金堂中学高2014届理科数学周练29


金堂中学高 2014 届理科数学周练 29 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 2?i 2 1.复数 ( ) =( ) i
A.-3 -4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 2.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 则该几何体的体积是( ) A.8 B. 如图所示,

20 3

C.

17 3

D.

14 3

3.等比数列{an}中, “公比 q>1”是“数列{an}单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列命题是假命题的是( ) A.命题“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的逆否命题为:“若 x ? 3 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”;
2 2

B.若 0 ? x ?

?

2

2 , 且 x sin x ? 1 ,则 x sin x ? 1 ;

C.互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线; D. “ x ? 2 ”是“ 5.函数 f ( x) ?

3 ? 1 ? 0 ”的充分不必要条件; x ?1
( C.关于 x 轴对称 ) D.关于 y 轴对称

e2 x ? 1 的图象 ex

A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称

? x ? y ? 1, ? 6.设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 0, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A.6 B.4 C.2 D.



3 2


7. 若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有( A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 8. 已知直线 m、l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; 其中正确命题的个数是 A.1 ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ( C.3 ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ; ) D.4

④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ?

B.2

9.已知函数 f ( x ) 满足 f (2 x ? 1) ? A. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0

1 f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ,则函数 f ( x) 在 ?1 ,f (1) ? 处的切线是( ) 2
C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0

B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0

10. 函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上有定义,若对任意 x1, x2 ??a, b? ,有 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f ( x) 2 2

在 ? a, b? 上具有性质 P.设 f ( x ) 在 ?1,3? 上具有性质 P,现给出如下命题:
周练 29 1

① f ( x ) 在 ?1,3? 上的图像时连续不断的;② f ( x2 ) 在[1, 3 ]上具有性质 P; ③ 若 f ( x ) 在 x ? 2 处 取 得 最 大 值 1 , 则 f ( x ) ? 1, x ??1,3? ; ④ 对 任 意 x1 ,x2,x3,x4 ??1,3? , 有

f(

x1 ? x 2 ? x 3? x 4 1 ) ? [f ( x1 ? ) f x (2 ? ) f x (3 ?) f x ( 4 ,)] 4 2
) C.②④ D.③④ B.①③

其中真命题的序号是 ( A.①②

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. ? x 2 ?

? ?

1? 4 ? 展开式中 x 的系数为 x?

5

(用数字作答) .

12.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W=_________.

T=T+2 开始 S=0 ,T=0 S=T-S

否 S≥6? 11题图 是 W=S+T 输出W 结束
2 .过 F1 的直线 l 2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________________.

14. P 是圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 上的一个动点,A( 3 ,1),则 OP ? OA 的最小值为______ 15.给出下列五个命题中,其中所有正确命题的序号是_______. ①函数 f ( x) ?

??? ? ??? ?

x 2 ? 3x ? 3

x 2 ?5 x ? 4

的最小值是 3

2 ②函数 f ( x) ?| x ? 4 | , 若 f (m) ? f (n), 且 0 ? m ? n ,则动点 P(m,n) 到直线

5x ? 12 y ? 39 ? 0 的最小距离是 3 ? 2 2 . , ③命题“函数 f ( x) ? x sin x ? 1 当 x1,x2 ? ? ?

? ? ?? 有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”是真命题. , ,且 | x1 |?| x2 | 时, ? 2 2? ?

、 OB 为不共线的向量,又 OC ? a1OA ? a4026 OB, ④已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,OA 若 CA ? ? AB ,
则 S4026 ? 2013 .

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

周练 29

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 成都为增强市民的交通安全意识,面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通,把 符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组:第 1 组 ?20,25? 、第 2 组 ?25,30? 、第 3 组 ?30,35? 、第 4 组 ?35,40? 、 第 5 组 ?40,45? ,得到的频率分布直方图如图所示: ⑴求年龄在 [ 25 ,40 )的频率及中位数; ⑵若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿 者在五一节这天到广场协助交警维持交通,江油市决定 在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者到学校宣讲交通 安全知识,若 ? 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数, 求 ? 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 2n ? 2an . (I)证明:数列{ an +2}是等比数列,并求数列{ an }的通项公式 an ; (Ⅱ)若数列{ bn }满足 bn ? log2 ( an ? 2 ) ,求证:

1 1 1 ? 2 ? ... ? 2 ? 1 . 2 b1 b2 bn

周练 29

3

18. (本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC ,侧棱 AA1 与底面 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是线段 BC1 上一点, ABC 成 60° 1 且 BE ? BC1 . 3 (1)求证: GE // ?侧面 AA1 B1 B ; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值; (3)在直线 ..AG 上是否存在点 T,使得 B1T ? AG ?若存在,指出点 T 的位置;若不存在,说明理由.

第 18 题图

19 、

是 2km ,

BC 与河岸垂直,垂足为 D. 现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A, B 供电.修建地下电缆、水下电缆的费用
分别是 2 万元 / km 、 4 万元 / km . (I)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆 AB ,需要改 造旧电缆的改造费用是 0 .5 万元 / km . . 现决定利用旧电 缆修建供电线路, 并要求水下电缆长度最短, 试求该方案 总施工费用的最小值; (Ⅱ)如图②,点 E 在线段 AD 上,且铺设电缆的线 路为 CE, EA, EB .若 ?DCE ? ? ,(0 ? ? ?

?
3

) ,试用 ?

表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小 值.

周练 29

4

20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T) ,与抛物线
2

交于不同的两点 P,Q 且 F1 P ? F2Q ? ?5 . (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程;

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的取值范围.

???? ?

???? ?

??? ???

周练 29

5

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? ) ,且 f ( x) 在 x ? (1)求 y ? g ( x) 的解析式; (2)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; (3)证明:若 ai ? 0 , (1 ? i ? n, i,? N ? ) ,且

1 x

1 处的切线方程为 y ? g ( x) . 2

? ai ? 1 ,则 (a1 ?
i ?1

n

1 1 1 n2 ? 1 n )(a2 ? ) ??? (an ? ) ? ( ) . a1 a2 an n

周练 29

6

金堂中学高 2014 届理科周练 29 参考答案 一、选择题: 1. 【答案】A【解析】解:因为 (

2 ? i 2 3 ? 4i ) ? ? ?3 ? 4i ,故选 A i ?1
3

2. 【答案】C【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, V ? 2 ? ? ( ? 2 ? 2 ? ) ? 2 ? 3. 【答案】D【解析】a1<0,q>1 时,{an}递减。a1<0,0<q<1 时,{an}递增

1 1 3 2

1 2

17 3

4. 【答案】C 【解析】本题考查命题的四种形式和关系及和充分必要条件的判定,选项 A,根据命题的四种形式,可知命 题:“ 若p,则q ”的逆否命题是 若?q,则?p ,故选项 A 说法正确;选项 B ,因为 0 ? x ?

?

2

, 所以

0 ? sin x ? 1,则 x sin 2 x ? sin x ,所以有 x sin 2 x ? sin x ? 1 ,故该命题正确;选项 C,当两条平行线和投 3 ?1 ? 0 , 影面垂直时, 两条平行线在这个平面内的射影是两个点, 显然该命题不正确; 选项 D, 解不等式 x ?1 3 ? 1 ? 0 ”的充分不 得 ?x | x ? ?1 或x ? 2? ,因为 ?x | x ? 2? ? ?x | x ? ?1 或x ? 2? ,所以“ x ? 2 ”是“ x ?1
必要条件,D 正确. 5. 【答案】D【解析】 f ( ? x) ?

e ?2 x ? 1 1 ? e 2 x ? ? f ( x) e?x ex

? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称.

6. 【答案】 C【解析】由题意可得,在点 B 处取得最小值,所以 z=2,故选 C 7. 【答案】A【解析】 若四个数之和为奇数,则有 1 奇数 3 个偶数或者 3 个奇数 1 个偶数。若 1 奇数 3 个 1 3 3 1 偶数,则有 C5 C4 =20 种,若 3 个奇数 1 个偶数,则有 C5 C4 =40 ,共有 20 ? 40=60 种. 8. 【答案】B【解析】①④对,②③错 9. B【解析】本题考查复合函数导数的求法和利用导数求曲线的切线方程问题,难度中等 .令 x ? 1 得,

1 1 f (1) ? 12 ? 1? 2 , f (1) ? 4 , 两 边 取 导 数 得 , 2 f ?(2 x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 , 令 x ? 1 得 , 2 2 1 2 2 2 f ? (1) ? f (1) ? ?2 , 1 f ?(1) ? , 所 以 函 数 f ( x) 在 ?1 即 ,f (1) ? 的 切 线 方 程 是 y ? 4 ? ( x ? 1), 2 3 3 f (1) ?

2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,选 B.

10. 【答案】 D 【解析】

所以①错;

2 2 对于②, f ( x) ? ? x 在 ?1,3? 上具有性质 P,而 f ( x ) ? ? x 显然不具备性质 p;所以②错;对于③,在 ?1,3?

中 任 取 一 个 数 x (? 1 ? x ? 1), 另 一 个 数 4 ? x 同 样 也 落 在 ?1, 3 ? 内 , 因 为 f (2)? 1? fma x (x ). 又 因为

f(

x?4? x 1 ) ? [ f ( x) ? f (4 ? x)] , 即 f ( x)? f ( 4 ? x? ) .2 ?4 x ? ), 所 1 以 又 因 为 f ( x)? 1 ,f ( 2 2

f ( x)? 1 ,f ( ?4 x ? ,所以③对. ) 1
周练 29 7

x ? x2 ? x3 ? x4 对于④, f ( 1 )? f( 4

x1 ? x2 x3 ? x4 ? 2 2 ) ? 1 [ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x3 ? x4 )] 2 2 2 2

1 1 1 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x3 ) ? f ( x4 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] ,所以④对; 4 4 2
【点评】本题考查抽象函数的性质及具体运算,代换的思想方法;在判断命题时,不仅可以利用特例来感受 命题的真假,还可以通过有效的严谨推理来判断.---2012 年福建高考题 二、填空题
r 11. 【答案】10【解析】 Tr ?1 ? C5 ( x 2 )5? r ( ) r ? C5r x10?3r ,10-3r=4,r=2,代入得

1 x

T3 ? C52 x 4 ? 10 x 4
12. 答案:16 x2 y2 x2 y2 13.【答案】 + =1 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 16 8 a b 2 2 2 2 b b 1 因为离心率为 ,所以 = 1- 2,解得 2= ,即 a2=2b2. 2 2 a a 2 又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|) =2a+2a=4a,,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,所以椭圆方程为 + =1. 16 8 14.【答案】2( 3 -1)【解析】如图:作 PQ?OA 于 Q,CD?OA 于 D,根据向量数量积的几何意义得

x2

y2

??? ? ??? ? OP? OA min=|OA|?|OQ|min=|OA|?|OT|=2 (|OD|-1)=2( 3 -1)方法二(参数法) :可以设 P(1+cosα ,
利用三角函数解决。

3 +sinα ),

2 ? ? x ? 3x ? 0 15. 【答案】1①③④【解析】在①中,函数的定义域是 ? 2 解得: x ? ? ??, 0? ? ?4, ? ?? ,当 ? ? x ? 5x ? 4 ? 0

x ? ? ??, 0? 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? 3
?3
x2 ?5 x?4

x 2 ?5 x ? 4

是减函数, f (0)min ? 3, 当 x ?? 4, ? ? ? 时 f ( x) ?

x 2 ? 3x

是增函数, f (4)min ? 9 ? 3, 所以 x ? ? ??, 0? ? ?4, ? ?? , f ( x)min ? 3 .①正确.
2 2 2

2 ? n ? 2 2 ,? f (m) ?| m ? 4 |? 4 ? m , 在②中,由图像知, 0 ? m ? 2, f (n) ?| n ? 4 |

? n2 ? 4, ? f (m) ? f (n) ? 4 ? m2 ? n2 ? 4 ,即 m2 ? n2 ? 8 ,则动点 P(m,n) 的轨迹是以
O(0, 0) 为圆心,半径 r ? 2 2 的圆(虚线) ,所以点 P(m,n) 到直线 5x ? 12 y ? 39 ? 0 的最小距离是 d ? r
( d 是点 P 到直线的距离) ,? d ?

| 5 ? 0 ? 12 ? 0 ? 39 | ? 3 ,? d ? r ? 3 ? 2 2 ,因为是点 P 的值取不到, 13

所 以 d ? r 也 不 能 取 到 最 小 值 . 故 ② 错 . 在 ③ 中 , 函 数 f ( x) ? x sin x ? 1 是 偶 函 数 , 且 x ? ?0, ? 时 , 2

? ?? ? ?

f ?( x) ? sinx ? x cosx? 0

周练 29

8

即 f ( x) ? x sin x ? 1 是增函数,当 | x1 |?| x2 | 时, 有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故③正确.在④中,由 CA ? ? AB 知,

??? ?

??? ?

A、B、C 三点共线,且 OC ? a1OA ? a4026 OB 所以 a1 ? a4026 ? 1, 所以 S 4026 ? ,
故⑤正确. 三、简答题:

??? ?

??? ?

??? ?

(a1 ? a4026 ) ? 4026 ? 2013 , 2

) 16. 【解析】 : (1)年龄在 [25 ,40 )的频率为: 0.07 ? 5 ? 0.06 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.85 ?????2 分
设中位数为 x ,由 0.01? 5 ? 0.07 ? 5 ? 0.04 ? ( x ? 30) ? 0.06 ? ( x ? 30) ? 0.04 ? 5 ? 0.02 ? 5 得x ?

95 ?????4 分 3

(2)由题意可知,第 3 组的人数为 0.06 ? 5 ?1000 ? 300 ,第 4 组的人数为 0.04 ? 5 ?1000 ? 200 ,第 5 组 的人数为 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 。 所以利用分层抽样在 600 名志愿者中抽取 12 名志愿者, 每组抽取的人数为: 第3组

12 ? 300 ? 6 ,???????6 分 600

? 的所有可能取值为 0,1,2,3,
P(? ? 0) ?
0 3 1 2 2 1 C6 C6 1 C6 C6 C6 C6 9 9 , , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 3 3 3 C12 11 C12 22 C12 22

3 C6 1 P(? ? 3) ? 3 ? ,??????????????????????????10 分 C12 11

所以, ? 的分布列为:

?
p

0

1

2

3

1 11

9 22

9 22

1 11

所以 ? 的数学期望 E? ? 1.5 ????????????????12 分 17. 【答案】

周练 29

9

18. 【解析】解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1 EC1 ∽ △ FEB,BE= 从而点 F 为 BC 的中点. ∵ G 为△ ABC 的重心,∴ A、G、F 三点共线.且

1 1 1 EC1,∴ BF= B1C1= BC, 2 2 2

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴ GE//侧面 AA1B1B. (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥ AB,垂足为 H,∵ 侧面 AA1B1B⊥ 底面 ABC, ∴ B1H⊥ 底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,AA1=2,∴ ∠ B1BH=60° ,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥ AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥ AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴ ∠ B1TH 为所求二面角的平面角. ∴ AH=AB+BH=3,∠ HAT=30° ,∴ HT=AH sin 30? ?

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 , FA FB1 3

3 BH .在 Rt△ B1HT 中, tan ?B1TH ? 1 ? 2 3 , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 . (3) (2)问中的 T 点即为所求,T 在 AG 的延长线上,距离 A 点

3 3 处. 2

解法 2: (1)∵ 侧面 AA1B1B⊥ 底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角, ∴ ∠ A1AB=60° , 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥ 底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , C

C1

?

3,1, 3 .

?

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , B1 0, 2, 3 ,

?

?

?

?

?

??? ? 1 ???? ? ? 3 3 3 ?, ∵ G 为△ ABC 的重心,∴G ? . ,∴E ? ? BE ? BC , 0, 0 ,1, 1 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ??? ? ? ???? ? ∴CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . 又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴ GE//侧面 AA1B1B. ? ? 3 3 ? ?
n ? B1 E ? 0, 得 ? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? ? 3 ? ? ??? ? ?n ? GE ? 0. ? ????
? 3 a ?b? ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ? 2 3 c ? 0, 3

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ? 由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

2 7 2 3 ,进而 tan ? ? . 7 3
3

故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .

周练 29

10

3 3 ,1,0) ,设 AT ? ? AG ? ( ? , ? ,0) , 3 3 3 B1T ? B1 A ? AT ? ( ? , ? ? 3,? 3 ) , 3 1 9 由 B1T ? AG ,? B1T ? AG ? ? ? ? ? 3 ? 0 ,解得 ? ? 3 4 9 3 3 3 所以存在 T 在 AG 延长线上, AT ? AG ? AF ? . 4 2 2
(3) AG ? ( 19.解: (Ⅰ)由已知可得 △ ABC 为等边三角形. 因为 CD ? AD ,所以水下电缆的最短线路为 CD . 过 D 作 DE ? AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE 、 AB . 3 3 , AB ? 2 故该方案的总费用为 又 CD ? 1, DE ? 1? 4 ? ? 2 ? 2 ? 0.5 2 2 ?? ? (Ⅱ)因为 ?DCE ? ? ? 0 ? ? ? ? , 3? ? 所以 CE ? EB ? 则y?
1 , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan ? . cos?

? 5 ? 3 (万元)

1 1 ?4? ?2? cos? cos?

?

3 ? tan ? ? 2 ? 2 ?

?

3 ? sin ? ?2 3 , cos?

令 g ?? ? ?

? cos 2 ? ? ? 3 ? sin ? ?? ? sin ? ? 3sin ? ? 1 3 ? sin ? ? , , 则 g ? ?? ? ? cos 2 ? cos 2 ? cos?

因为 0 ? ? ?

?
3

,所以 0 ? sin ? ?

3 , 2

1 ? 1 记 sin ?0 ? ,?0 ? (0, ), 当 0 ? sin ? ? ,即 0 ≤ ? ? ? 0 时, g ? ?? ? ? 0, 3 3 3

当 ? sin ? ?

1 3

3 ? ,即 ? 0 < ? ≤ 时, g ? ?? ? ? 0 , 2 3

所以 g ?? ?min

1 3 ? 2 2 ,从而 y ? 4 2 ? 2 3 ,此时 ED ? tan ? ? 2 , ? g (?0 ) ? 0 4 2 2 3 3?

因此施工总费用的最小值为( 4 2 ? 2 3 )万元,其中 ED ? 20.(本小题满分 13 分)

2 . 4

解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q ( x0 ,? y0 ) , 则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 ,得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① ???????2 分 又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4 x0 ,② 联立① 、② 易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为 ????????4 分
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

周练 29

11

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2 a 2 ? b2 ? 1

③ ④ ???????5 分

将④代入③,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为

1 (舍去) 2
????????6 分 ????????7 分

x ? y2 ? 1 2

2

(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 ? y 2 ? 1 中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 .???????8 分 2 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 ⑥ ???????9 分 y1 y2 ? ? 2 k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤ 式平方除以⑥ 式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ?0 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 2 k ?2 2 ? 2 ?

2 ???????????????????????11 分 7 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 0 ? k2 ?

4(k 2 ? 1) 2k ,所以 , x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2 ??? ??? 2 16(k 2 ? 1) 2 4k 2 2 2 ? 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2
又 y1 ? y2 ? ?

16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 , 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2) 2 1 2 7 1 1 7 1 令t ? 2 ,所以 0 ? k 2 ? 所以 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 17 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32 ??? ??? 13 2 所以 | TA ? TB |? [2, ] . ??????????????????13 分 8 ?
方法二:

周练 29

12

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2
????8 分

??? ???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,

4k 2 2k 2 ? 2 , ????????9 分 x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k ⑤ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 ⑥ y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2 1 ?4 将⑤ 式平方除以⑥ 式得: ?? ?2? ? 1 ? 2k 2 1 ? 5 1 ? ? 1 ? 由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?4 7 故? ? ???????????????10 分 ? 0 ,解得 k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
可得: x1 ? x2 ? 又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 ) 2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

4(1 ? 2k 2 ) 2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? ? 4? ? ???????11 分 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 ) 2 1 7 1 1 ? 1? 令t ? ,因为 k 2 ? 所以 0 ? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8 ? 8? ??? ??? 2 5 17 ? 169 ? 所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ? ? ? 4, ?. 2 2 ? 32 ? ? 13 2 ? 所以 TA ? TB ? ? 2, ????????12 分 ? ? 8 ? ? ??? ??? 13 2 综上所述: | TA ? TB |? [2, ????????13 分 ]. 8
21.(本小题满分 14 分) 解:(1)? f ( x) ?
/

1 6 x 1 x2 ?1 ( 1 ? ) ? ,? 切线斜率 k ? f ( ) ? ? , 2 2 3 2 5 x ?1 x x ?x
13

周练 29

? f ?x ? 在 x ?

1 5 6 1 处的切线方程为: y ? ln ? ? ( x ? ) , 2 2 5 2 6 3 5 即 y ? g ( x ) ? ? x ? ? ln ????????4 分 5 5 2 1 6 3 5 ( x ? 0) , (2)令 t ( x) ? f ? x ? ? g ( x) ? ln( x ? ) ? x ? ? ln x 5 5 2

1 ( x ? )(6 x 2 ? 8 x ? 10 x ? 1 6 6 x ? 5x ? 6 x ? 5 2 t / ?x ? ? 3 ? ? ? 3 x ?x 5 5( x ? x) 5( x 3 ? x)
2 3 2

?当 0 ? x ?

1 1 时, t / ?x ? ? 0 , x ? 时, t / ?x ? ? 0 2 2

1 ? t ( x) ? t ( ) ? 0 ,故 t ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ????????8 分; 2
(3)先求 f ?x ? 在 ?

1 ? ?1 , ln(n ? ) ? 处的切线方程,由(1)得 n ? ?n
1 n

2 ?1? n?n , f? ?? 2 ? n ? 1? n

故 f ( x) 在 ( , ln( n ? )) 处的切线方程为 y ? ln(n ? ) ?

1 n

1 n

n ? n2 1 (x ? ) , 2 n ?1 n

即y?

n ? n2 1 ? n2 1 x ? ? lm(n ? ) , (10 分) 2 2 1? n 1? n n

n ? n2 1 ? n2 1 x? ? lm(n ? ) , 下面证明 f ( x) ? 2 2 1? n 1? n n
令 h( x) ? ln( x ? ) ?

1 x

n ? n2 1 ? n2 1 x ? ? lm(n ? )( x ? 0) , 2 2 1? n 1? n n

∵ h?( x) ?

x 2 ? 1 n ? n3 (n3 ? n) x3 ? (n2 ? 1) x 2 ? (n3 ? n) x ? n2 ? 1 ? ? x3 ? x n 2 ? 1 (n2 ? 1)( x3 ? x)

1 ( x ? )[(n3 ? n) x 2 ? 2n 2 x ? n3 ? n] n ? , ( x3 ? x)(n 2 ? 1)
∴0 ? x ? ∴ f ( x) ?

1 1 1 时, h?( x) ? 0 , x ? 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) min ? h( ) ? 0 , n n n

n ? n2 1 ? n2 1 x ? ? lm(n ? ) , 2 2 1? n 1? n n

(12 分)

∵ ai ? 0 ,∴ ln(ai ?

1 n ? n2 1 ? n2 1 ? a ? ? lm(n ? ) , 2 i 2 ai ) 1 ? n 1? n n

周练 29

14

1 n ? n2 n n(1 ? n2 ) 1 1 ln(ai ? ) ? 2 ai ? ? n ln(n ? ) ? n ln(n ? ) , ? ? 2 ai n ? 1 i ?1 1? n 2 n i ?1
n

∴ (a1 ?

1 1 1 n2 ? 1 n )(a2 ? ) ??? (an ? ) ? ( ) . a1 a2 an n

(14 分)

周练 29

15


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