广东省潮州市2014-2015学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 Word版含答案


潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、设集合 U ? ?1, 2,3, 4? , ? ? ?1, 2,3? , ? ? ?2,3, 4? ,则 ?U ? ? ? ? ? ? ( A.?1, 2? B.?2,3? C.?1, 4? ) ) D.?2,4?

2、已知平面 ? 内有无数条直线都与平面 ? 平行,那么( A. ? //? C. ? 与 ? 重合

B. ? 与 ? 相交 D. ? //? 或 ? 与 ? 相交 ) D. f ? x ? ?
1 x

3、下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A. f ? x ? ? 2x B. f ? x ? ? ln x

C. f ? x ? ? log 1 x
3

4、函数 f ? x ? ? ex ? x 的零点所在的一个区间是( A. ? ?2, ?1? B. ? ?1,0? )

) C. ? 0,1? D. ?1, 2?

5、下列四个等式中,一定成立的是( A. log a x ? log a y ? log a C. n a n ? a
x y

B. a m ? a n ? a mn D. lg 2 ? lg 3 ? lg 5 )
1 D. 2

x ? ? ? 1 ?? ?3 ? x ? 0 ? 6、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ? ? ? ? ( ? ? 2 ?? ? ?log3 x ? x ? 0 ?

A.?1

B.2

C. 3 )

7、直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为( A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0

1

8、如图,正方形 ??????C? 的面积为 4 ,它是水平放置的一个平 面图形的直观图,则原图形的周长为( A. 4 3 ? 4 B. 16
2

) D. 4 2 ? 4
2

C. 12

9 、直线 x ? y ? 3 ? 0 被圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 截得的弦长等于 ( A. )
6 2

B. 2 3

C. 3

D. 6

10、已知 f ? x ? ? a x , g ? x ? ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 ) ,若 f ?1? ? g ? 2? ? 0 ,那么 f ? x ? 与

g ? x ? 在同一坐标系内的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11、直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是 .

12 、 圆 心 为 ?1,1? 且 与 直 线 x ? y ? 4 相 切 的 圆 的 方 程 是 . 13、 已知奇函数 y ? f ? x ? 满足当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x ? a , 则 f ? ?1? ? .

14、从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图所 示,则该几何体的体积为 .

2

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 15、 (本小题满分 6 分)已知集合 ? ? ? x x ? 2 ? 0? ,集合 ? ? ? x x ? 5? .

?1? 求 ? ? ? ; ? 2 ? 求 ??R ?? ? ? .

16、 (本小题满分 8 分)证明函数 f ? x ? ?

1 ? 1在 ? 0, ??? 上是减函数. x

17、 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中, 已知三个点的坐标分别为:? ? 0,0? ,

? ? 2,2? , C ? 4,0? .

?1? 若过点 C 作一条直线 l ,使点 ? 和点 ? 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程; ? 2 ? 求 ???C 的外接圆的方程.

3

18、 (本小题满分 10 分) 如图所示, 四棱锥 ? ? ??CD 中, 底面 ?? CD 是矩形,?? ? 平面 ?? CD , ? 、 ? 分别是 ?? 、 ? C 的中点, ?? ? ?D . ?1? 求证: ?? // 平面 ??D ;

? 2 ? 求证:平面 ??C ? 平面 ?CD .

19、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? x .

?1? 求函数 f ? x ? 的定义域并判断函数的奇偶性; 若记 f ? x ? ? t , 求函数 F ? x ? 的最大值的表达式 g ? m? . ? 2? 设 F ? x ? ? m 1 ? x2 ? f ? x ? ,

4

潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 B 9 D 10 C

1. C 提示: M ? N ? {2,3} , CU ( M ? N ) ? {1, 4} 4.B

f (?1) f (0) ? 0
n n
n n

5.A 提示: B 选项应改为 a m ? a n ? a m ? n , C 选项当 n 为奇数时 a ? a , 当 n 为偶数时 a ? a 6.D 提示 3
log3 1 2

?

1 2

7.A 提示:利用(x,y)关于 x 轴对称点为(x,-y) ,则 3x+4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程 为 3x-4y+5=0 9.D 提示:圆心(-2,2)圆心到直线的距离为 d ?

?2 ? 2 ? 3 12 ? (?1) 2

?

2 ,圆的半径为 2 ,所以 2

弦长为 2 ? ( 2) 2 ? (

2 2 ) ? 6 2

10.C 提示:? f (1) f (2) ? a1 log a 2 ? 0,? log a 2 ? 0, 则0 ? a ? 1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 11.

150o

12. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8
2 2

13. -2

14.

5 6

11.提示: y ? ?

3 1 3 x ? , k ? tan ? ? ? ,? 0 ? ? ? 180o ,?? ? 150o 3 3 3

12. 提示:圆心到直线的距离为 d ?

1 ?1 ? 4 12 ? (?1) 2
2

? 2 2 ,因为圆和直线相切,所以圆的半径

为 2 2 ,所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8
2

5

13. 由奇函数可知 f (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 ,故 f (?1) ? ? f (1) ? ?2 14. 提示:该几何体是正方体切去一个角。 1? 1? 1 ? 1? 1?

1 1 5 ? 1? ? 2 3 6

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 44 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (1) A ? B ? R ………………3 分 (2) CR A ? {x x ? 2} , (CR A) ? B ? {x x ? 2} …………6 分 16.证明: 设 x1,x2 是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x1 < x2,………2 分

f (x1)- f (x2) =

1 1 -1- ( -1) x1 x2

……4 分

=

1 1 x2 ? x1 - = . x1 x2 x1 x2

…… …6 分

因为 x2- x1 >0,x1x2 >0 , 所以 f (x1)- f (x2) >0. 即 f (x1)> f (x2) 因此 f (x) =

1 -1 是(0,+∞)上的减函数. x

……8 分

17、 (1)依题意可知,直线斜率存在。故设直线的斜率为 k , 由于直线过点 C(4,0) ,故直线方程可表示为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ……1 分 因为点 A(0,0) ,B(2,2)到直线的距离相等, 所以

| ?4k | k2 ?1

?

| 2k ? 2 ? 4k | k2 ?1
1 3

………………………………3 分

解得 k ? 1 或 k ? ?

………………………………5 分

故所求直线方程为 y ? x ? 4 或 y ? ?
2

1 4 x? 3 3
2

………………………………7 分

(2)设 ?ABC 的外接圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? F ?0 ? 代入 A,B,C 的坐标,得 ?4 ? 4 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ………………………………8 分 ?16 ? 4 D ? F ? 0 ?
解得 D ? ?4,

E ? 0, F ? 0

………………………………9 分

6

故所求 ?ABC 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0

………………………………10 分

18.证明:如答图所示,⑴设 PD 的中点为 E,连结 AE、NE,

P E D A M B N C

1 DC,………1 分 2 1 又 ABCD 是矩形,∴DC ? // AB,∴EN ? // AB………2 分 2
由 N 为 PD 的中点知 EN ? // 又 M 是 AB 的中点,∴EN ? // AM, ∴AMNE 是平行四边形……3 分 ∴MN∥AE,而 AE ? 平面 PAD,NM ? 平面 PAD ∴MN∥平面 PAD………5 分 证明:⑵∵PA=AD,? PD 的中点为 E,∴AE⊥PD,………6 分 又∵PA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, ∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD………8 分 ∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面 PCD, ∵MN∥AE,∴MN⊥平面 PCD,……9 分 又 MN ? 平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PCD. ……10 分

19.解: (1)函数 f ( x) 有意义,须满足 ? 故函数定义域是{x|-1≤x≤1}---2 分

?1 ? x ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 , ?1 ? x ? 0

因为 f (? x) ? 1 ? x ? 1 ? x ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 是偶函数。……………………4 分 (2)设 f ( x) ? t ,则 1 ? x 2 ?
2

1 2 t ? 1 , ∵ [ f ( x)]2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 , 0 ? 1 ? x 2 ? 1 2

∴ 2 ? [ f ( x)] ? 4 ,∵ f ( x) ? 0 ,∴ 2 ? f ( x) ? 2 , 即函数 f ( x) 的值域为 2 ,2 ,即 t ? [ 2, 2] ∴ F ( x) ? m( t 2 ? 1) ? t ? 令 h(t ) ?

? ?

1 2

1 2 mt ? t ? m , t ? [ 2, 2] 2

………………………………6 分

1 2 1 mt ? t ? m ∵抛物线 y ? h(t ) 的对称轴为 t ? ? 2 m 1 ①当 m ? 0 时, ? ? 0 ,函数 y ? h(t ) 在 [ 2, 2] 上单调递增,∴ g (m) ? h(2) ? m ? 2 ; m
7

②当 m ? 0 时, h(t ) ? t , g (m) ? 2 ③当 m ? 0 时, ?

……………………8 分

2 1 1 时,函数 y ? h(t ) 在 [ 2, 2] 上单调递 ? 0 ,若 0 ? ? ? 2, 即 m ? ? 2 m m
2;

减,∴ g (m) ? h( 2) ? 若 2?? 若?

2 1 1 1 1 ; ? m ? ? 时, g (m) ? h(? ) ? ?m ? ? 2, 即 ? 2 2 m m 2m

1 1 ? 2, 即 ? ? m ? 0 时,函数 y ? h(t ) 在 [ 2, 2] 上单调递增, m 2
……………………9 分

∴ g (m) ? h(2) ? m ? 2 ;

1 ? ?m ? 2, (m ? ? 2 ) ? 1 2 1 ? , (? ?m?? ) 综上得 g (m) ? ?? m ? 2m 2 2 ? ? 2 ) ? 2.(m ? ? 2 ?

……………………10分

8


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