重庆南开中学高2013级考前模拟测试卷文科数学能力测试


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重庆南开中学高 2013 级考前模拟测试卷文科数学能力测试
数学试题(文史类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净 后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。 5.考试结束,将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 项符合题目要求.
1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, A ? {2, 4,5,7}, B ? {3, 4,5}, 则 (CU A) ? (CU B) ? ( A. {1, 6} B. {4,5} C. {2,3,7} D. {2,3, 4,5,7} )

2.已知向量 a ? (2, 4), b ? ( x,1), 且 a ? b, 则的值为( A. ?2 B. C. ?

?

?

?

?

) D.

1 2

1 2
)

3.已知集合 A, B 满足: A ? B ? A, 且 A ? B, 则“ x ? A ”是“ x ? B ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.以点 (2,1) 为圆心,且与直线 y ? 2 x ? 1 相切的圆的方程为( A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

16 5 16 5

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

4 5 5 4 5 5

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

5.在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? a14 ? 27, 则其前 11 项的和 S11 ? ( A.

) D. 89

99 2

B. 99

C. 198

6.三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学生相邻排列的概率 是( ) A.

1 30

B.

1 15

C.

7.函数 f ( x) ? sin(? ? x) ? 3 sin(

?
2

1 5
)

D.

1 10

? x) 图像的一条对称轴为(

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A. x ?

2? 3

B. x ? D. x ?

? ?
6 3
C1 B1

C. x ? ?

?
6

8.如题 8 图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 1, 在棱 BB1 上,且 BD ? 1, 则 AD 与平面 AAC1C 所成 1 角的正弦值为( ) A1 D

2 A. 2
C.

3 B. 2
D.

6 4

10 4

C 题8图

B

x2 y 2 9.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的左、右焦点,过 F 且垂直于轴的直线与双曲线交于 A, B 两 1 A a b
点,若 ?ABF2 为钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, ??) C. (1, 2 ? 1) 10.已知函数 f ( x) ? 且 f (?1) ? 0, 则 B. ( 2 ? 1, ??) D. (1, 3) )

1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a ? 0), 记 g ( x) 为它的导函数,若 f ( x) 在上存在反函数, 3 2
)

g (2) 的最小值为( g ' (0)
B.

A.

5 2

C.

D.

3 2

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11. 由于甲流暴发, 防疫站对学生进行身体健康调查, 对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生 1600 名,抽取一个容量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 20 人,则该校的女生人数应是 _______人. 12.二项式 ( x ? ) 的展开式中的常数项为__________.
6

2 x

?y ? x ? 13.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2, 则目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为__________. ?y ? 0 ?
?1 14.已知函数 f ( x ) 为上的减函数,且值域为 R, 点 A(?1, 2) 和点 B(1,1) 在 f ( x ) 的图像上, f ( x) 是它的

1 3

1 5

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反函数,则不等式 | f ?1 (log2 x) |? 1 的解集为_______________. 15.把数列 {

1 }(n ? N* ) 的所有项按照从大到小的 2n ? 1
k ?1

原则写成如右图所示的数表,其中的第 k 行有 2

个数,

第 k 行的第个数(从左数起)记为 A(k , s), 则 A(10, 495) ? _____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推 理过程.
16.(本小题满分 13 分) 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c, 若 m ? (2 cos

??

? ?? ? 1 A n ? (? cos , cot A), 且 m ? n ? . 2 2
(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 b ? c ? 4, ?ABC 的面积为 3, 求

A , tan A), 2

17.(本小题满分 13 分) 在一次数学考试中,共有 10 道选择题,每题均有四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,评分 标准规定: “每道题只选一个选项,答对得 5 分,不答或答错得零分”.某考生已确定有 6 道题是正确的, 其余题目中:有两道题可判断两个选项是错误的,有一道可判断一个选项是错误的,还有一道因不理解题 意只好乱猜,请求出该考生: (Ⅰ)得 50 分的概率; (Ⅱ)得 40 分的概率.

18.(本小题满分 13 分 ) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PD ?

P

D F

C

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面 ABCD, PD ? 2, E , F 分别为 BC , AD 的中点, (Ⅰ)求直线 DE 与面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 P ? BF ? D 的正切值.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x
' (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 [1 ? 2, ??) 是增函数,导函数 f ( x) 在 (??,1] 上是减函数,求的值;

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? f ' ( x) ? 3x 2 , 求 g ( x) 的单调区间.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右顶点分别为 A、B, 曲线是以椭圆中心为顶点,为焦点的抛物线. 4

(Ⅰ)求曲线的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? 值范围.

???? ???? ? k ( x ? 1) 与曲线交于不同的两点 M、N , 当 AM ? AN ? 17 时,求直线 l 的倾斜角 ? 的取

21.(本小题满分 12 分) 设各项为正的数列 ?an ? 的前项和为 Sn 且满足: (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)求 Tn ?

Sn an ? 1 ? . an 2

1 1 1 ? ?…? ; S1 S2 Sn
*

(Ⅲ)设 m, n, p ? N 且 m ? n ? 2 p, 求证:

1 1 2 ? 2 ? 2. 2 Sm Sn S p

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数学(文史类)参考答案
一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1~5 AABCB 6~10 DCCBA 10. f ' ( x) ? ax2 ? bx ? c, 即 g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0). ? f (x) 在上存在反函数,且 a ? 0, ∴ g ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,即 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 对 x ? R 恒成立. ∴ ? ? b2 ? 4ac ? 0, 从而 c ? 0, 又 f (?1) ? 0, 即 ? a ?

1 3

1 1 1 b ? c ? 0, ∴ b ? a ? c ? 0, 从而 b ? 0, 于是 2 2 3

g (2) 4a ? 2b ? c ?a c 4ac ? ? 2? ? ? 2?2 ? 2 ? 2 ?1 ? 4, 故选 A. ' g (0) b b b b2

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分.
题号 答案 11 12 13 14 15

720
8

60

(2, 4)

1 2011

15.前 9 行共有 1 ? 2 ? … ? 2 ?

1? (1 ? 29 ) ? 511 个数, 1? 2

所以 A(10, 495) 是数列 { 即 A(10, 495) ?

1 } 中的第 1006 项, 2n ? 1

1 . 2011

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 m ? n ? (Ⅱ)由 S ?ABC

?? ?

1 A 1 1 , 得 ?2 cos 2 ? 1 ? ? cos A ? ? , 所以 A ? 120? ????6 分 2 2 2 2 1 1 ? bc sin A ? bc sin120? ? 3, 得 bc ? 4, ??????9 分 2 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? (b ? c)2 ? bc ? 12, 所以 a ? 2 3 .??13 分
17.(本小题满分 13 分) 解:设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件 A, “有一道可判断一个选项是错 误的”选择对为事件 B, “有一道因不理解题意”选择对为事件 C , 则

1 1 1 P ( A) ? , P ( B ) ? , P (C ) ? 2 3 4 1 1 1 1 1 ; ????????6 分 (Ⅰ)得 50 分的概率为 P ? ? ? ? ? 2 2 3 4 48

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(Ⅱ)得 40 分的概率为 P ? 18.(本小题满分 13 分)

1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 17 1 1 1 1 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; ?13 分 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
P

解:(Ⅰ)取 PC 的中点 N , 连接 DN , EN ,

? PD ? 面 ABCD, ∴PD ? BC ,
又由题意,有 BC ? DC D M A F

N

∴BC ? 面 PDC, ∴面 PBC ? 面 PDC,
又 PD ? DC 知 DN ? PC,

C E B

∴DN ? 面 PBC,
所以 ?DEN 为直线 DE 与面 PBC 所成的角,????4 分 由题意 DN ? 2, DE ? 5, 所以 sin ?DEN ?

2 10 ? . ??????7 分 5 5

(Ⅱ)过作 DM ? BF , 交 BF 的延长线于 M , 连接 PM ,

? PD ? 面 ABCD, 所以 PM 在面 ABCD 内的射影为 DM , ∴PM ? BF ,
所以 ?PMD 为二面角 P ? BF ? D 的平面角??????10 分 由 Rt ?DMF 与 Rt ?BAF 相似,所以 所以 tan ?PMD ? 19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3, ??????1 分

DM DF 2 ? ? DM ? AB BF 5

PD ? 5 ????????13 分 DM

? f (x) 在 [1 ? 2 ,??) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 在 [1 ? 2 ,??) 恒成立
即a ?
'

3x 2 ? 3 3x 2 ? 3 )min ? 3 ?????3 分 在 [1 ? 2, ??) 恒成立 ? a ? ( 2x 2x
a ? 1 ? a ? 3, ????????5 分 3
2 3 2

又? f ( x) 在 (??,1] 上是减函数,∴

∴a ? 3. ???????6 分
(Ⅱ) g ( x) ? x ? ax ? 3x ? (3x ? 2ax ? 3) ? 3x ? x ? ax ? (3 ? 2a) x ? 3
3 2 2

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g ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? 0 ? x1 ? 1, x2 ?
(ⅰ)当 a ? 3 时, x, g ' ( x), g ( x) 的变化如下表:

2a ? 3 ??????8 分 3

(??,1)

(1,
0

2a ? 3 ) 3

2a ? 3 3
0

(

2a ? 3 , ?? ) 3

g ' ( x)
g ( x) ?

?

?

∴增区间为: (??,1), (

2a ? 3 2a ? 3 , ??); 减区间为: (1, ) ??????10分 3 3

(ⅱ)当 a ? 3 时, x, g ' ( x), g ( x) 的变化如下表:

( ??,

2a ? 3 ) 3

2a ? 3 3
0

(

2a ? 3 ,1) 3
0

(1, ??)

g ' ( x)
g ( x) ?

?

?

∴增区间为: (1, ??), (??, 20.(本小题满分 12 分)

2a ? 3 2a ? 3 ); 减区间为: ( ,1). ?????12分 3 3

解:(Ⅰ)依题意得: A(?2,0), B(2,0), ∴曲线的方程为 y ? 8x. ??????4 分
2

(Ⅱ)由 ?

? y ? k ( x ? 1) ? ? y ? 8x ?
2

得: kx ? (2k ? 8) x ? k ? 0,
2

由?

?? ? ( 2k ? 8) 2 ? 4k 2 ? 0 ? k ? 0 ????7 分 ?k ? 0

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则: x1 ? x2 ?

∴ AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 )( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ????9 分

???? ???? ?

2k ? 8 , x1 x2 ? 1, k

? (k ? 1) x1 x2 ? (2 ? k )( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ?
∴ 0 ? k ? 1, ∴ ? ? (0, 21.(本小题满分 12 分)

?
4

16 ? 1 ? 17 k

]. ??????12 分

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解:(Ⅰ)?

Sn an ? 1 ? , ∴ 2Sn ? an 2 ? an (n ? 1)……①, 2Sn?1 ? an?12 ? an?1 (n ? 2)……② an 2

①-②得: 2an ? an 2 ? an?12 ? an ? an?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0

? an ? 0, ∴ an ? an?1 ? 1, 故 {an } 为等差数列,又在①中令 n ? 1 得 a1 ? 1,
∴ an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ??????4 分 (Ⅱ)? an ? n,∴S n ? ∴ Tn ?

n(n ? 1) , 2

1 1 1 2 2 2 ? ??? ? ? ??? S1 S2 Sn 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 2n ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? . ??????8 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
(Ⅲ)? m ? n ? 2 p, ∴ mn ? p 2 , ??????9 分 ∴ Sm Sn ?

1 1 mn[(a1 ? am )(a1 ? an )] ? mn[a12 ? a1 (am ? an ) ? am an ] 4 4

1 mn (a ? a p ) p 2 2 ? mn(a12 ? 2a1a p ? a 2 ) ? 2 [ 1 ] ? S p , ??????11 分 p 4 p 2


1 1 2 1 1 1 2 ? 2 ? 2 2 2 ? 2 , 即 2 ? 2 ? 2 . ????????12 分 2 Sm Sn S p Sm Sn Sm Sn S p


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