基本初等函数性质与图像


基本初等函数性质与图像
名称 常 数 函 数 表达式 y=C(C 为常数) 定义域与值域

x ? (??,??) y ? ?C?
0

图像 y y=C x

特性 1、 偶函数 2、 有界

幂函数

y=x

x ? (??,??) y ? (??,??) x ? (??,??) y ? ?0,??) x ? (??,??) y ? (??,??)

1、 图像都过(0,0) y y=x2 y=x 0 x 和(1,1)点 2、 在[0,+∞]内单调 递增

y=x2

y=x3 y=x-1

y=x3

x ? (??,0) ? (0,??) y ? (??,0) ? (0,??)
0

y y=x-1

1、 奇函数 2、 单调减少

x

y? x

x ? [0,??) y ? [0,??)

单调增加 y

y? x
0 x

指 数 函 数

x ? (??,??) y ? (0,??)

y

单调增加

y ? a x (a?1)
0 x

1

y ? a x (0?a?1)

x ? (??,??) y ? (0,??)
0

y

单调减少

x

对 数 函 数

y ? loga x(a?1)

x ? (0,??) y ? (??,??)

y

单调增加

0 y

x

y ? loga x(0?a?1)

x ? (0,??) y ? (??,??)
0

单调减少

x

三 角 函 数

y=sinx

x ? (??,??) y ? [?1,1]
0

y

1、 奇函数 2、 周期 2π 3、 有界 x

y=cosx

x ? (??,??) y ? [?1,1]

y

1、 偶函数 2、 周期 2π 3、 有界 x

0 y y=tanx

1 x ? k? ? ? (k ? Z ) 2 y ? (??,??)
0

1、奇函数 2、周期π x 3、无界 4、在(kπ -1/2π ,k π +1/2π )单增

y=cotx

x ? k? (k ? Z ) y ? (??,??)

1、奇函数 y 2、周期π 3、无界 0 x 4、在(kπ ,kπ +π ) 单减

比较大小: (1) 1.71.2 , 1.71.6 (2) log2.4 1.3 , log2.4 1.1
2

(3) 0.3 2.4 , 0.4 2.4
解:(1)函数 y (2)函数 y (3)作函数 如图(4)∵

(4) 1.7 0.3 , 0.8 2.1

? 1.7 x 在 R 上是增函数 ∵ 1.2 ? 1.6
上是 函数 ∵



1.71.2 ? 1.71.6


? log2.4 x 在

y ? 0.3 x 和函数 y ? 0.4 x 的图像 令 x ? 2.4
1.7 0.3 ? 1.7 0 ? 1 0.8 2.1 ? 0.80 ? 1 ∴ 1.7 0.3

0 .8 2.1

变式训练 1 比较大小: (1)0.7 ?0.2 ,0.7 ?0.4 (2)log0.2 1.2 ,log0.2 1.3 (3)log0.2 1.2 ,log0.4 1.2 (4)log0.2 0.9 ,log2.1 0.3
1

1 1.设 a ? log1 3, b ? ( )0.2 , c ? 2 3 ,则 3 2
(A) a ? b ? c
3 4

(B) c ? b ? a
2 3 3 ? 2

(C ) c ? a ? b
2 ? 3 3 2 1 ? 3

(D) b ? a ? c
1 3

2. ①y ? x ; ②y ? x ; ③y ? x ; ④y ? x ; ⑤y ? x ⑥y ? x ; ⑦y ? x , 如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()

A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤
3.下图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )

D.⑥④③②⑦⑤①

A. ①y ? x 3 ,②y ? x 2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 C. ①y ? x 2 ,②y ? x3 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 4、已知 ?1 ? A (0.2)
a
1

1

1

B. ①y ? x3 ,②y ? x 2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 D. ①y ? x 3 ,②y ? x 2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 B
1 1

1

a ? 0 ,则(

) B (2)
a

1 ? ( )a ? (2)a 2

1 ? (0.2)a ? ( )a 2
3

C(

1 a ) ? (0.2)a ? (2)a 2

D (2)

a

1 ? ( )a ? (0.2)a 2

5. 若 log2 a ? 0 , ( A. a ? 1 , b ? 0 【答案】D

1 b ) ) ? 1 ,则 ( 2 B. a ? 1 , b ? 0 C. 0 ? a ? 1 , b ? 0

D. 0 ? a ? 1 , b ? 0

6、幂函数的图像过点 (3, A

3 ) ,则它的单调递增区间是(




? ?1, ?? ?



? 0, ?? ?

? ??, ?? ?



? ?? ,0 ?
a? 的值为: 6

7.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan= (A)0 (B)
3 3

(C)1

(D) 3
)
1

8.下列四个函数中,在区间 (0 , 1) 上是减函数的是(

A . y ? log2 x

B. y?

1 x

1 C . y ? ?( ) x 2

D . y ? x3
( )

9. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? ? x2 +5( x ? R) B. y ? - x3 ? x( x ? R) C.

y ? x 3 ( x ? R)

D. y ? ?

1 ( x ? R, x ? 0)【答案】C x

10. 设 y1 A.

? 4 , y2 ? 8
0.9

0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

?1.5

,则





y3 ? y1 ? y2

B.

y2 ? y1 ? y3

C.

y1 ? y3 ? y2


D.

y1 ? y2 ? y3 【C

11.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? 1 ( x ? R且x ? 0) x

1 B. y ? ( ) x ( x ? R) 2

C. y ? x( x ? R)

D. y ? ? x 3 ( x ? R) )A -2 B

12、已知?(x)在 R 上是奇函数,且满足?(x+4)=?(x),当 x∈(0,2)时,?(x)=2x2,则?(7)等于 ( 2 C -98 D 98 A

10.设函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? B.1 C. ? 3 D. ? 1 【答案】A

1 ? 2 x ? b ( b 为常数),则 f (1) ? ( )A.3 2x

例 1、若 a x?1 ? a 3 x?2

?a ? 0, 且a ? 1? ,求: x 的取值范围。
? a x 在 R 上是增函数∵ a x?1 ? a 3 x?2 ∴ x ? 1 ? 3x ? 2 x ? ?
1 2

解:① 当 a ? 1 时,函数 y

若 log2 ( x ? 1) ? 1,求: x 的取值范围。变式训练 4:若 log 0.2 ( x ? 1) ?
1

1 ,求: x 的取值范围。 2
1

1. 若 ? 1 ? a ? 0 ,则 3a , a 3 , a 3 由大到小的顺序是____________
4

王新敞
奎屯

新疆

3a ? a 3 ? a 3


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