广东省深圳市2013年高三第一次调研考试数学理试题(2013深圳一模)


广东省深圳市 2013 年高三第一次调研考试

数学(理)试题
本试卷共 21 小题,满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号, 同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上不按要求填涂的,答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答漏涂、错涂、多涂的 答案无效 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:

1 Sh. 3 4 若球的半径为 R,则球的表面积为 S=4 ? R2,体积为 V= ? R2, 3
若锥体的底面积为 S,高为 h,则锥体的体积为 V =

回归方程为 y ? bx ? a , 其中:

? ?

?? x
n i ?1

i

? ?x
i

?? y ? y ?
i

? ?

?? x ? x?
n i ?1

?

2

? ? ? , a ? y ? bx.

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的. 1.化简 sin 2013o 的结果是 A.sin 33o B.cos33o A.-sin 33o B.-cos33o 2.已知 i 是虚数单位,则复数 i13(1+i)= A.l+i B.l-i C.-l+I D.-l-i 3.图 l 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是

128 ? 3 32 ? B.16 ? 、 3 16 C.12 ? 、 ? 3 16 D.8 ? 、 ? 3
A.32 ? 、

4.双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 rn= A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

5.等差数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两 个数不在下表的同一列。 第一列 2 8 11 第二列 3 6 9 第三列 5 14 13

第一行 第二行 第三行

则 a4 的值为 A.18 B.15 C.12 D.20 6.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合数”) ,则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个 7.函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos ? x(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于 A.8 B.6 C.4 D.2 8. 函数 y=f (x) x∈ 若存在常数 C, , D, 对任意的 xl∈ 仔在唯一的 x2∈ 使得 D, D,

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,

则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C.已知 f(x)=x3,x∈ [1,2],则函数 f(x)=x3 在[1, 2]上的几何平均数为 A. 2 B.2 C.4 D. 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.若 (1 ? 2x)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3a4 x4a5 x5 , 则 a3= 。

10.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一个小 矩形的面积等于其余 n-1 个小矩形面积和的

1 , 则这个小矩形对应的频数是 5

____ . 11.已知 ? = {(x,y)|x+ y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y>0,x-y2≥0}, 若向区域 ? 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率是 . 12.若执行图 2 中的框图,输入 N=13,则输出的数等于 。 (注:“S=0”, 即为“S←0”或为“ S .. ? 0”. ) 13.设集合 A={(x,y)|(x 一 4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+ 2) 2 =l},如果命题 “ ?t ∈ R, A ? B ? ? ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 。

(二)选做题:第 14、1 5 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? t ? (t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方 ? y ? t ?1 ?

程 为 ? sin ? - ? cos ? =3 , 则 Cl 与 C2 交 点 在 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 为 。 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥BC,垂足为 F,若 AB=6,CF·CB=5,则 AE= 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2 sin ? 低点. (1)求点 A、B 的坐标以及 OA · OB 的值; (2)没点 A、B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? ? 2 ? )的值.

??x ? ? ,点 A、B 分别是函数 y=f(x)图像上的最高点和最 ? ? (0≤x≤5) ? 6 3?

??? ?

??? ?

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: A1 A2 A3 A4 A5 学生 89 91 93 95 97 数学(x 分 物理(y 分) 87 89 89 92 93 (1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的同归方程; (2) 要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动, X 表示选中的同学的物理 以 成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.

18. (木小题满分 14 分)

? 如图 5,⊙O 的直径 AB=4,点 C、D 为⊙O 上两点,且∠CA B=45o,∠DAB=60o,F 为 BC 的中
点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 6) . (1)求证:OF//平面 ACD; (2)求二面角 C- AD-B 的余弦值;

? (3)在 BD 上是否存在点 G,使得 FG∥平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置,并求直线 AG
与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足:a1=1,a2=(a≠0) n+2=p· ,a

an ?12 (其中 P 为非零常数,n∈ *) N an

(1)判断数列{ (2)求 an;

an ?1 }是不是等比数列? an

(3)当 a=1 时,令 bn=

nan ? 2 ,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn。 an

20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0) ,点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2| 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

21. (本小题满分 14 分)

a (a>0) ,g(x)=2lnx+bx 且直线 y=2x-2 与曲线 y=g(x)相切. x (1)若对[1,+ ? )内的一切实数 x,小等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;
已知 f(x)=x(2)当 a=l 时,求最大的正整数 k,使得对[e,3](e=2.71828…是自然对数的底数)内的任意

k 个实数 x1,x2,…,xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1) ?16 g( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

4i ? 1n(2n ? 1)(n ? N * ) . 2 ?1

参考答案
说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. 80 ; 13. 0 ? a ? 10. 10 ; 11.

8 ; 27

12.

12 ; 13

4 ; 3

14. (2,5) ;

15. 1 .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA? OB 的值;

πx π ? )( 0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? (x) f 图像上的最高点和最 6 3

? (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? 2? ) 的值.
解: (1)? 0 ? x ? 5 , ?

?

3

?

πx π 7π ? ? , 6 3 6

…………………………………1 分

1 πx π ? ? ? sin( ? ) ? 1 . ……………………………………………………………2 分 2 6 3 πx π π πx π ? ? ,即 x ? 1 时, sin( ? ) ? 1 , f (x) 取得最大值 2 ; 当 6 3 2 6 3 πx π 7π πx π 1 ? ? ? ) ? ? , f (x) 取得最小值 ?1 . 当 ,即 x ? 5 时, sin( 6 3 6 6 3 2
因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) . ………………………………4 分

??? ??? ? ? ?OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3 .

……………………………………………………6 分

(2)? 点 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,

1 ? tan ? ? 2 , tan ? ? ? , 5

…………………………………………8 分

1 2 ? (? ) 5 ?? 5 , ………………………………………………10 分 ? tan 2? ? 1 2 12 1 ? (? ) 5 5 2 ? (? ) 12 ? 29 . ………………………………………………12 分 ? tan(? ? 2? ) ? 5 1 ? 2 ? (? ) 2 12
【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变换,以及 平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示: 学生 数学( x 分) 物理( y 分)
A1
89

A2
91

A3
93

A4
95

A5
97

87

89

89

92

93

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同学的物理 成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E (X ) 的值. 解: (1)散点图如右图所示.…………1 分
y(物理成绩)

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , y= 5
5

94 92 90 88

? ? ?
89 91 93 95

?

? ( xi ? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2
i ?1

?

? 2 2 ? 4 2 ? 40,

O

97

x(数学成绩)

? (x
i ?1

5

图4
i

? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ,
………………………5 分 ………………………6 分 ……………………………………7 分

b?

30 ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 . 40

? 故这些数据的回归方程是: y ? 0.75 x ? 20.25 .
(2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 .

C2 1 C1C1 2 C2 1 P(X ? 0 ) = 2 ? ; P(X ? 1)= 2 2 2 ? ; P(X ? 2)= 2 ? . …………10 分 2 2 C4 6 C4 3 C4 6
X

0

1

2

故 X 的分布列为:

p

1 6

2 3

1 6
……………11 分

1 2 1 ? E (X ) = 0 ? + 1? + 2 ? = 1 . …………………………………………………12 分 6 6 3
【说明】本题主要考察读图表、 线性回归方程、 概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分)
? 如图 5 , ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙O 上两点,且 ?CAB=45 ,

? ∠ DAB ? 60 , F 为 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 6 ) .
?

(1)求证: OF // 平面 ACD ; (2)求二面角 C - AD - B 的余弦值; (3) BD 上是否存在点 G , 在? 使得 FG //平面 ACD ?若存在, 试指出点 G 的位置, 并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由. C
? F

?
B

C
?F

A

? O

?
?

A

O
D
图6

?

B

D

(法一) :证明: (1)如右图,连接 CO ,

图5

? ?CAB ? 45? ,? CO ? AB ,

?
?

C
?F

? 又? F 为 BC 的中点,? ?FOB ? 45 ,
? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD .……………………3 分 解: (2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角.

?

A E D

O

?

B

G

………………………………5 分

? ?OAD ? 60? , OA ? 2 , ?OE ? 3 .
由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形,

? CO ? 2 ,? CE ? 7 .
? cos ?CEO =
21 3 = . …………………………………………………………8 分 7 7

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,
? OG // AD , ?BOG=?BAD=60? .

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……10 分
连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 1 ? S ?ACD = ? AD ? CE = ? 2 ? 7 = 7 , S ?GAD ? S ?OAD = ? 2 ? 3 = 3 , 2 2 2
1 1 2 21 . ? 由 VG- ACD = VC - AGD ,得 ? 7 ? h = ? 3 ? 2 ,得 h ? 3 3 7
…………12 分

? 在 ?AOG 中, AO ? OG ? 2 , ?AOG ? 120 ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,…13 分

? sin? ?

h 7 = . AG 7

z

…………………………………………………14 分 (法二) :证明: (1)如图,以 AB 所在的直线为 y 轴, 以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,作空间直角 坐标系 O ? xyz ,则 A? 0, ?2,0? , C ?0,0,2? .

?

C
?F

A

O? G

B y

?

D

AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

x

? ? 点 F 为 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2, 2 ) .
??? ? 2 ???? ? OF ? AC ,即 OF //AC . 2
? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , …………………………………………………………3 分 ? OF // 平面 ACD .
解: (2)? ?DAB ? 60 ,? 点 D 的坐标 D 3, ?1,0 , AD ? ( 3,1,0) .
?

?

?

?

?

????

设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

??

?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? n1 ? AC ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? 由 ? ?? ???? 有? 即? ? 3 x ? y ? 0. ? n1 ? AD ? 0, ? ?? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ?

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

3.
……………………………………………5 分

?? ?n1 = 1,- 3, 3 . ?? ?

?

?

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0,0, ? , 1

………………………………………6 分

?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? .………………………8 分 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ??? ? ??? ? 设 OG ? ? AD(? ? 0) ,? AD ? ( 3,1,0) ,? OG ?
????

?

3? ,? ,0 .

?

2 2 2 又? OG ? 2 ,? ( 3? ) ? ? ? 0 ? 2 ,解得 ? ? ?1 (舍去 ?1 ) .

???? ? OG ?

?

? 3 ,1,0 ,则 G 为 BD 的中点.

?

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……11 分
设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,

???? ? AG ? ( 3,1,0) ? (0, ?2,0) ? ( 3,3,0) ,
根据(2)的计算 n1 ? 1,- 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量,

??

?

?

???? ?? AG ? n1 ? sin? ? cos(90? ? ? ) ? ???? ?? ? | AG | ? | n1 |

3 ?1 ? 3 ? (? 3) ? 0 ? 3 2 3? 7

?

7 . 7

因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为

7 . ……………………………14 分 7

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知识,考查 空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19. (本小题满分 14 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? a(a ? 0) , an ? 2 (1)判断数列 { (2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ? 解: (1)由 an ? 2 ? p ? 令 cn ?

a . ? p ? n ?1 (其中 p 为非零常数, n ? N* ) an

2

an ?1 } 是不是等比数列? an nan ? 2 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn . an
……………………………1 分

2 a a an ?1 ,得 n? 2 ? p ? n ?1 . an?1 an an

an ?1 ,则 c1 ? a , cn?1 ? pcn . an c , ? a ? 0 ,?c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) cn a ……………………………………………………3 分 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列, a ……………………………4 分 ? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即 n ?1 ? ap n ?1 . an a a a n?2 n ?3 0 当 n ? 2 时, an ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? a1 ? (ap ) ? (ap ) ??? (ap ) ?1 an?1 an?2 a1

?a

n ?1

p

n 2 ?3 n ? 2 2


n ?3n? 2 2
2

………………………………………………6 分

? a1 满足上式, ? an ? an?1 p
(3)?

, n ? N* .

…………………………7 分

an? 2 an? 2 an?1 ? ? ? (ap n ) ? (ap n?1 ) ? a 2 p 2 n?1 , an an?1 an nan? 2 ? np 2 n?1 . pan
…………………………………………8 分

? 当 a ? 1 时, bn ?

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ? ?? n ? p2n?1 , p2 Sn ? 1? p3 ? ?? (n ?1) ? p2n?1 ? n ? p2n?1

① ②

? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p 2 ) Sn ? p1 ? p3 ? ? ? p 2 n?1 ? np 2 n?1 ? p(1 ? p 2 n ) ? np 2 n?1 , 2 1? p

即 Sn ?

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 )2 1 ? p 2
n(n ? 1) , 2

…………………………11 分

而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

…………………………12 分

当 p ? ?1 时, S n ? (?1) ? (?2) ? ? ? (? n) ? ?

n(n ? 1) .………………………13 分 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 ? n(n ? 1) 综上所述, S n ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

……………………………14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知 识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想.

20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) ,点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 F1 F2 、 PF2 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点, 且 F1 M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. y l M N F1 O F2

x2 y 2 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 . a b

F PF ? PF1 、 1F 2 、 2 构成等差数列,
? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1 ,? b ? 3 .
2

x

x2 y 2 ? 1 . ……………………………………………………4 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3

图7

(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? k ? x

代 m 入 椭 圆 C 的 方 程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中 , 得 …………………………5 分

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 .

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k 2 m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 , 化简得: m ? 4k ? 3 .
2 2

…………………………7 分

设 d1 ? F1M ?

?k ? m k 2 ?1

, d2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



…………………………9 分 y l M H N O F2

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? ,

? MN ?

d1 ? d 2 , k

F1

x

S?

2m 2m d 2 ? d22 8 1 d1 ? d2 ,………11 分 ? 2 ? (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4
1 1 4 ? 3? ? 3 ,S ? 2 3. m 3 3
……………………………13 分 ………………………………14 分

? m2 ? 4k 2 ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ? 3 , m ?
当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d12 ? d2 2 ? (

?k ? m k 2 ?1
?

)2 ? (

k ?m k 2 ?1
?

)2 ?

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

d1d 2 ?

?k ? m k 2 ?1

?

k ?m k 2 ?1

m2 ? k 2 k 2 ?1

3k 2 ? 3 ? 3. k 2 ?1

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

2 k 2 ?1



四边形 F1MNF2 的面积 S ?

1 k 2 ?1

( d1 ? d 2 ) ,

…………11 分

S2 ?

1 16k 2 ? 12 2 2 (d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ? 2 k 2 ?1 (k ? 1) 2

? 16 ? 4(

1 ? 2) 2 ? 12 . k ?1
2

………………………………………………13 分

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . …………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合、 化归与转化思想. 21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相切. x

(1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)内的任 意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

解 :( 1 ) 设 点 ( x0 , y0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有 (*) 2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 . 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x x0 由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 、 ……………………………2 分 a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 设 h( x) ? x 2 ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h ??( x ) ? 2 ? ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?(x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1, a ? 1 .…………………5 分
因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ………………………………………6 分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

1 8 ? 0 ,? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk )

成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 . 3 因此, k 的最大值为 13 .

………………………………………10 分

(3)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 (x ? ) . ………………………………………………………11 分 2 x 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ( ? ), 令x ? ,得 ln 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln( 2k ? 1) ? ln( 2k ? 1) ? , ………………………………13 分 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

………………………14 分

(法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边=

4 ,右边= ln 3 , 3 1 ? 2 ln x . x

根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?

1 4 ? 2 ln 3 ,即 ? ln 3 . 3 3
………………………………11 分

因此, n ? 1 时不等式成立. (另解:? e ?

5 5 4 625 4 4 ? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即 ? ln 3 . ,? e ? ( ) ? ) 2 2 16 3 k 4i 假设当 n ? k 时不等式成立,即 ? 2 ? ln(2k ? 1) , i ?1 4i ? 1

则当 n ? k ? 1 时,

? 4i
i ?1

k ?1

k 4i 4i 4(k ? 1) 4(k ? 1) , ?? 2 ? ? ln(2k ? 1) ? 2 2 ? 1 i ?1 4i ? 1 4(k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 2 ? 1

要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln(2k ? 1) ?

4(k ? 1) ? ln(2k ? 3) , 4(k ? 1) 2 ? 1

即证

4(k ? 1) 2k ? 3 ? ln . 2 2k ? 1 4(k ? 1) ? 1
1 2k ? 3 ? 2 ln x 中,令 x ? ,得 x 2k ? 1

在不等式 x ?

ln

2 k ? 3 1 2 k ? 3 2k ? 1 4(k ? 1) . ? ( ? )? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 3 4(k ? 1) 2 ? 1

? n ? k ? 1 时命题也成立.
根据数学归纳法,可得不等式

………………………………………13 分

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) 对一切 n ? N * 成立. …14 分 ?1

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与 证明、数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意 识. 命题: 喻秋生、姚亮、宋晓勤 审题:魏显峰


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