第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念


2.1

第 二 章

平 面 向 量 的 实 际 背 景 及 基 本 概 念

1 理解教 材新知

知识点一 知识点二

知识点三 2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验 题型一 题型二

题型三
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[提出问题] 1.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨 等地的航班.每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行 的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移. 2.汽车向东北方向行驶了60 km,行驶速度的大小为120 km/h,方向是东北. 3.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作 用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.

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问题1:上述三个实例中涉及哪些物理量? 提示:分别涉及位移、速度和力.

问题2:这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么
区别? 提示:面积、质量等只有大小没有方向,而位移、速度和 力既有大小又有方向.

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[导入新知]

向量和数量

(1)向量:既有 大小 ,又有 方向 的量叫做向量.
(2)数量:只有 大小 ,没有 方向 的量称为数量.

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[化解疑难]

理解向量的概念应关注三点 (1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特 定的位置,这样的向量可以作任意平移. (2)判断一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方 向两个要素. (3)向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而 向量与向量之间不能比较大小.

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[提出问题] 问题1:在学习三角函数线时,我们学习了有向线段, 试想有向线段应包含什么要素? 提示:起点、方向、长度. 问题2:对既有大小、又有方向的量,如何形象、直观 地表示出来? 提示:利用有向线段表示.

问题3:如何表示向量?
提示:有向线段的方向表示向量的方向,长度表示向量 的大小.
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[导入新知]
1.有向线段 (1)有向线段是带有 方向的线段,如图所示,通 常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 ??? ? A 为起点,B 为终点的有向线段记作 AB . (2)有向线段包含三个要素: 起点 、 方向 、 长度 ,知道了 有向线段的起点、长度和方向,它的终点就唯一确定.

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2.向量的表示 (1)几何表示:向量可以用 有向线段 表示,此时有向线段的 方向就是向量的方向. (2)字母表示:通常在印刷时用黑体小写字母a,b,c?表示 向量,书写时用→,→,→?表示向量;也可以用表示向量的有 a b c ??? ??? ? ? 向线段的起点和终点字母表示,例如, AB , CD .

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[化解疑难]

向量与有向线段的区别和联系 (1)区别:从定义上看,向量有大小和方向两个要素, 而有向线段有起点、方向和长度三个要素,因此它们是两个 不同的量.在空间中,有向线段是固定的,而向量是可以自 由平移的. (2)联系:向量可以用有向线段表示,但并不能说向量 就是有向线段.

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[导入新知] 1.向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模): ??? ? ??? ? ??? ? 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或模),记作 | AB | . (2)两个特殊向量: ①零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 ,零向量 的方向是任意的;零向量的起点与终点是同一点,故不能用有向 线段表示出来. ②单位向量:长度等于 1个单位 的向量,叫做单位向量.
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2.相等向量与共线向量 (1)相等向量: 长度 相等且方向相同的向量叫做相等向 量,向量a与b相等,记作a=b.任意两个相等的非零向量,都 可用同一条 有向线段 来表示,并且与有向线段的起点无 关.因为向量完全是由它的 方向和模 确定.

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(2)平行向量:
①定义:方向 相同或 相反 的非零向量叫做平行向量,

向量a与b平行,通常记作 a∥b .
②规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量a, 都有 0∥a . ③共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线 上,因此 平行向量 也叫做共线向量.
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[化解疑难] 平行(共线)向量的含义 (1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称.根据定义 可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合. (2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共 线”含义不同. (3)平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线平 行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点.

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下列说法正确的是 ( ) ??? ??? ? ? A.向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B,C,D必在同一 [例1] 直线上 B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 ??? ? ??? ? C.向量 AB 与向量 BA 是两平行向量 D.单位向量都相等

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[解析]

A项考查的是有向线段共线与向量共线的区

别.事实上,有向线段共线要求线段必须在同一直线上.而 向量共线时,表示向量的有向线段可以在两条平行直线上, 不一定在同一直线上.故A项错误. 由于零向量与任一向量平行,因此,若a,b中有一个为 零向量时,其方向是不确定的.故B项错误.

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??? ? ??? ? 由于向量 AB 与 BA 方向相反,所以二者是平行向量.故
C项正确. 单位向量的长度都相等,方向任意,而向量相等不仅需 要长度相等,还要求方向相同.故D项错误.
[答案] C

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[类题通法] 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方 向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有 限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的核 心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向量的核心 是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任一向量共线.只有 紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.

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[活学活用] 给出命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若 ??? ? ??? ? a,b都是单位向量,则a=b;③向量 AB 与向量 BA 相 等. 以上命题中,正确命题的序号是 A.① C.①③ B.② D.②③ ( )

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解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定 义,单位向量的模相等,但方向不同,故两个单位向量不

??? ? ??? ? 一定相等,故②错误;向量 AB 与向量 BA 模相等,方向相
反,故③错误.故选A.

答案:A

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[例2]

(1)如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各

点为起点和终点,可以写出________个向量.

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和 圆规画出下列向量:

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??? ? ??? ? ① OA,使|OA|=4 2,点A在点O北偏东45° ; ??? ? ??? ? ② AB ,使| AB |=4,点B在点A正东; ??? ? ??? ? ③ BC ,使| BC |=6,点C在点B北偏东30° .
由向量的几何表示可知,可以写出12个向 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? 量,它们分别是 AB , AC , AD , BC , BD , CD , BA , ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? CA, DA, CB , DB , DC . (1)[解析]

[答案] 12

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(2)[解] ①由于点A在点O北偏东45° 处,所以在坐标纸上 ??? ? 点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又| OA |= 2 ,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向 ??? ? 小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量 OA 如图所 4 示.

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??? ? ②由于点B在点A正东方向处,且| AB |=4,所以在坐标纸
上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点 ??? ? B位置可以确定,画出向量 AB 如图所示. ??? ? ③由于点C在点B北偏东30° 处,且| BC |=6,依据勾股定 理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方 ??? ? 格数为3 3 ≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量 BC 如图 所示.

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[类题通法] 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最 后依据向量模的大小确定向量的终点. 必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角) 或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.

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[活学活用] 中国象棋中规定:马走“日”字.如图是中国象棋的半个棋 ???? 盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量 AA1 或 ???? ? AA2 表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了 “一步”的所有情况.

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解:根据规则,画出符合要求的所有向量. 马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示; 马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示.

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[例3]

如图所示,四边形ABCD与ABDE

是平行四边形.

??? ? (1)找出与向量 AB 共线的向量; ??? ? (2)找出与向量 AB 相等的向量.

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? ? ??? ? ??? ??? ??? ? [解] (1)依据图形可知 DC , ED , EC 与 AB 方向相同, ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ? BA , CD , DE , CE 与 AB 方向相反,所以与向量 AB 共线的 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 向量为 BA , CD , DC , ED , DE , EC , CE . ??? ? ??? ? (2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形,知 DC , ED ??? ? ??? ? 与 AB 长度相等且方向相同,所以与向量 AB 相等的向量为 ? ??? ??? ? DC 和 ED .

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[类题通法] 寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行 或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以 表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向 量. (2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度 相等的向量,再确定哪些是同向共线.

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[活学活用] 1 如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的 处 3 相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的 a 边长为a,图中列出了长度均为 的若干个向 3 量,则

???? (1)与向量GH 相等的向量有________; ???? (2)与向量GH 共线,且模相等的向量有________; ??? ? (3)与向量 EA 共线,且模相等的向量有________.
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解析:向量相等?向量方向相同且模相等. 向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合. ???? ???? ? ???? ??? ???? ??? ???? ? 答案:(1) LB? , HC (2) EC? , LE , LB? ,GB , HC ? ??? ??? ???? ???? ???? ? (3) EF , FB , HA? , HK , KB?

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7.混淆向量的模与绝对值

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[典例]

给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若

|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a∥b, b∥c,则a∥c.其中,正确的命题有 A.0个 C.2个 B.1个 D.3个 ( )

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[解析]

①忽略了0与0的区别,a=0;②混淆了两个向量的

模相等和两个实数相等,两个向量的模相等,只能说明它们的 长度相等,它们的方向并不确定;③两个向量平行,可以得出 它们的方向相同或相反,未必得到它们的模相等;④当b=0时, a、c可以为任意向量,故a不一定平行于c.

[答案]

A

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[易错防范] 1.本题若将向量的模错误地理解为绝对值,则会认为① ②③都正确,从而误选D. 2.判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向 相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.而对于共线向 量,则只要判断它们是否同向或反向即可.

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[成功破障] 有下列说法: ①若a≠b,则a一定不与b共线; ??? ??? ? ? ②若 AB = DC ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个 顶点;

??? ??? ? ? ③在?ABCD中,一定有 AD = BC ;
④若a=b,b=c,则a=c; ⑤共线向量是在一条直线上的向量. 其中,正确的说法是________.
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解析:对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相 同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②, A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;对于 ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ③,在?ABCD中,| AD |=| BC |, AD 与 BC 平行且方向相同, ??? ??? ? ? 所以 AD = BC ,故③正确;对于④,a=b,则|a|=|b|,且a与b 方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向 相同且模相等,故a=c,故④正确;对于⑤,共线向量可以是 在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故 ⑤不正确.

答案:③④
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[随堂即时演练]
1.有下列物理量: ①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功. 其中,不是向量的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

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解析:选 C 因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,

所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,
所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.

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2.如图所示,在正三角形ABC中,P、Q、R 分别是 AB、BC、AC的中点,则与向 ? ??

PQ 量 ???? 相等的向量是 ? ??? ??? ? A. PR 与 QR ??? ??? ? ? B. AR 与 RC ??? ??? ? C. RA 与 CR ? ??? ??? D. PA与 QR

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解析:选 B

??? ? 向量相等要求模相等,方向相同,因此 AR 与

??? ? ??? ? RC 都是和 PQ 相等的向量.

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3.当向量a与任一向量都平行时,向量a一定是________. 解析:由零向量的规定知,只有零向量与任一向量都 平行. 答案:零向量

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??? ? 4.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60° ,则| BD |=
________.
解析:易知AC⊥BD,且∠ABD=30° , 1 设AC与BD交于点O,则AO= AB=1. 2 ??? ? 在Rt△ABO中,易得| BO |= 3, ??? ? ??? ? 则| BD |=2| BO |=2 3.
答案:2 3

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5.如图,O是正方形ABCD的中心. ??? ? (1)写出与向量 AB 相等的向量; ??? ? (2)写出与 OA的模相等的向量. ??? ? ??? ? 解:(1)与向量 AB 相等的向量是 DC ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)与 OA 的模相等的向量有: OB , OC , OD , BO , ? ??? ??? ??? ? ? CO , DO , AO .

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