成都七中20102011学年度上期高2013级半期考


成都七中 2010-2011 学年度上期高 2013 级半期考试数学试题
考试时间:120 分钟;试卷满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={2,5}, 部分表示的集合是 A.{5} B.{1,3} C.{2,4} D.{2,3,4} 则 Venn 图中阴影

2.函数 y=ax+2(a>0,且 a≠1)的图象经过的定点坐标是 A.(0,1) B.(2,1) C.(-2,0) D.(-2,1)

? x 2 ? 1, x ? 0 3.已知 f(x)= ? ,则 f[f(1)]的值为 ? f ( x ? 2), x ? 0

A.-1 4.设 a>0,将 A. a
1 2

B.0
a
2

C.1

D.2

表示成分数指数幂,其结果是
2

a? a
3

5

7

3

B. a 6

C. a 6

D. a 2

5.函数 f(x)=x2+lnx-4 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

6.设 a=0.32,b=20.3,c=log20.3,则 A.a>b>c 7.函数 f(x)= A.3 B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b

2x ? 1 ,x∈[2,4]的最小值是 x ?1

B.4

C.5

D.6

8.若 0<loga2<1(a>0,且 a≠1),则 a 的取值范围是 A.(0,
1 ) 2

B.(

1 ,1) 2

C.(1,2)

D.(2,+∞)

9.已知 f(x)是函数 y=log2x 的反函数,则 y=f(1-x)的图象是 A. y
1 0 1 x

B.y
1 0 1 x

C.y
2 1 0 1 x

D.y
1 0 1 x

10.若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于 A.-1 B.1 C.2 D.-2

1 11.已知 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ex-1(其中 e 为自然对数的底数),则 f(ln )= 2

A.-1

B.1

C.3

D.-3

12.已知 2a=3b=k(k≠1),且 2a+b=ab,则实数 k 的值为 A.6 B.9 C.12 D.18

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.满足φ A ? {1,2,3}的集合 A 的个数是_______. 14.函数 y= 1 ? 2x (x∈R)的值域是_______. 15.已知偶函数 f(x)满足 f(x+2)=xf(x)(x∈R),则 f(1)=______. 16.若 y=loga(ax+2)(a>0,且 a≠1)在区间[-1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共 6 小题,74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知幂函数 f(x)=xα的图象经过点 A(
1 , 2 ). 2

(1)求实数α的值; (2)求证:f(x)在区间(0,+∞)内是减函数. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=|x2-2x|. (1)在给出的坐标系中作出 y=f(x)的图象; (2)若集合{x|f(x)=a}恰有三个元素,求实数 a 的值; (3)在同一坐标系中作直线 y=x,观察图象写出不等式 f(x)<x 的解集.
y 3 2 1 -1 0 -1 1 2 3 x

19.(本小题满分 12 分) 目前,成都市 B 档出租车的计价标准是:路程 2 km 以内(含 2 km)按起步价 8 元收取,超 过 2 km 后的路程按 1.9 元/km 收取,但超过 10 km 后的路程需加收 50%的返空费(即单价为 1.9 ×(1+50%)=2.85 元/km). (现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用 f(x)(元)表示为行程 x(0<x≤60,单位:km)的分段 函数; (2)某乘客行程为 16 km,他准备先乘一辆 B 档出租车行驶 8 km,然后再换乘另一辆 B 档出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆 B 档出租车完成全部行程更省钱?

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2x 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)-f(x+2). (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值.

21、(本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|log2(x-1)<1},集合 B={x|x2-ax+b<0,a,b∈R}. (1)若 A=B,求 a,b 的值; (2)若 b=3,且 A∪B=A,求 a 的取值范围.

22、(本小题满分 14 分) 1? x 已知函数 f(x)=log2 . 1? x (1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)若关于 x 的方程 f(x)=log2(x-k)有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问:方程 f(x)=x+1 是否有实根?如果有,设为 x0,请求出一个长度
1 为 的区间(a,b),使 x0∈(a,b);如果没有,请说明理由. 8 (注:区间(a,b)的长度为 b-a)

成都七中 2010-2011 学年度上期高 2013 级半期考试数学试题

参 考 答 案 及 评 分 意 见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 号 选 B D A C B C 项 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、7; 14、{y|0≤y<1}; 15、0;
1 2

7 A

8 D

9 0 C

1 1 B

1 2 A

1 D

16、(1,2)。
1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (1)解:∵ f(x)=xα的图象经过点 A( , 2 ), ∴( )α= 2 ,
1

(2') (4') (6')

即 2-α=2 2 ,解得α=- ; (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 1 1 x ? x2 1 1 f(x2)-f(x1)= x2 ? 2 ? x1? 2 ? ? 1 ? ? x1 x2 x2 x1
1 ? 2

1 2

x1 ? x2 。 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )

(9') (11') (12')

∵x2>x1>0,∴x1-x2<0, x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ,于是 f(x2)-f(x1)<0。 即 f(x2)<f(x1),所以 f(x)= x 在区间(0,+∞)内是减函数。 x 1 y 3 0 1 2 3 0 1 0 3
y 3 2 1 -1 0 -1 1 2 3

18、解: (1)列表—描点—连线, 函数 y=f(x)的图象如右图。 (6')

(变换作图也可,未列表或没写变换过程,扣 2 分)

x

(2)由题意得,方程 f(x)=a 恰有三个不等实根, 结合直线 y=a 的图象可知,实数 a 的值为 1。 (3)作直线 y=x,如图所示。 (9') (10') (12')

结合图象可得,不等式 f(x)<x 的解集为{x|1<x<3}。 19、解: (1)由题意得,车费 f(x)关于路程 x 的函数为: (0 ? x ? 2) ? 8, ( 0 ? x ? 2) ?8, ? ? f ( x) ? ?8 ? 1.9( x ? 2), (2 ? x ? 10) ? ?4.2 ? 1.9 x, (2 ? x ? 10) 。 ?8 ? 1.9 ? 8 ? 2.85( x ? 10), (10 ? x ? 60) ?2.85x ? 5.3 , (10 ? x ? 60) ? ? (2)只乘一辆车的车费为:f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元); 换乘 2 辆车的车费为:2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元)。 ∵40.3>38.8,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱。 20.解: (1)∵f(x)=2x,∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2。 ? 0 ? 2x ? 3 因为 f(x)的定义域是[0,3],所以 ? ,解之得 0≤x≤1。 ?0 ? x ? 2 ? 3 于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}。(或写成[0,1],否则扣 1 分) (2)设 g(x)=(2x) -4×2x=(2x-2) -4。
2 2

(6') (8') (10') (12') (3')

(6') (8') (10') (12') (2')

∵x∈[0,1],即 2x∈[1,2],∴当 2x=2 即 x=1 时,g(x)取得最小值-4; 当 2x=1 即 x=0 时,g(x)取得最大值-3。 21、解: (1)由 log2(x-1)<1 得 0<x-1<2,所以集合 A={x|1<x<3}。
2 2

由 A=B 知,x -ax+b<0 的解集为{x|1<x<3},所以方程 x -ax+b=0 的两根分别为 1 和 3。 ?a ? 1 ? 3 由韦达定理可知, ? ,解得 a=4,b=3,即为所求。 (4') ?b ? 1? 3 (2)由 A∪B=A 知,B ? A。 (5') 2 ①当 B=φ时,有Δ=a -12≤0,解得 ? 2 3 ? a ? 2 3 ; (7') a ②当 B≠φ时,设函数 f(x)=x2-ax+3,其图象的对称轴为 x= ,则 2
? ? ? a 2 ? 12 ? 0 ? ? f (1) ? 4 ? a ? 0 ? f (3) ? 12 ? 3a ? 0 ,解之得 2 3 ? a ? 4 。 ? a ? 1? ? 3 2 ?

(11')

综上①②可知,实数 a 的取值范围是[ ? 2 3 ,4]。 (12') 1? x ? 0 得-1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-1,1); 22、解: (1)由 (2') 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x ? 因为 f(-x)+f(x)=log2 +log2 =log2 =log21=0, 1? x 1? x 1? x 1? x 所以 f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。 (4') 1? x 1? x (2)方程 f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程 =x-k 即 k=x在(-1,1)内有解, 1? x 1? x 1? x 2 所以实数 k 属于函数 y=x=x+1在(-1,1)内的值域。 (6') 1? x 1? x 2 2 令 x+1=t,则 t∈(0,2),因为 y=t- 在(0,2)内单调递增,所以 t- ∈(-∞,1)。 t t 故实数 k 的取值范围是(-∞,1)。 (8')

(3)设 g(x)=f(x)-x-1=log2

1? x -x-1(-1<x<1)。 1? x

5 625 5 ? 8 ? 23 ,且 y=log2x 在区间(0,+∞)内单调递增,所以 log2 ( ) 4 <log223,即 因为 ( ) 4 ? 3 81 3 5 5 3 1 5 3 4log2 <3,亦即 log2 < 。于是 g(- )=log2 - <0。 ① (10') 3 3 4 4 3 4 3 11 5 5 又∵g(- )=log2 - >1- >0。 ② (12') 8 5 8 8 1 3 3 1 由①②可知,g(- )〃g(- )<0,所以函数 g(x)在区间(- ,- )内有零点 x0。 4 8 8 4 3 1 即方程 f(x)=x+1 在(- ,- )内有实根 x0。 (13') 8 4 1 3 1 又该区间长度为 ,因此,所求的一个区间可以是(- ,- )。(答案不唯一) (14') 8 8 4
思路提示:用“二分法”逐步探求,先算区间(-1,1)的中点 g(0)=-1<0(1'),由于 g(x)在(-1,1)内单调递 减,于是再算区间(-1,0)的中点 g(区间(-

1 1 1 1 )=log23- >0(2'),然后算区间(- ,0)的中点 g(- )<0(3'),最后算 2 2 2 4

1 1 3 ,- )的中点 g(- )>0(4')。 2 4 8


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