 为直 径 的圆的方程 为 

( 1   y 2 + 等一 1 ,  一 1 6 y , 过 程 略 ;  
( 2 ) 设 直线 P Q 的方程 为 : z— m y+ 1 " l , 联立 
r z — my   4 ’  

(  +2 )  + (  + 2 )  一 4 ; 当 P为 椭 圆右 顶点 时 , 即 
P( 2 , 0 ) 此 时 Q( 2 , 一4 ) , 以P Q 为 直 径 的 圆 的方 程 

1   y 2   T   X 2 — 1 消 z 整 理 得 :  
( 1+ 2 m。 ) Y 。+ 4 mn y+ 2 n  ~ 8 — 0,  

为( z一 2 ) 。 +(  + 2 )  一 4 . 在上述 两 种特 殊情 形  下, 猜想 M( O , 一2 ) , 下面 证 明以 P Q为直 径 的圆恒 
过点 M( 0 , 一2 ) .  

由直 线 P Q与 C   有且 只有 一个公 共 点 P, 则△  


设直 线 P Q 的方程 为 : z= = : m y+ , 同上 面 的  解 法得 p( 4
, 一  

( 4 an r )  一 4 ( 1   42 m。 ) ( 2 n  一 8 )一 0得  = 4 ( 1  

4  2 m  ) .  

) , Q( n一 4 m, 一4 ) .  

设 P ( x o , y o ) , 则   一 一   拿  一 一  , 所 以  
z 。一  。+  一 4


因为M - 5一 (   一4 m , 2 ) , 】 ( i 声一 (  , 一   +   2 ) , 所以 砑 奋.   声: : =  (   一4 m ) +2 ( 8 m一2 ) 一  
0 , 故 M( 0 , 一2 )在 以 P Q 为直径 的 圆上 , 问 题 
得证.  

所 以 p( 4





8 m)
.  

又Y Q一一 4 , 故 o一  一4 m, 所 以 Q(  一 4 m,  


4) .  

1 6  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3年 第 9期 ( 上半月)  

?辅 教 导 学 ?  

例 2 ( 2 0 1 2年 福 建 省 高 考 题 )如 图 1 , 椭 圆 
E:   S c z  
yZ
T  

点 评 

这 遭 题 和 八 校联 考 题 的类 型 基 本 一 

一1 ( 口 >6 >O )的左 焦点 为 F   , 右焦 点 

样, 都 是先 猜 想 点 的 存 在 , 通 过 特 殊 的点 P, Q, 将  以P Q 为直径 的 圆的方 程求 出 , 然后 将两 个 圆的方  程 叠加 , 求 出相 应定 点 , 最 后对 定 点 给 出一 般情 况 
下 的证 明 , 唯一 的 区别 就是定 点 的位置一 个是 在 Y  

为 F z ,  ̄ g 心率 P一  1 过 F  的直线 交椭 圆于 A, B  


两点, 且 △A B F。的 周 长 为 8 .  

( 1 ) 求椭 圆 E的方 程 ;   ( 2 ) 设 动直 线 £ : Y— b 
+ m 与 椭 圆 E 有 且 只 有 一 

轴上, 另 一个 是在 3 2 轴上, 解 法完全 相 同.  
J   l  

例3 ( 2 0 1 2 年北 京海 淀区高 三第二 学期 期末 
yZ 练 习理 科 ) 已知椭 圆 c:    ̄ r z   T  


1 ( a> 6> 0 )的 

个 公共 点 P, 且 与直 线 z= = =   4相 交于 点 Q. 试探究 : 在 坐  标 平面 内是 否存在定 点 M ,   使得 以 P Q为直径 的 圆恒 过  点 M? 若存在 , 求 出点 M 的  坐标 ; 若 不存在 , 说 明理 由.  
图 l  



 

j  

右焦点 为 F( 1 , o )且 点 ( 一1 ,   ) 在 椭 圆 C上 .   ( 1 ) 求 椭 圆 C的方 程  ( 2 )已知 动直 线 Z 过点 F, 且 与椭 圆 C交于 A ,  

B两点 , 试 问 z轴上 是否存 在定 点 Q, 使 得 
一 一  

.  

/恒成立 ? 若 存在 , 求 出点 Q 的坐标 , 如果 不 

解析  ( 1 ) 莩+等 = = = 1 , 过 程略;  
存在, 请 说 明理 由.  
r Y一 如 + m ,  

( 2 ) 由 {  + L   Z y : 】 消   整 理 得 : ( 4 k   + 3 )   4   。   3  
+8 k mc c +4 m   一1 2 —0 , 因为动 直线 z 与椭 圆有且 
只有 一个 公共 点 P( x 。 , Y 。 ) , 所 以 m≠ 0 , A一 0 , 即 
6 4 k 。 m 。 一4 ( 4 k   +3 ) ( 4 m   一1 2 ) 一0 , 化简得 4 忌   一  m   + 3— 0 , 此时z 。一一  
一4 k 旦) +优 : 羔 所 以 P(
, ,


解 析  ( 1 ) 等 +   。 一 1 ( 过 程 略 ) ;  
( 2 ) 假 设 在 z轴 上存 在点 Q( m, 0 ) , 使 得 
一  

.  

恒 成立 .  
上 O 

当直线 z 的斜率 为 0 时, A(   , 0 ) , B( -  , o ) ,   则(   一 m, o )?( 一  一  , 0 )一一  , 解 得 
lb  


一一  4 k , 3 , 。一

如 。  

,  

± 5
.  

由 { 《   z 一   ,  . ’ .得   Q ( 4 ,  + 4 k + m ) , 假 设 平 面 内  
I Y 一 舡 十 m 

当直 线 z的 斜 率 不 存 在 时 , A( 1 , , /   g )


B( 1 ,  

存 在定 点 M 满足条 件.  
一  

取 k一 0 , 优一, / g , 此 时 P( O ,   ) , Q( 4 ,  ) , 以 

) , 由于 ( 1 +  5



譬 ) ? ( 1 +   5 , ~   ) ≠ 一   ,  
,   ?   一 一  

P Q为直径 的 圆为 (  一2 ) 。 +(  一, / g ) 。 一4 , 交 z轴 
于 点 M1 ( 1 , 0 ) , M  ( 3 , O ) .  

所以  ≠ 一} .  
下面 : 证 明 m 一 5 时
成 立.  

取k 一一- 去 I , m一2 , 此时 P ( 1 ,  ) , Q ( 4 , o ) , 以  

7 恒 

P Q 为 直 径 的 圆 为 ( z 一 号 ) 。 + ( y -   3 ) 。 一   4 5 , 交  
z轴 于点 M。 ( 1 , 0 ) , M4 ( 4 , 0 ) .   所以, 若 符合条 件 的点 M 存 在 , 则 点 M 的坐标 

当直 线 l 的斜率 为 0时 ,  

.  

=一  .  
1   n 

当直线 z 的斜率 不为 0 时, 设 直线 z 的方程 为z  
— t y+ 1 , A( x 1 , Y 1 ), B( x2 , Y 2 ) ,  

必 为( 1 , 0 ) . 下面证 明 M ( 1 , 0 ) 为满 足条 件 的点.  

因为M( 1 , 0 ) , 所以  声一 ( 一丝 一1 , 旦)丽 奋  





』 等 + 3 , 2 — 1 消 z 得 ( £ : + 2 )   + 2   一 1 一  
l  一   +1  

( 3 , 4 k + m) , 从 而 

.  



1 2 k一 3 +

1 2k  


+ 3— 0 , 故恒 有 

上 

, 即存在定 点 M ( 1 , 0 ) ,  

o , N ,  ̄ Z x > o , Y l +   z = = : 一   ,  : 一   {   ,  
因为 z 1一 t y+ 1 ,  2一 t y十 1, 所 以 

使 得 以 PQ 为 直 径 的 圆 恒 过 点 M ( 1 , 0 ) .  

?

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数 学 通 讯— — 2 O 1 3年 第 9期 ( 上半月)  

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( z - 一 号 , Y 1 ) ? ( z 2 一 号 ,   2 )  


N(  
设 

, o ) . 下 面给 出证 明 :  
A( x 1 , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , E( a 。 , Y 2 ) , D( a 。 ,  

( t y1—  1 ( t y  

2 一

÷ ) + 3 ' 1 Y 2  

Y   ) ,当 m 变 化 时 ,首 先 AE 过 定 点 N ,因 为 
r z — my + 1 ,  



( £ 。 + 1 )  一 { £ (   。 + Y 2 ) +  
 



南 +  南 + 去  
2 ( £ 。 +2 )   。1 6  


. { 【  +   一 】 消  整 理 得 :   口   。6 2   ‘  
( 口 。 +b 2 T n   )   +2 mb   Y+ b 。 ( 1一 口   )= 0 .  

= =— = — —   — — — — — ? — 二 ±  — — — — — — — — — — — — 一— 一 十 - -   一 一一  一 


1 6 ‘  

又 A一 4 a 。 b   ( a 。 +m。 b   一1 ) > 0 , ( 口> 1 ) , 故 


因此 , 存 在 定 点 Q(   5

o ) , 使得   ? 裔 =  


惫   一 

.  

—my  

— 一 
n   ( 、 y , l 1   +  2 _ , ‘   )一  。 。 V   1  2 - , ‘  



 

恒 成立 ?  

点 评  本 题 是 探 求 一 个 点使 得 
一  

.  

= 

而   A N 一是   一_ 1   -   a    ̄   -   1  
因 为 

’ 又  

为 定值 , 并且 题 意指 出点 在 z轴上 , 通过 先猜 
(  1+ 2 )一 my1  2  
口  一 1 ,  
— —   一

后证 , 让 解法 更加 自然 , 学生 易于 接受 , 思路 清晰 .   例4 ( 2 0 1 0 年 湖北 黄 冈市 3月高 三年 级质 量 
检测) 已知 直线 z : X-  ̄ . -   +1 过椭 圆 c:   x z  


yZ
 
一  



— 2   、  a2



2 mb  



、  

b 。 ( 1一 n   )  

m   m 2 一 b 2 一m   …   。   口 0 + F   而 m   b  

1 ( 口> b > O )的右 焦点 F, 且交 椭 圆 C于 A , B 两 






( 口  一 ) ( mb  一 砌 —   1 一  




n  u’  

点, 点 A, F, B 在 直 线 G: z 一  上 的射 影依 次 为 
D, K , E.  

所以 k A n— k E N, 故 A, N, E三点 共线 , 同理 可  得 B, N, D三点 共线 , 所以 A E与 B D 相 交 于定 点 

( 1 ) 若抛 物线 X 。 一4 f ' 3 y的焦 点为 椭 圆C的上 
顶 点.  

N ( 哇 , 0 ) .  
点评  本题 是探究 两条 动直 线 A E, B D 的交  =  ,   点 是否 为定点 , 通过 特殊 情况 下 猜 出该 点 , 然后 进  行 证明 , 方 法独 特 , 先猜 后证 , 使 这 种 关 系 的本 质  表 现得更 加 明确 , 从 而有利 于 问题 的解决 .   感 悟  回顾 以上 四个 问题 的解 题 过程 , 我 们  知 道“ 先 猜后证 ”在解析 几何 中解 决点 的存 在性 问  某 种意 义上讲 也 体 现 了 数 学 的 简 洁 美 , 为 我 们 的 
解 题也 带 来 了 无 穷 的 空 间 和 更 为 广 阔 的解 题 思 

① 求 椭 圆 C的方程 ;  

② 若 直线 1 交3 , 轴于点 M , 且 



一   : 亩 , 当   变化时, 求A   +   。 的值 ;  
( 2 )连结 AE, B D. 试探索 当 7 1 " 7 . 变化时 , 直 线 

A E, B D 是否 相交 于一 定 点 N ? 若 交 于定 点 N, 请 
求 出 N 点 的坐标 , 并 给予 证 明 ; 否则 说 明理 由.  
解 析  ( 1 ) ① x   z   过 程 略 
yZ


T  

使得 我们 处理 这一 类 问 题化 繁 为 简 , 从  1 , ②   +  = 一 号 ,   题 的优 势 ,

( 2 )因为 F( 1 , O ) , K( a   , 0 ) , 先探 索 , 当 m= 0  

时, 直线 z _ l _   轴, 则 AB C D 为矩 形 , 由对称 性 知 ,  
A E与 B D相交于F K 的 中点 N , 且 N(  
猜 想 : 当  变 化 时, 肛

路, 因而在平 时训练 时多 总结 , 提 升解 题 能力.  
( 收稿 日期 : 2 0 1 3 —0 4 —1 7 )  

, o ) ,  

与 BD 相 交 于 定 点 


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