江苏省连云港市灌云县四队中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷


江苏省连云港市灌云县四队中学 2014-2015 学年高一下学期第一 次月考数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.sin660°的值是. 2.设 P(x,2)是角 α 终边上一点,且满足 sinα= ,则实数 x=.

3.设圆弧所对的圆心角为 30°,半径为 r=3,则弧长 l=.

4.若向量 , , 满足(4 ﹣3 )+3(5 ﹣4 )= ,则 =.

5.若 α 是三角形的内角,且 sinα= ,则 α 等于.

6.在矩形 ABCD 中,|

|=

,|

|=1,则向量

的模等于.

7.函数 f(x)=sin(2x+

)的最小正周期为.

8.在△ ABC 中,

= ,

= , ﹣ 表示为.

9. (4 + )﹣3( ﹣ )=.

10.

=.

11.将函数 y=sin(2x+

)的图象向左平移

个单位,所得函数的解析式为.

12.在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,若|

|=3,|

|=4,则|

+

|=.

13.已知



是两个不共线的向量, =k

2

+ ( 1﹣ k)

和 =2

+3

是两个共线向

量,则实数 k=.

14.设 a,b 是不共线的两个向量,已知 共线,则 k 的值为.

=2a+kb,

=a+b,

=a﹣2b,若 A、B、D 三点

二、解答题(本大题包括 6 小题;满分 90 分) 15.已知 P(﹣2,y)是角 θ 终边上的一点,且 ,求 cosθ,tanθ 的值.

16.已知 sinθ﹣cosθ= (1)求 sinθ?cosθ 的值; (2)当 0<θ<π 时,求 tanθ 的值. 17.计算下列各式: (1)3(2 ﹣ )﹣2(4 ﹣3 ) ; (2) (4 +3 )﹣ (3 ﹣ )﹣ ;

(3)2(3 ﹣4 + )﹣3(2 + ﹣3 ) .

18.已知函数 (1)用“五点法”作出函数 (2)求出函数的最大值及取得最大值时的 x 的值; (3)求出函数在[0,2π]上的单调区间. 19. (16 分)已知 sin(3π﹣α)= 且 0<α<π,0<β<π.求 α、β. cos( ) , 的简图;

20. (16 分)已知两个非零向量 a,b 不共线, (1)证明 A,B,C 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 与 a+kb 共线.

=a+b,

=a+2b,

=a+3b.

江苏省连云港市灌云县四队中学 2014-2015 学年高一下学 期第一次月考数学试卷

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.sin660°的值是﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:sin660°=sin(720°﹣60°)=﹣sin60°=﹣ 故答案为:﹣ . .

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2.设 P(x,2)是角 α 终边上一点,且满足 sinα= ,则实数 x=±5.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 x 的值. 解答: 解:由题意可得 = ,求得 x=±5,

故答案为:±5. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

3.设圆弧所对的圆心角为 30°,半径为 r=3,则弧长 l=



考点: 弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 根据弧长公式即可计算得解. 解答: 解:∵圆弧所对的圆心角为 30°= ∴则弧长 l= 故答案为: . = . ,半径为 r=3,

点评: 本题主要考查了弧长公式的应用,考查了计算能力,属于基础题.

4.若向量 , , 满足(4 ﹣3 )+3(5 ﹣4 )= ,则 =

+ .

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的基本运算法则进行表示即可. 解答: 解:∵(4 ﹣3 )+3(5 ﹣4 )= , ∴4 ﹣3 +15 ﹣12 = , 即 4 +12 ﹣12 = , ∴12 =﹣4 +12 , 则 = + , +

故答案为:

点评: 本题主要考查平面向量的基本关系,比较基础.

5.若 α 是三角形的内角,且 sinα= ,则 α 等于 30°或 150°.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 直接利用特殊角的三角函数,结合 α 为三角形的一个内角,即可得到结论. 解答: 解:由题意,∵α 为三角形的一个内角,sinα= , ∴α=30°或 150° 故答案为:30°或 150°. 点评: 本题考查的重点是特殊角的三角函数,解题的关键是掌握一些特殊角的三角函数.

6.在矩形 ABCD 中,|

|=

,|

|=1,则向量

的模等于 2.

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的加法和减法运算求出向量 解答: 解:在矩形 ABCD 中,| 故答案为:2. |= 即可. = = ,

点评: 本题主要考查向量模长的计算,根据矩形的性质是解决本题的关键.

7.函数 f(x)=sin(2x+

)的最小正周期为 π.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T= 解答: 解:f(x)=sin(2x+ ∵ω=2, ∴T= =π, ) , 中,即可求出函数的最小正周期.

则函数的最小正周期为 π. 故答案为:π 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键.

8.在△ ABC 中,

= ,

= , ﹣ 表示为



考点: 向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的减法的运算法则进行求解即可. 解答: 解:∵ ∴ ﹣ = 故答案为: ﹣ . = = , , = ,

点评: 本题主要考查平面向量的基本运算,比较基础.

9. (4 + )﹣3( ﹣ )=





考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量加减法的运算法则进行化简即可. 解答: 解: (4 + )﹣3( ﹣ )=2 + 故答案为: ﹣ ﹣3 +3 = ﹣ ,

点评: 本题主要考查向量的四则运算,比较基础.

10.

= .

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是向量加法的几何意义,根据向量加法的三角形法则,两个向量 相加,即“首尾相接”,据此逐步对 解答: 解: = = = 进行运算,可得结果.

=

故答案为: 点评: 向量加法的三角形法则, 可理解为“首尾相接”, 向量减法的三角形法则, 可理解为“同 起点,连终点,方向指被减.

11.将函数 y=sin(2x+

)的图象向左平移

个单位,所得函数的解析式为 y=cos2x.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用三角函数的平移变换法则,左加右减,写出结果即可. 解答: 解:将函数 y=sin(2x+ + ]=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,所得函数 y=sin[2(x+ )

)=cos2x.的图象,所求函数的解析式为:y=cos2x.

故答案为:y=cos2x. 点评: 本题考查三角函数的图象的变换,注意平移的方向以及 x 的系数,基本知识的考查.

12.在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,若|

|=3,|

|=4,则|

+

|=5.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的平行四边形法则结合几何意义,得到所求是以 AB,AC 为邻边的矩 形的对角线长度. 解答: 解:因为,∠A=90°,若| |=3,| |=4,则| + |=| |= =5;

故答案为:5 点评: 本题考查了平面向量的平行四边形法则,考查了向量模的几何意义,比较基础.

13.已知



是两个不共线的向量, =k

2

+ ( 1﹣ k)

和 =2

+3

是两个共线向

量,则实数 k=﹣2 或 .

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量共线可得 k ﹣ k﹣3λ)
2 2

+(1﹣ k)

=λ(2

+3

) ,进而可得(k ﹣2λ)

2

+(1

= ,故 k ﹣2λ=0,且 1﹣ k﹣3λ=0,联立消掉 λ 可解 k 值.
2

解答: 解:由题意可得:k 整理可得(k ﹣2λ) 因为
2 2

+(1﹣ k)

=λ(2

+3

) ,

+(1﹣ k﹣3λ)

= ,



是两个不共线的向量,

所以 k ﹣2λ=0,且 1﹣ k﹣3λ=0, 解得 k=﹣2 或 k= 故答案为:﹣2 或 点评: 本题考查平行向量和共线向量,涉及方程组的解法,属基础题.

14.设 a,b 是不共线的两个向量,已知 共线,则 k 的值为﹣1. 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得向量 和

=2a+kb,

=a+b,

=a﹣2b,若 A、B、D 三点

共线,存在实数 λ,使

,即 2 +k =



可得关于 k,λ 的方程组,进行求解即可. 解答: 解:∵A,B,D 三点共线, ∴向量 和 共线,故存在实数 λ,使 = + =( + )+( ﹣2 )= )= ,解得 , , , ,

由题意可得 即 2 +k =λ( 故可得 故 k=﹣1,

故答案为:﹣1 点评: 本题考查向量的线性运算,涉及向量的共线定理,建立方程关系是解决本题的关键. 二、解答题(本大题包括 6 小题;满分 90 分) 15.已知 P(﹣2,y)是角 θ 终边上的一点,且 ,求 cosθ,tanθ 的值.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 cosθ,tanθ 的值. 解答: 解:由题意可得 =sinθ= ,∴y=1,

∴cosθ=

=﹣

,tanθ=

=﹣ .

点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

16.已知 sinθ﹣cosθ= (1)求 sinθ?cosθ 的值; (2)当 0<θ<π 时,求 tanθ 的值. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整 理求出 sinθ?cosθ 的值即可; (2)根据 sinθ?cosθ 的值大于 0 及 θ 的范围,判断得到 sinθ+cosθ 大于 0,利用完全平方公式 及同角三角函数间基本关系求出 sinθ+cosθ 的值,与已知等式联立求出 sinθ 与 cosθ 的值,即 可求出 tanθ 的值. 解答: 解: (1) 把已知等式 sinθ﹣cosθ= ①两边平方得: (sinθ﹣cosθ) =1﹣2sinθ?cosθ= 整理得:sinθ?cosθ= ; >0,
2



(2)∵0<θ<π,sinθ?cosθ=

∴sinθ>0,cosθ>0,即 sinθ+cosθ>0, ∵(sinθ+cosθ) =1+2sinθ?cosθ= ∴sinθ+cosθ= ②, 联立①②,解得:sinθ= ,cosθ= ,
2



则 tanθ=

= .

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 17.计算下列各式: (1)3(2 ﹣ )﹣2(4 ﹣3 ) ; (2) (4 +3 )﹣ (3 ﹣ )﹣ ;

(3)2(3 ﹣4 + )﹣3(2 + ﹣3 ) .

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的线性运算即可得出. 解答: 解: (1)3(2 ﹣ )﹣2(4 ﹣3 )= (2) (4 +3 )﹣ (3 ﹣ )﹣ = ﹣ + ﹣8 +6 =﹣2 +3 ; ﹣ = ﹣2 ;

(3)2(3 ﹣4 + )﹣3(2 + ﹣3 )=

+2 ﹣6 ﹣3 +9 =﹣11 +11 .

点评: 本题考查了向量的线性运算,属于基础题.

18.已知函数 (1)用“五点法”作出函数 (2)求出函数的最大值及取得最大值时的 x 的值; (3)求出函数在[0,2π]上的单调区间. 考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 专题: 作图题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 x∈[0,2π],求出 x+ 的取值范围[ , ],将 x+ 看作一个整体,取 的简图;

关键点和端点,从而可用五点法作出 x∈[0,2π]的图象. (2)利用函数的图象性质即可得解. (3)由函数的图象即可求出函数在[0,2π]上的单调区间. 解答: 解: (1)列表如下: x x+ 2sin(x+ ) 0 π 2 2π 0 ﹣2 0 2π

描点、连线,得图.如图(1)

图1 (2)由图可知:当 x= +2kπ,k∈Z 时,函数的最大值为 2. ]∪[ ,2π],

(3)由图可知:函数在[0,2π]上的单调递增区间为[0, 函数在[0,2π]上的单调递减区间为[ , ].

点评: 本题考查三角函数作图,要注意自变量的取值范围以及关键点和端点,考查了三角 函数的图象和性质,属于基础题.

19. (16 分)已知 sin(3π﹣α)= 且 0<α<π,0<β<π.求 α、β.

cos(

) ,

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得 tanβ= 0<β<π,可得 α、β 的值. 解答: 解:∵sin(3π﹣α)= ∵ 由①②可得 tanβ= cos( ) ,∴sinα= ,∴ cosα= sinβ ①; cosβ②. ,α= . tanα,结合 0<α<π,

tanα,结合 0<α<π,0<β<π,可得 β=

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,属于基础题.

20. (16 分)已知两个非零向量 a,b 不共线, (1)证明 A,B,C 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 与 a+kb 共线.

=a+b,

=a+2b,

=a+3b.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的运算和共线定理即可得出; (2)利用向量共线定理和向量基本定理即可得出. 解答: 解: (1)∵ ∴ = = ﹣ ﹣ = + , = +2 , = +3 ,

=( +2 )﹣( + )= , =( +3 )﹣( +2 )= = ,

∴A,B,C 三点共线, (2)∵k + 与 +k 共线, ∴存在实数 λ,使得 k + =λ( +k ) , ∴ ,

解得 λ=±1. 点评: 本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理,属于中档题.


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