江西省玉山县第一中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


玉山一中 2016—2017 学年度第一学期高三第一次月考

理科数学试卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟 命题人:董贤慧 审题人:邱新旻

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 2 x ? 0 , N ? x ?2 ? x ? 1 ,则 M ? N ? (

?

?

?

?



A. (?2,1)

B. [0,1)

C. (1, 2] )

D. (?2, 2]

2.已知命题 p : ?x ? 0, x ? A. ?x ? 0, x ? C. ?x ? 0, x ?

1 ? 2 ,则 ?p 为( x
B. ?x ? 0, x ? D. ?x ? 0, x ?

1 ?2 x 1 ?2 x

1 ?2 x 1 ?2 x


3.设 p : x ? 1, q : ln 2x ? 1 ,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. y ? sin x

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ?

1 x
x 2

B. y ? x

2

C. y ? x )

3

5.函数 y ? 2 ? x 的图象大致是(

3 2 6.函数 f(x)= x ? 3x ? 9 x ? 4 的单调递减区间是(

) D. (3,+∞) )

A. (﹣3,1) 7.定义运算: a ? b ? ?

B. (﹣∞,﹣3)

C. (﹣1,3)

? a, a ? b .例如 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ? x ? ? sin x ? cos x 的值域为( ?b, a ? b
B. ??1,1? C. ?

A. ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

? 2 ? ,1? ? 2 ?

D. ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?

-1-

8. 设函数 f ( x) ? ?

?m ? x 2 , | x |? 1 ? 的图象过点 (1, 1) , 函数 g ( x) 是二次函数, 若函数 f ( g ( x)) x , | x | ? 1 ? ?

的值域是 [0, ??) ,则函数 g ( x) 的值域是( ) A. (??,1] ? [1, ??) C. [0, ??) B. (??, ?1] ? [0, ??) D. [1, ??)

2 9.已知函数 f ? x ? ? log 0.5 x ? ax ? 3a 在 ? 2, ?? ? 单调递减,则 a 的取值范围是(

?

?



A. ? ?4, 4? 10.已知函数 f ? x ? ?

B. ? 4, ?? ?

C. ? ?4, 4?

D. ? ??, 4?

4x ,则 4x ? 1

f ? ?2016? ? f ? ?2015? ??? f ? ?1? ? f ?0? ? f ?1? ? f ? 2? ???

f ? 2015? ? f ? 2016? ? (
A. 2016 B. 2017

) C.

4033 2

D. 4033

? f ( x ? 2), x ? 2 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 x ,则 f (?1 ? log3 5) 的值为( ( ) , x?2 ? ? 3
A.



1 15

B.

5 3

C.15

D.

2 3

? ? 1 ? x 2 , ?1 ? x ? 1 12. 已知函数 f ? x ? ? ? , 且函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? 2k 有两个不同的零点, ? ?? x, x ? ?1或x ? 1
则实数 k 的取值范围是( A. ? ) B. ? D. ?

3 ?k ?0 3
1 3 或k ? ? 3 3

1 3 ? k ? 0或k ? ? 3 3

C. k ? ?

3 1 ? k ? ? 或k ? 0 3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上).
13. 已知全集 U ? R , 集合 M ? {x | lg x ? 0}, N ? ? x | ? ? ?

? ? ? ?

?1? ? 2?

x

2? ? 则 (CU M ) ? N =___ ?, 2 ? ?

___.

14.若函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)=

? ? x ?1 ? x ? ,0 ? x ? 1 ,则 ? ? ?sin ? x,1 ? x ? 2

? 29 ? f ? ?? ? 4 ?

? 17 ? f ? ? =______. ? 6?

15.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,如果
-2-

3 f (1) ? lg , f (2) ? lg15 ,则 f(0)= 2
16.有下列命题 ① f ? x ? ? log 1

.

? x ? 4?
2

的单调减区间是 ? 2, ??? ;②若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,则

2

f ? x ? 图象关于直线 x ? 1 对称;③函数 f ? x ? ? lg ? x ?1? ? lg( x ?1) 是偶函数;④设 f / ? x ? 是
函数 f ? x ? 的导函数,若 f
/

? x0 ? ? 0 ,则 x0 是 f ? x ? 的极值点.

其中所有正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
2 17.已知集合 A ? x | ? x ? 3?? x ? 3a ? 5? ? 0 ,函数 y ? lg ? x ? 5 x ? 14 的定义域为集合

?

?

?

?

B.
(1)若 a ? 4 ,求集合 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件,求实数 a 的取值范围.

?1 ? ?1? 18 . 已 知 a ? 0 设 命 题 p : 函 数 y ? ? ? 为 增 函 数 , 命 题 q : 当 x ? ? , 2 ? 时 , 函 数 ?2 ? ?a?
f ? x? ? x ? 1 1 ? 恒成立.如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求 a 的范围. x a

x

-3-

19.如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是 直 角 梯 形 , 且

?DAB ? 90?, ?ABC ? 45?, CB ? 2, AB ? 2, PA ? 1 .
(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 C ? MAD 的体积.

20.某公司经过测算投资 x 百万元,投资项目 A 与产生的经济效益 y 之间满足:

1 y ? f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? 12 ,投资项目 B 产生的经济效益 y 之间满足: 4
1 y ? h ? x ? ? ? x 2 ? 4 x ? 1. 3
(1)现公司共有 1 千万资金可供投资,应如何分配资金使得投资收益总额最大? (2)投资边际效应函数 F ? x ? ? f ? x ?1? ? f ? x ? ,当边际值小于 0 时,不建议投资,则 应如何分配 投资?

21.已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形 为正方形,四个顶点围成的图形面积为 2 2 . (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 过点 P ? 0,2? 且与椭圆相交于 A 、 B 两点,当 ?AOB 面积取得最大值时,求 直线 l 的方程.
-4-

22.定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足: 对任意 x ∈D,存在常数 M>0,都有 | f ( x) |? M 成 立,则称 f ( x ) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界,已知函数 f ( x ) =1+ a ? ( ) ? ( ) . (1)当 a ? ? 为有界函数, 请说明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

1 3

x

1 9

x

1 时,求函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上的值域,并判断函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是否 2

……………线………………………………………………………………………………

玉山一中 2016—2017 学年度第一学期高三第一次月考

理科数学答题卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟 命题人:董贤慧 审题人:邱新旻 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 15. 14. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

座位号

考试号_____________

11

12

班级____________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
-5-

17. (本小题满分 10 分)

18. (本小题满分 12 分)

-6-

19.(本题满分 12 分)

20. (本题满分 12 分)

-7-

21. (本小题满分 12 分)

-8-

22. (12 分)

-9-

高三理科数学第一次月考 参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.B

二、填空题 13. (??,0] 三、计算题 17. (1) A ? B ? ?x | 3 ? x ? 7? , (2) ?a | ? 【解析】 试题分析: (1) A ? ?x | 3 ? x ? 17? , B ? ?x | ?2 ? x ? 7? , 则 A ? B ? ?x | 3 ? x ? 7? ; (2)“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件,则 A ? B , 14.

5 16

15.-1

16.①②

? ?

7 ?a? 3

2? ? 3?

2 时, A ? ? ,成立, 3 2 7 2 2 ② 3a ? 5 ? 3 ,即 a ? ? 时,由 A ? B 得: ?2 ? 3a ? 5 ? 7 ,则 ? ? a ? 且 a ? ? . 3 3 3 3
① 3a ? 5 ? 3 ,即 a ? ? 综上: a 的取值范围为 ?a | ?

? ?

7 2? ? a ? ?. 3 3?

18. ? 0, ? ? ?1, ?? ? . 2

? ?

1? ?

【解析】 试题分析:先求出命题 p, q 成立的等价条件,利用 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,即可确 定实数 a 的范围.

?1? 试题解析:由 y ? ? ? 为增函数, 0 ? a ? 1 . ?a?
因为 f ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1, 2? 上为增函数.

x

?1 ? ?2 ?

- 10 -

?1 ? ? f ? x ? 在 x ? ? , 2 ? 上最小值为 f ?1? ? 2 ?2 ?
当 x ? ? , 2 ? 时,由函数 f ? x ? ? x ? ? 恒成立得,解得 a ? 2 x a ?2 ? 如果 p 真且 q 假,则 0 ? a ?

?1

?

1

1

1

1 ,如果 p 假且 q 真,则 a ? 1 2

所以 a 的取值范围为 ? 0, ? ? ?1, ?? ? . 2

? ?

1? ?

考点:复合命题的真假判定与应用.

1 19. (1)见解析; (2) 12
【解析】 试题分析: (1) 证线面垂直可回到判定定理 (化为线与两条相交直线垂直来证) . 结合条件 PA ? 平面 ABCD 及所给的边和角的条件可通过解三角形证得 AC ? BC , 从而证出; 另外也可建立空间坐标系, 运用向量运算来解决. ( 2 )由题求三棱锥 C ? MAD 的体积,结合条件及观察图形,可运用等体积法,化为求

VC?MAD ? VM ? ACD ,则底面积和高易算出,可求得.
试题解析: (1)证明:? PA ? 平面 ABCD ,? PA ? BC 在 ?ABC 中, AB ? 2, BC ? 2, ?ABC ? 450 依余弦定理有: AC 2 ? 22 ? ( 2)2 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos 450 ? 2 ,? AC ? 2
2 2 2 0 又 AC ? BC ? 2 ? 2 ? 4 ? AB ,??ACB ? 90 ,即 AC ? BC

又 PA ? AC ? A ,? BC ? 平面 PAC (2)解:取 AC 的中点 O ,连结 MO , ? M 是 PC 的中点,∴ MO ∥ PA

? PA ? 平面 ABCD ,? MO ? 平面 ABCD
即 MO 为三棱锥 M ? ACD 的高, 且 MO ?

1 1 PA ? 2 2

0 0 由(1)知: AC ? BC ,∴ ?ACB ? 90 ,??CAB ? 45

- 11 -

又 ?DAB ? 900 , AB ∥ CD ,??ADC ? 900 , ?DAC ? ?ACD ? 450

? AD ? CD ?

AC 1 1 1 ? 1 ,? S?ACD ? AD ? CD ? ?1?1 ? 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ?VC ? MAD ? VM ? ACD ? S ?ACD ? MO ? ? ? ? 3 3 2 2 12

?

1 三棱锥 C ? MAD 的体积为 12

【考点】 (1)线面垂直的证明; (2)等体积法求几何体的体积. 20. (1)投资 A 项目 4 百万,投资 B 项目 6 百万, (2)投资 A 项目 350 万元,投资 B 项目 550 万元. 【解析】 试题分析: (1)根据题意,建立收益函数关系式:投资 A 项目 x 百万,投资 B 项目 10-x 百万, 则 y ? f ? x ? ? h ?10 ? x ? ? ? 投 资 B 项 目 6

7 2 ? x ? 4 ? ? 29 ,根据二次函数最值求法得投资 A 项目 4 百万, 12 1 x ? ? ?2 4 ? ? 1x 7 ,因此投资 A 项目 350 万元,投 2

百 万 , 收 益 总 额 最 大 .( 2 ) 由 题 意 得 不 等 式 :

F? x ??

?f

? 1 x?

? ? ?f

2? 0? x ? ,解得

资 B 项目 550 万元. 试题解析:解: (1) y ? f ? x ? ? h ?10 ? x ? ? ?

7 2 ? x ? 4 ? ? 29 ,即投资 A 项目 4 百万,投资 12

B 项目 6 百万,收益总额最大.
(2) F ? x ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? ?

1 7 ? 2 x ? 1? ? 2 ? 0 ,解得 x ? ,投资 A 项目 350 万元, 2 4

同理可得,应投资 B 项目 550 万元. 考点:函数实际应用 21. (1) 【解析】
2 2 2 2 2 2 试题分析: ( 1 )依题意有 b ? c ,且 2ab ? 2 2 ,结合 b ? c ? a , b ? c ? a ,解得

x2 ? y 2 ? 1; (2) ? 14x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

x2 ? y2 ? 1 ; ( 2 ) 直 线 l 的 方 程 为 a ? 2, b ? c ? 1 , 所 以 椭 圆 方 程 为 2
2 2 2

y ? kx ? 2, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 联 立 直 线 的 方 程 和 椭 圆 的 方 程 , 得
- 12 -

1? k 2 ?1 ? 2k ? x ? 8kx ? 6 ? 0 ,利用弦长公式计算 AB ? 1 ? 2k 2 16k 2 ? 24 ,利用点到直线距
2 2

离公式计算 d ?

2 1? k 2

,所以 S?ABC ?

1 16k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 ,利用换 AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

元法可求得当 k ? ? 试题解析: 设椭圆方程为

2 14 时,面积取得最大值为 ,所求直线方程为 ? 14x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? .(1)由已知得 b ? c ,且 2ab ? 2 2 ,又由 b2 ? c 2 ? a 2 , 2 a b

解得 a2 ? 2, b2 ? c2 ? 1 ,

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: ?1 ? 2k ? x ? 8kx ? 6 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
由直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 两点,

?? ? 0 ? 64k 2 ? 24 ?1 ? 2k 2 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

3 , 2

8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 又由韦达定理得 ? , ?x ? x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2
原点 O 到直线 l 的距离 d ?

? x1 ? x2 ? ? 4x1x2 ?
2

1? k 2 16k 2 ? 24 . 2 1 ? 2k

2 1? k 2



所以 S?ABC

1 16k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 ? AB ? d ? ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

- 13 -

令m ?

2k 2 ? 3 ? m ? 0 ? ,则 2k 2 ? m2 ? 3 ,
2 2m 2 2 2 , ? ? 2 4 m ?4 m? 2 m
4 2 ,即 m ? 2 时, S max ? , m 2

?S ?

当且仅当 m ?

此时 k ? ?

14 ,所以,所求直线方程为 ? 14x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

考点:直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函 数方程思想和数形结合思想的考查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题, 涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想 方法的热点题型.涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长; 涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题, 可考虑用圆锥曲线的定义求解. 22. (1)函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数; (2)实数 a 的取值范围为[﹣6,2]. 【解析】 试题分析: (1)把 a=﹣ 代入函数的表达式,得出函数的单调区间,结合有界函数的定义进行 判断; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈[0,+∞)恒成立.令 对 t∈(0,1]恒成立,设 的最值,从而求出 a 的值. 解: (1)当 ∵x<0,∴t>1, ∵ ∴ 时, ; ,令 , , , ,求出单调区间,得到函数

在(1,+∞)上单调递增, ,即 f(x)在(﹣∞,1)的值域为 ,

故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立,

- 14 -

∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈[0,+∞)恒成立. 即:﹣4≤f(x)≤4,令 ∵x≥0,∴t∈(0,1] ∴ ∴ 设 , 对 t∈(0,1]恒成立, , ,由 t∈(0,1], ,

由于 h(t)在 t∈(0,1]上递增,P(t)在 t∈(0,1]上递减, H(t)在 t∈(0,1]上的最大值为 h(1)=﹣6, P(t)在[1,+∞)上的最小值为 p(1)=2 ∴实数 a 的取值范围为[﹣6,2]. 考点:函数的值域.

- 15 -


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