江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 立体几何 1平面的基本性质及空间两直线的位置关系教学案


平面的基本性质及空间两直线的位置关系
【教学目标】了解空间点、线、面的位置关系,能用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系. 【教学重点】运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【教学难点】平面的基本性质及空间两直线的位置关系. 【教学过程】 一、知识梳理: 1.平面的基本性质:(四条公理、三条推论、二个定理) 公理 1:如果一条直线上的___________________,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有____________,那么它们还有其他________,这些_________的集合是经过 这个_________的一条________. 公理 3:经过不在__________________,有且只有一个平面. 推论 1:经过_______________________________________,有且只有一个平面; 推论 2:经过_______________________________________,有且只有一个平面; 推论 3:经过_______________________________________,有且只有一个平面. 公理 4:平行于___________的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 2.空间两条直线的位置关系: 位置关系 两 条 直 线 共 面 相交 图 示 并且方向 表示方法 ,那么这两个角 交点个数 .

平行

两条直线异面: 不同在任何一个平面内

3.异面直线所成的角:①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 把 a′与 b′所成的 叫做异面直线 a,b 所成的角.②范围: .

4.异面直线判定定理:过________与_______的直线,和这个_____不经过______的直线是_____直线. 二、基础自测: 1.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有 个.

2.已知 ? ? ? ? l , m ? ? , n ? ? , m ? n ? P 则点 P 与直线 l 的位置关系用符号表示______________. 3.空间中有两直线,则“两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的 4.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
1

条件.

①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是_______ _.

三、典型例题: 例 1.“ a , b 是异面直线”是指: (1) a ? b ? ? ,且 a 不平行于 b ; (2) a ? ? , b ? ? , 且 a ? b ? ? ; (3) a ? ? , b ? ? , 且 ? ? ? ? ? ; (4) a ? ? , b ? ? ; (5)不存在平面 ? ,使 a ? ? 且 b ? ? 成立.上述结论中,正确命题的序号是 【变式拓展】如果 a , b 是异面直线,P 是不在 a , b 上的任意一点,下列四个结论: ①过 P 一定可作直线 l 与 a , b 都相交; ②过 P 一定可作直线 l 与 a , b 都垂直; .

③过 P 一定可作平面 ? 与 a , b 都平行; ④过 P 一定可作直线 l 与 a , b 都平行. 其中正确的结论有 个.

例 2.如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于点 O. 求证:B、D、O 三点共线.
A

E D B F

H O G C

【变式拓展】如图,已知:E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC、CC1、C1D1 的 中点,证明:FE、HG、DC 三线共点.

例 3.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问:
2

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

【变式拓展】如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中点,O 为 面 BCC1B1 的中心. (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写作法,不必证明) ; (2)求 PQ 的长.

四、课堂反馈: 1.已知直线 a 和平面 α ,β ,α ∩β =l,a?α ,a?β ,且 a 在 α ,β 内的射影分别为直线 b 和 c, 则直线 b 和 c 的位置关系是________. 2.空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件. 3.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为________. 4.已知 A、B 表示不同的点,l 表示直线,α 、β 表示不同的平面,则下列推理错误的是________. ①A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ? l? α ; ②A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ? α ∩β =

AB;
③l?α ,A∈l? A ? α ; ④A∈α ,A∈l? l∩α =A.

五、课后作业: 1.若三条直线可以确定 3 个平面,那么这三条直线的公共点个数是

学生姓名:___________ .

2.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, 那么四边形 EFGH 的形状是_______ . 3.给出命题:①若 A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ,则 l ? ? ;②若 A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? , 则 ? ? ? ? AB ;③若 l ? ? , A ? l ,则 A ? ? ;④若 A.B, C,? ? , A, B, C ? ? ,且 A, B, C, 不共线, 则 ? 与 ? 重合.上述命题中,真命题个数是 .
3

4.梯形 ABCD 中,AB∥CD,直线 AB、BC、CD、DA 分别与平面 ? 交于点 E、G、F、H, 那么一定有 G 5.有以下命题: ①若平面 α 与平面 β 相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有 且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一 个平面.其中,真命题的个数是_____ 6.下列三个命题: ①若直线 a、b 异面,b、c 异面,则 a、c 异面; ②若直线 a、b 相交,b、c 相交,则 a、c 相交; ③若 a∥b,则 a、b 与 c 所成的角相等.其中真命题的个数是_______ 7.给出下列命题: ①若平面 α 内的直线 a 与平面 β 内的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与 β 的交线,那么直线 c 至多与 a、b 中的一条相交; ②若直线 a 与 b 为异面直线,直线 b 与 c 平行,则直线 a 与 c 异面; ③一定存在平面 α 和异面直线 a、b 同时平行.其中正确命题的序号是__________. 8.a,b,c 是空间中的三条直线,下面四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a? 平面 α ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线;④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是_______ _.(只填序号) . _. 直线 EF,H 直线 EF.

9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确结论的序号都填上). 10.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

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