三角函数ppt


同角三角函数的基本关系式与诱导公式

—— 知 识 梳 理 —— 一、同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1 1.平方关系:____________________ ; sinα 2.商数关系: ________ cos α=tanα; 平方和 等于1,商等于角α 即同一个角α的正弦、余弦的________ 正切 . 的________

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

二、诱导公式
公式一 α+ k·2π (k∈Z) sinα cosα tanα 公式二 公式三 公式四 公式 五 -α 公式六



π+α

-α

π-α

+α

正弦 余弦 正切

-sinα -cosα tanα

-sinα cosα -tanα

sinα -cosα -tanα

cosα sinα /

cosα -sinα /

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

?

探究点一

同角三角函数基本关系式的应用

例 1 (1)[2012· 辽宁卷 ] 已 知 sinα - cosα = 2 , α∈(0,π),则 tanα=( ) 2 2 A.-1 B.- C. D.1 2 2 1 2 (2)已知 tanα=m,则三角式 2sin α+ cos α 的值为 2 ) 1 1 1 2 2 2m +2 m +2 m+2 2m A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 m +1 m +1 m +1 m +1
2

(

[答案] (1)A

(2)A

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[解析] (1)∵sinα-cosα= 2, ∴(sinα-cosα)2=2,∴1-2sinαcosα=2, 1 sinαcosα 1 ∴sinαcosα=-2,∴ 2 =-2, sin α+cos2α tanα 1 ∴ 2 =-2,∴tanα=-1.故答案选 A. tan α+1 1 2 1 2 2 2sin α+2cos α 2tan α+2 1 (2)2sin2α + cos2α = = = 2 sin2α+cos2α tan2α+1 1 2 2m +2 . m2+1

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1 (1)已知 tanα=- ,则 2sinα-cosα=________. 3 (2)已知 sinα=m(m≠±1),则 tanα=________. 变式题

[答案]

10 10 (1) 2 或- 2

m m (2) 2或- 1-m 1-m2

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

?

探究点二
例 2

诱导公式的运用
?π ? cos ?2+α? = ? ?

(1)[2012· 豫南六校联考 ] 已知

2sin

? π? ?α- ? 2? ?

sin3(π-α)+cos(α+π) , 则 ?5π ? ?7π ? 的 值 为 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? 1 3 10

________. (2)[2012· 山西调研 ] 已知 sin(3π + α) = lg ,则 +

cos(π+α) cosα[cos(π-α)-1] cos(α-2π) 的值为________. cosαcos(π-α)+cos(α-2π)

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

思考流程 (1)分析: 依据诱导公式化简求出 α 正切值; 推理:再应用公式化 α 正余弦函数为正切;结论:得出函 数的值. (2)分析:依据条件和诱导公式求出 sinα 的值;推理: 再应用诱导公式和同角关系式化简为 sinα 的三角函数;结 论:得出函数的值.
3 [答案] (1) 35 (2)18

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
π π π [解析] (1)∵cos2+α=2sinα-2,∴-sinα=-2sin2-α, ∴sinα=2cosα,即 tanα=2. sin3(π-α)+cos(α+π) ∴ = 5π 7π 5cos 2 -α+3sin 2 -α sin3α-cosα sin3α-cosα = = π π π π 5cos2π+2-α+3sin4π-2-α 5cos2-α-3sin2+α sin3α-cosα sin2α· tanα-1 2sin2α-1 2sin2α-1 = = = = 7 5sinα-3cosα 5tanα-3 10-3 2sin2α-(sin2α+cos2α) sin2α-cos2α tan2α-1 = = 7(sin2α+cos2α) 7(sin2α+cos2α) 7(tan2α+1) 4-1 3 = =35. 7× (4+1)

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
(2)由于 sin(3π+α)=-sinα,lg 1 得 sinα= , 3 -cosα cosα 所以原式= + cosα(-cosα-1) -cos2α+cosα 1 1 2 = + =sin2α=18. 1+cosα 1-cosα 1 3 10 1 =- , 3

第18讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α] 变式题 (1) 化 简 sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α) (k∈Z)为________. (2)对任意的 a∈(-∞,0),总存在 x0 使得 acosx0+a≥0 ? π? 成立,则 sin?2x0-6?的值为________. ? ?

[答案] (1)-1

1 (2)- 2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)当 k=2n(n∈N)时, sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α] 原式= sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α) sin(-α)· cos(-π-α) = sin(π+α)cosα -sinα(-cosα) = =-1. -sinα· cosα 当 k=2n+1(n∈N)时, sin[(2n+1)π-α]· cos[(2n+1-1)π-α] 原式= sin[(2n+1+1)π+α]· cos[(2n+1)π+α] sin(π-α)· cosα = sinα· cos(π+α) sinα· cosα = =-1. sinα· (-cosα) 综上,原式=-1.
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点 面 讲 考 向

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
(2)若对任意的 a∈(-∞,0),总存在 x0 使得 acosx0 +a≥0 成立,则 cosx0+1≤0, 又 cosx0+1≥0,所以 cosx0+1=0, 所以 cosx0=-1,则 x0=2kπ+π(k∈Z), π π 所以 sin2x0-6=sin4kπ+2π-6 π π 1 =sin-6=-sin6=-2.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

探究点三 三角形中的诱导公式 例3 在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π+B),cosA =-cos(π-B),求△ABC的三内角.

?

π π 7 答案:A= ,B= ,C= π. 4 6 12

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
? ?sinA= 2sinB, 解:由已知得? ? ? 3cosA= 2cosB,

点 面 讲 考 向

2 化简得 2cos A=1,即 cosA=± . 2 2 3 (1)当 cosA= 时,cosB= , 2 2 又 A,B 是三角形内角, π π 7 ∴A= ,B= ,C= π. 4 6 12 2 3 (2)当 cosA=- ,cosB=- , 2 2 又 A,B 是三角形内角, 3π 5π ∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12
2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

[点评] 在△ABC 中常用的变形结论有: A B C π ∵A+B+C=π,2A+2B+2C=2π, + + = , 2 2 2 2 ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C; π C A B C sin + =sin - =cos ; 2 2 2 2 2 以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

易错究源

9

使用平方关系开方时忽视成立条件

7 例 若 sinθ - cosθ = , θ ∈(0 , π ) ,则 tanθ = 5 ________.

多 元 提 能 力

4 3 tanθ=- 或- . 3 4

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

7 π [正解] ∵sinθ-cosθ= >1, 且 θ∈(0, π), ∴θ∈ , π, 5 2 ?7?2 24 ? 2 ∴(sinθ-cosθ) =? ,∴ 2sin θ cos θ =- , ?5? 25 ? ? 1 4 3 3 ∴sinθ+cosθ=± ,∴sinθ= ,cosθ=- 或 sinθ= , 5 5 5 5 4 4 3 cosθ=- ,tanθ=- 或- . 5 3 4

第19讲 三角函数的图象与 性质

考试大纲
1.能画出函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了 解三角函数的周期性. 2. 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0, 2π]上的性质(如 单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切 ? π π? 函数在区间?-2,2?内的单调性. ? ?

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第19讲
双 向 固 基 础

三角函数的图象与性质

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数的性质——周期性 1.周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x取定义 f(x+T)=f(x)成立,那么函数 域内的每一个值时,都有 _____________ f ( x) 就 叫 做 周 期 函 数 , 非 零 常 数 T 叫 做 这 个 函 数 的 周期 ________ . 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小正数,那 最小正周期 么这个最小正数就叫做f(x)的__________ .

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第19讲
双 向 固 基 础

三角函数的图象与性质

二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域 值域 奇偶性 周期 单调性

R {y|-1≤y≤1} 奇函数 2π 有增有减

R {y|-1≤y≤1} 偶函数 2π 有增有减

π x x≠2+kπ,k∈Z

? ? ? ?

R 奇函数 π 增
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第19讲
双 向 固 基 础

三角函数的图象与性质

二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y=sinx
π -2+2kπ, π 2+2kπ,k∈Z
π 2+2kπ, 3π 2 +2kπ,k∈Z π 2+2kπ,

y=cosx

y=tanx

递增 区间

π -2+kπ, [-π+2kπ,2kπ], k∈ Z π 2+kπ,k∈Z

递减 区间

[2kπ,π+2kπ], k∈ Z



最大值

当x=________ k∈Z 时, ymax=1

x=2kπ, 当________ k∈Z 时,
ymax=1



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第19讲
双 向 固 基 础

三角函数的图象与性质

函数

y=sinx
3π 2 +2kπ,

y=cosx

y=tanx

最小值

k∈Z 时, 当x=________ ymin=-1

x=π+2kπ, k∈Z 时, 当________
ymin=-1



对称性 对称 中心 对称轴 方程

中心对称、轴对称

(kπ,0),k∈Z
π x=2+kπ,k∈Z

中心对称、轴对 中心对称 称 ? ? ?π ? ? , ? ? +kπ,0? k π ? ? 2 ? ? , 0 ? ?,k∈Z ?2 ? k∈Z
x=kπ,k∈Z 无

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第19讲

三角函数的图象与性质

?

探究点一
例1

三角函数的定义域的求解

求函数 y= sinx-cosx的定义域.

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[思考流程] 条件:给出函数表达式;目标:求函数 定义域;方法:根据偶次根式得 sinx-cosx≥0,再根据三 角函数图象得出不等式的解集.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

解:方法一:要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y= cosx 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为4, 4 ,再结合 正弦、余弦函数的周期是 2π, ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z?. ? ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

方法二:利用三角函数线,如图 MN 为正弦线,OM π 5 为余弦线.要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM,则 ≤x≤ π(在[0, 4 4 2π]内).

? ?π ? 5π ∴定义域为?x?4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z?. ? ? ?
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第19讲

三角函数的图象与性质
? π? 2sin?x-4?≥0.将 ? ?

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π 方法三:sinx-cosx= x-4视为一个 π 整体,由正弦函数 y=sinx 的图象和性质可知 2kπ≤x-4≤π π 5π + 2kπ ,解得 2kπ + ≤x≤ + 2kπ , k∈Z. 所以定义域为 4 4 ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. 4 4 ? ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

[点评] 求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式,解三角不等式是难点,特别是无限区间与有限区间的 交集问题易出现错误.
点 面 讲 考 向

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①三角函数的图象从形上完全反映了三角 函数的性质,求三角函数的定义域和值域应注意利用三角 函数图象,常转化为三角不等式组求解. ②解三角不等式经常借助两个工具,即单位圆中的三角 函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴求解. ③对于周期相同的可以先求交集,再加周期的整数倍即 可.

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第19讲

三角函数的图象与性质

变式题

(1) 函数

? π? y = lg(2sinx - 1) + tan ?x-4? 的定义域是 ? ?

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________. (2)函数 y= 2sin2x+cosx-1的定义域为________.

[ 答案 ] 2kπ,k∈Z

?π ? 3π 3π 5π ? ? (1) 6+2kπ, 4 +2kπ ∪ 4 + 2kπ , 6 + ? ? ? ? ,k∈Z ?

? ? 2π 2π ? ? (2) x 2kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[解析] 先列出使函数有意义的不等式(组),对第(1)小题 要考虑对数的真数大于 0,正切函数的定义域,对第(2)小题需 注意偶次根式的被开方数为非负数,再结合函数的图象或三角 函数线求解. (1)要使函数有意义,必须 ? 3π π π ? ?x- ≠ +kπ,k∈Z, ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, ? 4 2 即? 1 ? ? sinx>2, ?2sinx-1>0, ? ? 3π ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, 即? ?π+2kπ<x<5π+2kπ,k∈Z. 6 ?6

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

如图, 利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组的 ?π ? 3π 解 集 , 从 而 得 函 数 的 定 义 域 为 ?6+2kπ, 4 +2kπ? ? ? ?3π ? 5π ∪? 4 +2kπ, 6 +2kπ?,k∈Z. ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

(2)为使函数有意义,需满足 2sin2x+cosx-1≥0 1 2 即 2cos x-cosx-1≤0,解得-2≤cosx≤1.
点 面 讲 考 向

? 2π 2π ? 由单位圆,如图所示,∴x 2kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

?

探究点二
例2

三角函数的值域与最值问题
? π?? π π? y=2sin?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ?

(1)求函数

点 面 讲 考 向

(2)求函数 y=2cos2x+5sinx-4 的值域.

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第19讲

三角函数的图象与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

? π? 条件:给出函数表达式:(1)y=2sin?2x+3? ? ?

? π π? ?- <x< ?,(2)y=2cos2x+5sinx-4;目标:求这两个函数 6? ? 6

的值域;方法:(1)根据所给角的范围利用三角函数的单调 性求值域;(2)用换元法将函数转化为二次函数求值域.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

π π π 2π 解:(1)∵- <x< ,∴0<2x+ < , 6 6 3 3 ? π? ∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? ? π? ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=2cos2x+5sinx-4 =2(1-sin2x)+5sinx-4 =-2sin2x+5sinx-2 ? 5?2 9 =-2?sinx-4? +8. ? ? ∴当 sinx=1 时,ymax=1, 当 sinx=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sinx-4 的值域为[-9,1].

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[点评] 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般 常用以下方法: (1)利用sinx,cosx的值域; (2) 形式复杂的函数应化为 y = Asin(ωx + φ) + k 的形式逐步 分析 ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出 y= Asin(ωx +φ)的值域;如(1)题,特别注意所给区间若不单调时容易 出错. (3) 换元法:把 sinx , cosx 看作一个整体,可化为二次函 数.如(2)题,此类问题应注意sinx,cosx的有界性.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 要注意应用正弦、余弦函数的有界性求函 数值域或最值,而三角函数的最值都是在给定区间上得到 的,因而特别要注意题设中所给的区间.

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第19讲

三角函数的图象与性质

变式题

点 面 讲 考 向

求下列函数的值域: ?? π? 1? 1 (1)y=log2?1-2sinx??0≤x<2?; ? ?? ? sinxcosx (2)y= . 1+sinx+cosx

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第19讲

三角函数的图象与性质
π 解:(1)∵0≤x< ,∴0≤sinx<1, 2 1 1 ∴ <1- sinx≤1. 2 2 1 又∵函数 y=log x 在(0,+∞)上是减函数, 2 11 1 ∴log22>y≥log21,即 0≤y<1. ∴此函数的值域为{y|0≤y<1}.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

(2)令 sinx+cosx=t,则|t|≤ 2. ∵1+sinx+cosx≠0,∴t≠-1, (sinx+cosx)2-1 1 2 ∴sinxcosx= = (t -1), 2 2 1 2 2(t -1) 1 ∴y= =2(t-1), 1+t 1 而函数 y=2(t-1)在[- 2,-1)∪(-1, 2]上是增 函数, 2+1 2-1 ∴- 2 ≤y≤ 2 且 y≠-1. ? ? ? 2+1 2-1? ? ? ? ? ∴此函数的值域为?- ∪ . ,- 1 - 1 , ? ? 2 2 ? ? ? ? ?
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第19讲

三角函数的图象与性质

?

探究点三

三角函数的奇偶性与周期性问题

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 辽 师 大 附 中 检 测 ] 已 知 函 数 f(x) = ? π? sin?2x-6?,若存在 a∈(0,π),使得 f(x+2a)=f(x)恒成立, ? ? 则 a 的值是( ) π π π π A.6 B.3 C.4 D.2 (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, ? π? 若 f(x)的最小正周期是 π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx, ? ? ?5π? 则 f? 3 ?的值为( ) ? ? 1 3 3 1 A.-2 B. 2 C.- 2 D.2
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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据函数周期性定义得出 T= 2a;推理:2a=π;结论:得出 a 值. 5π π (2)分析:依据奇偶性与周期性转化;推理:f 3 =f3; 结论:得出函数值.

[答案] (1)D

(2)B

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由已知 f(x+2a)=f(x),函数周期性的定义,得 ? π? 2a 是 f(x)的一个周期;又函数 f(x)=sin?2x-6?的最小正周期为 ? ? π π,且 a∈(0,π),则 a=2,故选 D. (2)∵函数 f(x)的最小正周期为 π, ?5π? ? π ? ? π? ∴f? 3 ?=f?-3+2π?=f?-3?. ? ? ? ? ? ? ∵函数 f(x)是偶函数, ?5π? ? π? ?π? π 3 ∴f? 3 ?=f?-3?=f?3?=sin = . 3 2 ? ? ? ? ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[点评] 函数的奇偶性反映了函数在定义域内函数值 的规律,已知一个函数值,可求解它的相反数的函数值; 函数的周期性反映了在等距离(周期的倍数)上的两个函数 值之间的相等关系,其功能也是把函数值进行转化,以达 到由已知函数值求解未知函数值的目的.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数的周期性是函数在定义域上的整体性 质,对于具有周期性的函数,可以研究函数在一个周期内 的性质,即可把这些性质推广到定义域上.判断三角函数 的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性.

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第19讲

三角函数的图象与性质

变式题

判断下列函数的奇偶性: ? 5π? (1)f(x)=cos?2x+ 2 ?;(2)f(x)=sin(cosx). ? ?
点 面 讲 考 向

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第19讲

三角函数的图象与性质
?π ? f(x)=cos?2+2x?=- ? ?

解:(1)函数 f(x)定义域为 R,且
点 面 讲 考 向

sin2x, ∵f(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x), ? 5π? ∴函数 f(x)=cos?2x+ 2 ?是奇函数. ? ? (2)∵函数 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x), ∴函数 f(x)=sin(cosx)是偶函数.

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第19讲

三角函数的图象与性质

?

探究点四

三角函数的单调性问题
?π ? y=sin?3-2x?,x∈[-π,π]的单调递 ? ?

点 面 讲 考 向

例 4 (1)求函数 减区间; (2)求

?π x ? y=3tan?6-4?的最小正周期及单调区间. ? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据诱导公式化简 x 的系数为 正;推理:解相应的不等式;结论:得出单调区间. (2)分析:依据诱导公式化简 x 的系数为正;推理:解 相应的不等式;结论:得出单调区间.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

π π π 解: (1)由 y=sin -2x, 得 y=-sin2x- , 由- +2kπ≤2x 3 3 2 π π π 5π -3≤2+2kπ 得-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z.又 x∈[-π,π],∴ 7π π 5π 11 π -π≤x≤- , - ≤x≤ , π≤x≤π.∴函数 y=sin -2x, x∈[- 12 12 12 12 3 7 π 5π 11 π,π]的单调递减区间为-π,-12π,-12,12,12π,π. π x π (2)函数 y=3tan6-4的最小正周期 T= 1=4π. -4 π x π x π x π π 由 y=3tan6-4得 y=-3tan4-6, 由-2+kπ<4-6<2+kπ 4 8 π x 得-3π+4kπ<x<3π+4kπ, k∈Z, ∴函数 y=3tan6-4的单调递 4 8 减区间为-3π+4kπ,3π+4kπ,k∈Z.
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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[点评] 三角函数单调区间的求法: (1) 准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数 单调区间的基础; (2)形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的函数的单调区间, π π 基本思路是把 ωx+φ 看作一个整体, 由- +2kπ≤ωx+φ≤ 2 2 π 3π + 2kπ(k∈Z) 求得函数的增区间,由 2 + 2kπ≤ωx + φ≤ 2 + 2kπ(k∈Z)求得函数的减区间. (3)形如 y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利 用诱导公式把 x 的系数变为正数, 得到 y=-Asin(ωx-φ), π π π 由-2+2kπ≤ωx-φ≤2+2kπ(k∈Z)得到函数的减区间,由2 3π +2kπ≤ωx-φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)得到函数的增区间.
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第19讲

三角函数的图象与性质

注:对于函数 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的单 调区间的求法与 y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求法相同.
点 面 讲 考 向

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 三角函数的单调性是函数的局部性质, 要注 意在 k 值不同的区间上,三角函数是不单调的.利用正、 余弦函数 y=sinx、y=cosx 的单调区间,是求解正、余弦 型函数的单调区间的关键;特别提醒,当单调区间有无穷 多个时,别忘了注明 k∈Z.三角函数的单调性反映了具有 大小关系的两个角之间三角函数值的大小,对正切函数可 类比正余弦函数得到其单调区间.

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第19讲

三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

变 式 题 [2012·北 京 卷 ] 已 知 函 数 f(x) = (sinx-cosx)sin2x . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

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三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. (sinx-cosx)sin2x 因为 f(x)= sinx =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 ? π? = 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

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第19讲

三角函数的图象与性质
? π π? 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2? ? ?

(2)函数 y=sinx (k∈Z).
点 面 讲 考 向

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 ? ? ? π 3π? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ? ? ? ? ? (k∈Z).

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第19讲

三角函数的图象与性质

思想方法

7

换元法在三角函数性质中的应用

例 求 y=sinx+cosx+sinxcosx 的值域.

多 元 提 能 力

[ 分析 ] 此题是求三角函数的值域或最值,可利用 sinx, cosx 的有界性, 转化为求关于 sinx(或 cosx)的二次函 数问题,利用配方、换元等方法求解.此题可转化为闭区 间上二次函数的最值问题.

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三角函数的图象与性质

多 元 提 能 力

解:令 t = sinx + cosx ,则有 t2 = 1 + 2sinxcosx ,即 t2-1 1 sinxcosx= 2 .所以 y=f(t)=2(t+1)2-1. ? π? 又 t=sinx+cosx= 2sin?x+4?,所以- 2≤t≤ 2. ? ? 1 故 y = f(t) = 2 (t + 1)2 - 1( - 2 ≤t≤ 2 ) , 从 而 f( - 1 1)≤y≤f( 2 ) , 即 - 1≤y≤ 2 + . 所 以 函 数 的 值 域 为 2 ? 1? ?-1, 2+ ?. 2? ?

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第19讲

三角函数的图象与性质

设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a 1 +1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的 a 的值,并由 2 此时的 a 值求 y 的最大值. 自我检评

多 元 提 能 力

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第19讲

三角函数的图象与性质

解:令 cosx=t,t∈[-1,1], a 则 y=2t -2at-(2a+1),其图象的对称轴为 t=2, a ①当2<-1,即 a<-2 时,[-1,1]是函数 y 的递增区 1 间,ymin=1≠2; a ②当 >1,即 a>2 时,[-1,1]是函数 y 的递减区间, 2 1 1 ymin=-4a+1= ,得 a= ,与 a>2 矛盾; 2 8 a ③当-1≤2≤1,即-2≤a≤2 时, a2 1 ymin=- 2 -2a-1=2,a2+4a+3=0, 解得 a=-1,或 a=-3(舍去), ∴a=-1,此时 ymax=-4a+1=5.
2

多 元 提 能 力

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第19讲

三角函数的图象与性质

【备选理由】 例1周期性和单调性的综合应用,是对探究点三的补 充;例2补充三角函数的对称性问题.

教 师 备 用 题
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三角函数的图象与性质

教 师 备 用 题

[2011· 课标全国卷 ] 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+ ? π? cos(ωx +φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 π,且 f( - x)= ? ? f(x),则( ) ? π? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ? π? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? 例 1

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第19讲

三角函数的图象与性质
? π? 2sin?ωx+φ+4?,然后根 ? ?

[分析] 先将 f(x)化为 f(x)=

据已知条件确定 ω 和 φ 的值,最后求单调减区间.
)

教 师 备 用 题
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三角函数的图象与性质

[解析] A

原式可化简为 f(x)=

? π? 2sin?ωx+φ+4?, 因为 ? ?

f(x)

教 师 备 用 题

2π 的最小正周期 T= ω =π,所以 ω=2. ? π? 所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?, ? ? 又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数, ? π? 所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?=± 2cos2x, ? ? π π π 所以 φ+4=2+kπ,k∈Z,所以 φ=4+kπ,k∈Z, π ? ? π ? ? φ 又因为? ?<2,所以 φ=4. ? π? ? 所以 f(x)= 2sin 2x+2?= 2cos2x, ? ? ? π? 所以 f(x)= 2cos2x 在区间?0,2?上单调递减. ? ?
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第19讲

三角函数的图象与性质

例 2 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= π - 对称,则实数 a 的值为( 8 A. 2 B.- 2 C.1 D.-1 )

教 师 备 用 题
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三角函数的图象与性质

教 师 备 用 题

方法一:设 f(x)=sin2x+acos2x,因为函数的 ? π ? ? π ? π 图象关于直线 x=-8对称,所以 f?-8+x?=f?-8-x?对一切 ? ? ? ? 实数 x 都成立, ? π ? ? π ? 即 sin2?-8+x?+acos2?-8+x? ? ? ? ? ?-π ? ? π ? ? ? =sin2? +acos2?-8-x?, - x ? ? ? ? 8 ? ? π ? ?π ? 即 sin?-4+2x?+sin?4+2x? ? ? ? ? ? ?-π ?? ?π ? ? ? ?? =a?cos?4+2x?-cos? , + 2 x ? ? 4 ? ? ? ? ?? π π ∴2sin2x· cos4=-2asin2x· sin4, 即(a+1)· sin2x=0 对一切实数 x 恒成立,而 sin2x 不能恒 为 0,∴a+1=0,即 a=-1,故选 D.
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[解析] D

第19讲

三角函数的图象与性质

π 方法二:∵f(x)=sin2x+acos2x 关于直线 x=- 对称, 8 ? π ? ? π ? ∴有 f?-8+x?=f?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ? π 特别地,对于 x=8应该成立. ? π? π 将 x=8代入上式,得 f(0)=f?-4?, ? ? ? π? ? π? ∴sin0+acos0=sin?-2?+acos?-2?, ? ? ? ? ∴0+a=-1+a× 0, ∴a=-1,故选 D.
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第20讲 函数y=Asin(ωx+ φ)的图象及三角函数模型的 简单应用

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考试大纲
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变 化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 ——
一、五点法画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图 用五点法画函数 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图,要确 定五个特征点,如下表所示:
x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

π 3π ωx + φ 具体做法是:先令________取 0, ,π, ,2π 五个值, 2 2 求出相应的 x、y 的值,再描点作图.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
双 向 固 基 础

二、函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数 y = Asin(ωx + φ)(A>0 , ω>0) , x∈[0 ,+ ∞ ) 表示 简谐振动时,几个相关的概念如下表:
简谐振动 y=Asin(ωx +φ) (A>0,ω>0) 振 幅 A 周期 2π T= ω 频率 相位 1 f=T ωx +φ 初相

φ

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
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三、函数y=sinx的图象经平移变换得到 y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤 方法一:先画出函数y=sinx的图象,再把正弦曲线向左 |φ| y=sin(x+φ)的 ( 右 ) 平移 ________ 个单位长度,得到函数 ____________ 图象;然后使曲线上各点的横坐标都变为原来的 ________ 1 y=sin(ωx +φ) 倍,得到函数 _____________ 的图象;最后把曲线上各点 ω A 纵坐标 的________变为原来的 ________倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
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方法二:先画出函数y=sin 1 x的图象,再使曲线上各点的 y=sinωx 横坐标都变为原来的________ ________ 的图 ω 倍,得到函数 ?φ? ? ? 个单位长度, 象;然后把正弦曲线向左 ( 右)平移 ________ ?ω? y = sin(ωx + φ) 得到函数 ______________ 的图象;最后把曲线上各点的 A 纵坐标变为原来的 ________ ________ 倍,这时的曲线就是函数 y =Asin(ωx+φ)的图象. 以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩,方法二先 伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.利用函数 y=Asin(ωx+φ)图象的伸缩与平移变换 求解析式 (1) 在图象变换时运用 “ 先平移后伸缩” 与“ 先伸缩后 平移”两种途径, 向左或向右平移的单位长度一样. ( ) (2)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需把函数 y= ? π? π sin?2x+3?的图象向右平移3个单位长度.( ) ? ? (3)把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到 1 1 原来的2(纵坐标不变), 得到函数 y=sin2x 的图象. ( )
[答案] (1)? (2)? (3)?
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
双 向 固 基 础

[解析] (1)“先平移后伸缩”平移的单位长度为|φ|,“先 ?φ? 伸缩后平移”平移的单位长度为?ω?. ? ? ? ? π? π? (2)因为 y=sin?2x+3?=sin2?x+6?,则应把函数 y= ? ? ? ? ? π? π ? ? sin 2x+3 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y = 6 ? ? sin2x 的图象. (3)把横坐标缩短,周期变小,则 ω 应变大,故应得 到函数 y=sin2x 的图象.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
双 向 固 基 础

2.求三角函数的单调区间 函数 (k∈Z).(
[答案] ?
? 3π ? π y=sin(-2x)的递减区间是?- 4 -kπ,-4-kπ? ? ?

)

[解析] y=sin(-2x)=-sin2x,它的图象和函数 y= sin2x 的图象关于 x 轴对称,单调性正好相反,y=sin(- π π 2x) 的 递 减 区 间 是 - 2 + 2kπ< - 2x< 2 + 2kπ , k∈Z , 即 ? π ? π ?- -kπ, -kπ?(k∈Z). 4 ? 4 ?

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3.求三角函数的周期 ?1 π? 4 π ? ? 函数 y=2sin 2x-4 的频率为π,初相为4.( ? ?

)

[答案]

?

2π 1 1 [解析] 函数的周期为 T= ω =4π,频率 f=T=4π, π 初相为-4.

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考点统计
点 面 讲 考 向

题型(考 频) 选择(1) 填空(1) 解答(1)

题型示例(难度) 2012年湖南T15(C), 2012年浙江T4(A)

1.函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及变换
2.函数y=Asin(ωx+φ) 的解析式的求法 3.函数y=Asin(ωx+φ) 的性质应用 4.三角函数模型的简单 应用

2012年陕西T16(A), 解答(2) 2012年安徽T16(B) 选择(2) 解答(7) 0
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2012年北京T15(B), 2012年广东T16(A), 2012年湖南T15(C)

第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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说明:A表示简单题, B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.

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?

探究点一
例 1

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

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(1)[2012· 山东卷改编] 已知向量 m=(sinx,1),n ? ? A =? 3Acosx, 2 cos2x?(A>0),函数 f(x)=m· n 的最大值为 6,将 ? ? π 函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点 12 1 的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 ? 5π? 的图象,则 g(x)在?0,24?上的值域为________. ? ?

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

(2)[2012· 济宁模拟] 给出下列六种图象变换方法: 1 ①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的2; ②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π π ③图象向右平移 个单位;④图象向左平移 个单位; 3 3 2π 2π ⑤图象向右平移 3 个单位;⑥图象向左平移 3 个单位. 请用上述变换中的两种变换, 将函数 y=sinx 的图象变换 ? x π? 到函数 y=sin?2+3?的图象,那么这两种变换正确的标号是 ? ? ________( 要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号 即可).
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据向量数量积运算整理 f(x) 解析式;推理:求出图象变换后 g(x)解析式;结论:得出 ? 5π? g(x)在对应定义域?0,24?的值的范围. ? ? (2)分析:依据图象平移变换得第一步函数;推理:再 根据周期变换得出变换数据;结论:得出图象变换过程.

[答案] (1)[-3,6] (2)④②或②⑥

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[解析] (1)f(x)=m· n A = 3Asinxcosx+ 2 cos2x ? 3 ? 1 ? =A? sin2x+ cos2x? ? 2 ? 2 ? ? π? =Asin?2x+6?. ? ? 因为 A>0,由题意知,A=6. ? π? 所以 f(x)=6sin?2x+6?. ? ?

π 将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到 ? ? ? π ? π? π? y=6sin?2?x+12?+6?=6sin?2x+3?的图象; ? ? ? ? ? ?

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的2倍,纵坐 ? π? 标不变,得到 y=6sin?4x+3?的图象. ? ? ? π? 因此,g(x)=6sin?4x+3?. ? ? ? 5π? 因为 x∈?0,24?, ? ? π ?π 7π? 所以 4x+3∈?3, 6 ?. ? ? ? 5π? 故 g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ?

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

π ② x π ④ (2)y=sinx――→y=sinx+3――→y=sin2+3,或 y=
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1 ⑥ 1 2π x π ② sinx――→y=sin x――→y=sin x+ =sin + . 2 2 3 2 3

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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[点评] 图象变换时,要明确:一是由哪个函数变换 为哪个函数,二是区分先平移再伸缩和先伸缩再平移的差 别.三角函数的图象变换是高考的热点,多以小题的形式 出现,如下面的变式题.

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归纳总结 由函数y=sinx(x∈R)的图象经过平移变换 得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题中,可先平 移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要 注意:先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来.

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变式题 (1)[2012· 太原模拟] 将函数 y=sin2x 的图象向左 平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 φ 的 最小值为________. (2)设函数 f(x)= 2+2 6sinxcosx-2 2sin2x(x∈R),对 f(x) π 的图象作如下变换:先将 f(x)的图象向右平移12个单位,再将 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象, 则 g(x)=________.

π [答案] (1)4 (2)2 2sinx

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[解析] (1)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ 个单位,得到 π 函数 y = sin2(x + φ) = sin(2x + 2φ) 的图象,由题意得 2φ = 2 + π kπ(k∈Z),故 φ 的最小值为4. π (2)f(x)=2 2sin2x+6(x∈R);g(x)=2 2sinx.

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?

探究点二
例2

函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的求法

点 面 讲 考 向

[2012· 哈尔滨模拟] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A> ? π ? 0,ω>0,0<φ<π)的图象的两个相邻零点为?-6,0?和 ? ? ?π ? ? ,0?,且该函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函 ?2 ? 数的解析式为______________________.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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思考流程 分析:依据两个零点得出周期求出 ω 值; 推理:利用图象经过的点坐标求 φ 的值;结论:得出函数 解析式. 3 π [答案] y=2sin2x+4

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
π π T π π [解析] 由图象的两个相邻零点为- , 0和 , 0得 = + 6 2 2 2 6 2π 4π 2π 3 = ,故 T= = ω ,所以 ω= . 3 3 2 由最大值为 2,最小值为-2 知 A=2, π 又函数过点- ,0 6 3 π π 得 2sin2× -6+φ=2sinφ-4=0, π π 故 φ- =kπ(k∈Z),而 0<φ<π,故 φ= , 4 4 3 π 从而所求函数的解析式为 y=2sin2x+4.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

点 面 讲 考 向

[点评] 由函数y=Asin(ωx+φ)+b图象求解析式, 实质是逆用五点法作图的过程,特别是求初相φ时,必须 弄清五个点的横坐标是如何确定的,其一般步骤是:①由 图象得函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;②观察 图象确定函数的周期T,则ω=;③把图象上的一个已知 点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)+b,根据φ的取值范围或函 数图象,得出φ的值.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

点 面 讲 考 向

归纳总结 利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑: ①根据最大值或最小值求出A的值. ②根据周期求出ω的值. ③根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

变式题 (1)如图 3-20-1 表示的函数 f(x)=Asin(ωx+ θ)(ω > 0 , θ∈[0 , 2π]) 的 部 分 图 象 , 则 解 析 式 为 f(x) = ________________.
点 面 讲 考 向

(2)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 π π 0,最小正周期为2,直线 x=3是其图象的一条对称轴,则下面 各式中符合条件的解析式是________________. ? ? π? π? ①y=4sin?4x+6?;②y=2sin?2x+3?+2; ? ? ? ? ? ? π? π? ③y=2sin?4x+3?+2;④y=2sin?4x+6?+2. ? ? ? ?
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
[答案]
?π π? (1)3sin?4x+4? ? ?

(2)④

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用 [解析] (1)由图象确定函数的解析式, 就要观察图象的特性, 形状位置和所给的条件.通过判断、分析和计算确定 A,ω,θ 得到函数的解析式. 2π π ∵T=2[3-(-1)]=8,∴ω= T =4. ?π ? ∵当 x=-1 时,y=0,∴0=3sin?4(-1)+θ?, ? ? ? π? π 即 sin?θ-4?=0,∴θ=kπ+ ,k∈Z. 4 ? ? π 5π 取 k=0,则 θ= ∈[0,2π];取 k=1,则 θ= ∈[0,2π], 4 4 ?π 5π? 5π ? ? 但在 y=3sin 4x+ 4 时,当 x=0 时,y=3sin 4 <0,与图象 ? ? 5π 在 x 轴上方不符,∴θ= 4 (舍). ?π π? ∴函数的解析式为 f(x)=3sin?4x+4?. ? ?
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
(2) 因 为 已 知 函 数 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 0 , 所 以 ? ?A+m=4, 2π π ? 解得 A=m=2, 又最小正周期为 ω =2, 所以 ω=4, ? ?m-A=0, ? π ? π π ? ? + φ 又直线 x= 是其图象的一条对称轴, 将 x= 代入得 sin 4× 3 3 ? 3 ? 4π π 5π =± 1,所以 φ+ 3 =kπ+2(k∈Z),即 φ=kπ- 6 (k∈Z),当 k= π 1 时,φ= ,故填④. 6

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?

探究点三

函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

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例 3 [2012· 湖北卷 ] 已知向量 a = (cosωx - sinωx , sinωx), b=(-cosωx-sinωx, 2 3cosωx). 设函数 f(x)=a· b +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数, ?1 ? 且 ω∈?2,1?. ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; ?π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点?4,0?,求函数 f(x)在区间 ? ? ? 3π? ?0, ?上的取值范围. 5? ?

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

解: (1) 因为 f(x) = sin2ωx - cos2ωx + 2 3sinωx· cosωx +λ
点 面 讲 考 向

=-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ ? π? =2sin?2ωx-6?+λ. ? ? 由直线 x = π 是 y = f(x) 图象的一条对称轴,可得 ? π? sin?2ωπ-6?=± 1, ? ? π π 所以 2ωπ-6=kπ+2(k∈Z), k 1 即 ω=2+3(k∈Z). ?1 ? 5 ? ? , 1 又 ω∈ 2 ,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. ? ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 .
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用 ?π ? ?π? (2)由 y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0, ? ? ? ? ?5 π π? π - ?=-2sin =- 2, 即 λ=-2sin?6× 4 ? 2 6? 即 λ=- 2. ?5 π? 故 f(x)=2sin?3x-6?- 2, ? ? 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ 5 ,有-6≤3x-6≤ 6 , ?5 π? 1 所以-2≤sin?3x-6?≤1, ? ? 5 π 得-1- 2≤2sin3x-6- 2≤2- 2. ? 3π? 故函数 f(x)在?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. ? ?
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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[点评] ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk 其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z成轴对称图形,也就是说过波 峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴. ②函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ= kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图象与x轴的交 点(平衡位置点)是其对称中心.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
归纳总结 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区 间和对称性的确定, 基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体. 在 单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同 一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重 要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还 要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合 思想.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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设 函 数 f(x) = 3 cos2ωx + sinωxcosωx + π a(0<ω<1,a∈R),f(x)的图象向左平移4个单位后得到函数 g(x),若 g(x)的图象关于 y 轴对称,解答以下问题: (1)求 ω 的值. ?3 5 ? (2)如果 f(x)在区间?4π,4π?上的最小值为 3,求 a 的 ? ? 值. 变式题

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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3 1 3 cos2ωx+ sin2ωx+a+ 2 2 2 π 3 =sin2ωx+ +a+ , 3 2 π π 3 由已知可得 g(x)=sin2ωx+4+3+a+ 2 π π 3 =sin2ωx+ ω+ +a+ . 2 3 2 π π π ∵g(x)是偶数,∴2ω+3=kπ+2(k∈Z), 1 ∴ω=2k+3(k∈Z), 1 又 0<ω<1,∴令 k=0,得 ω=3. 解:(1)f(x)=
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2 π 3 (2)由(1)知 f(x)=sin3x+3+a+ 2 , 3π 5π 5π 2 π 7π ∵ 4 ≤x≤ 4 ,∴ 6 ≤3x+3≤ 6 , 1 2 π 1 ∴-2≤sin3x+3≤2. 1 3 1 3 从而 f(x)min =- 2 + a + 2 ,由此可得- 2 + a + 2 = 1+ 3 3, ∴a= 2 .

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?

探究点四

三角函数模型的简单应用

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例 4 如图 3-20-2,为一个缆车示意图,该缆车半 径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动 一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式, 并求缆车到达最高点时用的最少时间 是多少?

图 3-20-2
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[思考流程] 条件:已知缆车半径,圆上最低点与地 面距离,转动频率;目标:求 h 与 θ 间的函数关系式、h 与 t 之间的函数关系式以及缆车到达最高点时用的最少时 间;方法:以圆心 O 为原点建立平面直角坐标系,利用三 角函数的定义求出点 B 的纵坐标,则 h 与 θ 之间的关系可 求出. 把 θ 用 t 表示出来代入 h 与 θ 的函数关系式即可得 h 与 t 之间的关系式.

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解:(1)以圆心 O 为原点,水平方向为 x 轴,建立如图所 示的平面直角坐标系,
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π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ- ,故点 B 的坐标 2 ? ? ? π? π ?? 为?4.8cos?θ-2?,4.8sin?θ-2??, ? ? ? ?? ? ? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ?

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用 π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 ,故 t 秒转过的弧度数 30 π 为30t, ?π π? ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞). ? ? 到达最高点时,h=10.4 m. ?π π? π π π ? ? 由 sin 30t-2 =1 得 t- = ,∴t=30, 30 2 2 ? ? ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 s.

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

[点评] 在解答过程中易出现求得 B 的坐标为(4.8cosθ, 4.8sinθ)的错误, 导致错误的原因是没有理解三角函数的定 义.
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归纳总结 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模 型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例 题,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数 学语言” ,这个过程就是数学建模的过程,在高考中,将实 际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出 三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质 进行解题.

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变式题 [2012· 广州模拟] 某城市一年中 12 个月的平 均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+ ?π ? Acos?6(x-6)?(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月 ? ? 份的月平均气温最高, 为 28℃, 12 月份的月平均气温最低, 为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃.

[答案] 20.5

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
? ?a+A=28, ? ?a=23, ? [解析] 由题意得 ∴? ? ?a-A=18, ? ?A=5, ?π ? ∴y=23+5cos?6(x-6)?. ? ? ? 1? ?- ?=20.5. 当 x=10 时,y=23+5× ? 2?

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答题模板
例 2cos2x.

4

三角函数图象与性质类综合题的解题规范

[2012· 昌 平 一 模 ] 已 知 函 数 f(x) = 3 sin2x +

π (1)将 f(x)的图象向右平移12个单位,再将周期扩大一 倍,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间.
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

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cos2x+1 解:(1)依题意 f(x)= 3sin2x+2· 2 ? π? = 3sin2x+cos2x+1=2sin?2x+6?+1,3 分 ? ? π 将 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 12 , 得 到 函 数 f1(x) = ? ? π ? π? 2sin?2?x-12?+6?+1=2sin2x+1,该函数的周期为 π,若将其 ? ? ? ? 周期变为 2π,则得 g(x)=2sinx+1.6 分 (2)函数 f(x)的最小正周期为 T=π,7 分 π π π 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,函数单调递增,9 分 2 6 2 π π 解得 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z),11 分 ? π π? 故函数的单调递增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z).12 分 ? ?
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

[方法解读] 首先把函数化简成y=Asin(ωx+φ)+B的 形式,然后利用图象变换得到g(x)的表达式,再求出单调 区间.

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π [2011· 浙江卷 ] 已知函数 f(x) = Asin x + φ , 3 π x∈R,A>0,0<φ<2.y=f(x)的部分图象如图 3-20-3 所示,P, Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求 A 的值. 自我检评
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图 3-20-3

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用 2π 解:(1)由题意得,T= =6, π 3 π π 因为 P(1,A)在 y=Asin3x+φ 的图象上,所以 sin3+φ=1. π π 又因为 0<φ<2,所以 φ=6. (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A). π π 3π 由题意可知3x0+6= 2 ,得 x0=4,所以 Q(4,-A), 2π 连接 PQ,在△ PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-(9+4A2) cos∠PRQ = = =- 2 2RP· RQ 2A· 9+A 1 ,解得 A2=3. 2 又 A>0,所以 A= 3.
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

【备选理由】 例1补充正切函数y=tanx的图象和性质;例2是正弦 曲线与余弦曲线的图象变换的关系.

教 师 备 用 题
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
? π? 例 1 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?, y=f(x) ? ? ?π? 的部分图象如图,则 f?24?=________. ? ?

教 师 备 用 题

[答案]

3

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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用
?3π π? π π π ? - ?= , [解析] 由图象知ω=2× ω = 2. 又由于 2× +φ 8 8 2 8 ? ? π π π π =kπ+2(k∈Z),得 φ=kπ+4(k∈Z),又|φ|<2,所以 φ=4.这 ? π? 时 f(x)=Atan?2x+4?.又图象过点 (0,1),代入得 A=1,故 f(x) ) ? ? ? ?π? ? π? π π? ?= 3. + =tan?2x+4?.所以 f?24?=tan?2× ? ? ? ? ? 24 4?

教 师 备 用 题
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

例2

? π? 已知 f(x)=cos?ωx+3?(ω>0)的图象与 y=1 的图象的 ? ?

两相邻交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y =sinωx 的图象( ) 11π A.向右平移 12 个单位长度 5π B.向右平移12个单位长度 11π C.向左平移 个单位长度 12 5π D.向左平移12个单位长度
教 师 备 用 题
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第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模 型的简单应用

依题意,y=f(x)的最小正周期为 π,故 ω=2, ? ? π? π π? 5π 因为 y=cos?2x+3?=sin?2x+3+2?=sin2x+ 6 , ? ? ? ? 5π 所以把 y=sin2x 的图象向左平移12个单位长度即可得到 y ? π? =cos?2x+3?的图象,故选 D. ? ? [解析] D

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第21讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式

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考试大纲
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切 公式. 3. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、 正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它 们的内在联系.

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第21讲
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

—— 知 识 梳 理 ——
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.公式 S(α±β):sin(α± β)=_________________ sinαcosβ±cosαsinβ ; cosαcosβ?sinαsinβ ; 2.公式 C(α±β):cos(α± β)=________________ 3.公式 T(α±β):tan(α± β)=__________________, ±β)(1?tanαtanβ) 公式可变形为:tanα± tanβ=tan(α _________________ .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sinαcosα; 1.公式 S2α:sin2α=________ cos2α-sin2α = 2 .公式 C2α : cos2α = _____________ 2α-1 =________ 2cos 1-2sin2α , ________ 1-cos2α 2 2 公式可变形为:sin α=________ , cos α= 2
1+cos2α 2 ________ ;
2tanα -tan2α . 3.公式 T2α:tan2α=1 ________

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

—— 疑 难 辨 析 ——
1.公式的适用范围 π π (1)当 α=2,β=4时,cos(α-β)=cosα+cosβ 成立; 若 α, β 为任意角, cos(α-β)=cosα+cosβ 也成立. ( ) (2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意的角 都适用.( )

[答案] (1)?

(2)?
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π π π 3 [解析] 取 α=2, β=3, 则 cos(α-β)=cos6= 2 , cosα π 1 +cosβ=cos3=2,等式不成立. (2)公式 S(α±β)与 C(α±β)对任意的角 α,β 均适用,在公 式 T(α±β)中,要求 tanα,tanβ,tan(α± β)都有意义,即 α,β, π α± β 都不等于2+kπ(k∈Z).

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2.公式的变形 (1)判断下列各式化简的结果是否正确: ?π ? 1 3 ①2cosx- 2 sinx=cos?3-x?.( ) ? ? ? 1-tanα π? ② =tan?α-4?.( ) 1+tanα ? ? (2)用 tanα 表示 sin2α,cos2α,得 sin2α= 1+tan2α cos2α= .( 1-tan2α )
?π ? ?π ? sin?4-α?=cos?4+α?.( ? ? ? ?

2tanα 2 , 1-tan α

(3)对任意的角 α,有
[答案] (1)①?

)

②?

(2)?

(3)√
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1 3 π π [ 解 析 ] (1)① cosx - sinx = cos cosx - sin sinx = 2 2 3 3 ?π ? cos?3+x?. ? ? π ?π ? ? 1-tanα tan4-tanα π? ② = =tan?4-α?=-tan?α-4?. π 1+tanα ? ? ? ? 1+tan4tanα

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

cos2α-sin2α 2sinαcosα 2tanα (2)sin2α = 2 = , cos2α = 2 sin α+cos2α 1+tan2α sin α+cos2α 1-tan2α = . 1+tan2α ?π ? π π 2 (3)由公式,有 sin?4-α?=sin4cosα-cos4sinα= 2 (cosα ? ? -sinα), ?π ? π π 2 ? ? + α cos 4 =cos4cosα-sin4sinα= 2 (cosα-sinα), 故等式 ? ? 成立.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点统计 1.两角和与差的三角函 数公式

题型(考频)

题型示例(难度)

点 面 讲 考 向

选择(1) 填空(1) 解答(11) 选择(3) 填空(1) 解答(6)

2012年广东T16(B), 2012年福建T17(B), 2012年湖北T17(B) 2012年北京T15(A), 2012年福建T17(B)

2.倍角公式

填空(11) 3.角变换 2012年广东T16(B) 解答(1) 说明: A表示简单题, B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点一

两角和与差的三角函数公式的应用

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 深圳调研] 已知直线 l:xtanα-y-3tanβ =0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 1,则 tan(α+β)=( ) 7 7 A.-3 B.3 5 C.7 D.1 (2)[2012· 安徽卷] 在平面直角坐标系中, 点 O(0, 0), P(6, 3π → → ,则 8),将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转 4 后得向量OQ 点 Q 的坐标是( ) A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2)
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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[思考流程] (1)分析:依据直线斜率及截距的定义得 到正切值;推理:求出和角的正切;结论:得出对应的值. (2)分析:由点的坐标得出正余弦值;推理:求出 θ+ 3π 4 的正余弦;结论:可解得 Q 点坐标.

[答案]

(1)D

(2)A

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[解析] (1)因为直线 l:xtanα-y-3tanβ=0 的斜率为 2,在 1 2- 3 1 y 轴上的截距为 1,所以 tanα=2,tanβ=- ,tan(α+β)= 3 2 1+ 3 =1. (2)本题考查三角函数的和角公式,点的坐标. ? ? → = (10cosα , 设 ∠POx = α , 因 为 P ??6,8?? , 所 以 OP 3 4 10sinα)?cosα= ,sinα= , 5 5 ? ? ? 3π? 3π?? → 则OQ=?10cos?α+ 4 ?,10sin?α+ 4 ??=(-7 2, - 2). 故 ? ? ? ?? ? 答案为 A.

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点 面 讲 考 向

[点评] 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求 值,其关键是熟练掌握公式的特点,准确使用公式;已知 三角函数值求角,应根据条件确定角的范围,然后选择求 取值范围内的具有单调性的一个三角函数值,最后由三角 函数值求角的值;高考中,常与同角三角函数的基本关系 式、诱导公式综合,考查三角函数求值问题.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

归纳总结 两角和与差的三角函数公式以及倍角公式 之间的关系如下表:
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两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同 角的三角函数运算规律”,对公式要会“正用”“逆 用”“变形用”,记忆公式要注意角、三角函数名称排列 以及连接符号“+”“-”的变化特点.
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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asinα+bcosα 变式题 (1)实数 a,b 均不为零,若 =tanβ, acosα-bsinα π b 且 β-α= ,则a=( ) 6 3 3 A. 3 B. C.- 3 D.- 3 3 (2)[2012· 银川模拟] 在平面直角坐标系中,以原点 O 为顶 点,以 x 轴的非负半轴为始边作锐角 α,钝角 β,它们的终边分 3 别与单位圆相交于 A, B 两点, 且 A, B 两点的横坐标分别为 2 , α+β 1 -2,那么 sin 2 的值等于( ) 6- 2 2+ 6 2+ 6 6- 2 A. 4 B. 4 C.- 4 D.- 4
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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b asinα+bcosα tanα+a [解析] (1)∵tanβ= = b, acosα-bsinα 1-tanα· a π π b 令 tanφ=a,∵β-α= ,∴tanα+ =tan(α+φ), 6 6 π 3 ∴α+φ=α+ +kπ(k∈Z),∴tanφ= . 6 3 3 1 (2)由任意角的三角函数定义,得 cosα= ,cosβ=- , 2 2 ∵α 为锐角,β 为钝角, ∴α=30° ,β=120° ,则 α+β=150° , α+β ∴sin = sin75°= sin(45°+ 30° ) = sin45° cos30°+ 2 6+ 2 2 3 2 1 cos45° sin30° = 2 ×2 + 2 × 2= 4 ,故选 B.

[答案] (1)B

(2)B

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点二
例2

倍角公式的应用
? π? cos?α+6? ? ?

(1)[2012· 郑州调研] 设 α 为锐角, 若 ) 8 2 D. 35

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? π? 4 =5,则 sin?2α+12?的值为( ? ? 3 5 7 2 17 2 A. B. C. 17 25 50

(2)已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= =( ) 5 A.- 3 5 B.- 9 5 C. 9 5 D. 3

3 , 则 cos2α 3

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

π π 思考流程 (1)分析:依据 α+6与 2α+3的倍角关系; 推理:利用倍角与差角关系;结论:得出函数的值. (2)分析:依据三角函数中和角及二倍角公式;推理: 求出角的象限和 2α 的正弦值;结论:得出 2α 的余弦值. [答案] (1)C (2)A

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

? ? ? π? 3 π?? 24 [解析] (1)由条件得 sin?α+6?=5,从而 sin?2?α+6??=25, ? ? ?? ? ? ? ? ? ? π ?? π? π π? 16 7 cos?2?α+6??=2× -1= , 从而 sin?2α+12?=sin?2α+3-4?= 25 25 ?? ? ? ? ? ? ?

24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50 3 π (2)由 sinα+cosα= 3 及 α 为第二象限角有 2kπ+2<α<2kπ 3π 3π + (k∈Z) ,∴4kπ + π<2α<4kπ + (k∈Z) .原式两边平方得 4 2 2 5 2sinαcosα=sin2α=-3,∴cos2α=- 3 ,故选 A.

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点 面 讲 考 向

[点评] 应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求值, 要注意观察所求式子的结构,灵活选用公式或公式的变形; 给值求值问题,关键是寻找已知条件中的角与所求式子中 的角之间的关系,把已知与未知联系起来;求解这类问题 时,要注意与其他公式的综合,如下面变式题.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

归纳总结 注意“和”“差”“倍”都是相对的,如 2α是α的倍角,而4α是2α的倍角;公式的变形在解题中起 重要作用,要掌握这些变形公式及其应用,特别是二倍角 的余弦公式的变形,它能起到化倍角为单角的升幂作用, 也能起到化单角为倍角的降幂作用.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

变式题 sinθ=( ) 3 4 A. B. 点 5 5
面 讲 考 向

(1)[2012· 山东卷] 若 7 3 C. D. 4 4

?π π? 3 7 ? ? , θ∈ 4 2 ,sin2θ= ,则 8 ? ?

(2)已知

? π? tan?x+4?=2, ? ?

tanx 则tan2x的值为(

)

5 4 A.9 B.7
[答案]

2 4 C.9 D.9
(1)D (2)D

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第21讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

[解析] (1)本题考查三角函数的二倍角公式,考查运算求解能 力,中档题. ?π π? 3 7 方法一:∵θ∈?4,2?,sin2θ= , 8 ? ? ?3 7? 3 ? ?2 2 ∴cos2θ=- 1-? ? =1-2sin θ,解之得 sinθ=4. ? 8 ? 3 7 ? ?2sinθcosθ= , 3 8 方法二:联立? 解之得 sinθ=4. 2 2 ? ?sin θ+cos θ=1,

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式
? π? 2tan?x+4? ? ? ? π? 2 1-tan ?x+4? ? ?

(2) 因 为 tan2
点 面 讲 考 向

? π? ?x+ ? 4? ?





2× 2 4 = - ,而 2 3 1-2

? π? tanx+1 3 tan2x=4,又因为 tan?x+4?= = ? ? 1-tanx 1 tanx 4 2,所以解得 tanx= ,所以 = . 3 tan2x 9 ? π? tan?2x+2?=-cot2x,所以 ? ?

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点三

角变换的应用

点 面 讲 考 向

?π ? 1 ?π β? π π 例 3 (1)若 0<α<2, -2<β<0, cos?4+α?=3, cos?4-2? ? ? ? ? ? β? 3 = 3 ,则 cos?α+2?=( ) ? ? 3 3 5 3 6 A. 3 B.- 3 C. 9 D.- 9 ?π ? 1 sin?6-α?=3,则 ? ? ?2π ? cos? 3 +2α?的值为( ? ?

(2)若 1 A.3

)

1 7 B.-3 C.9

7 D.-9

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据三个角之间的关系;推理: 利用差角公式;结论:得出函数值. π 2π (2)分析:依据两个角6-α 与 3 +2α 之间的关系;推 理:利用倍角公式;结论:得出函数值.

[答案]

(1)C

(2)D

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

π 1 π π 3π π 2 2 [解析] (1)由 cos4+α=3, 可得 sin4+α= 3 , 4<4+α< 4 , π β 3 π π β π π β 6 由 cos - = 及 < - < ,可得 sin - = ,所以 4 2 3 4 4 2 2 4 2 3 ??π ? ?π β?? π π β π β ? ? ? ? ? ? cosα + 2 = cos 4+α - 4-2 = cos 4 + αcos 4 - 2 + sin 4 + ? ? ?? ?? π β αsin4-2 1 3 2 2 6 5 3 =3× 3 + 3 × 3 = 9 . π π 1 (2)∵cos3+α=sin6-α=3, 2π 7 2π ∴cos 3 +2α=2cos 3+α-1=-9.

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第21讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[点评] 在使用三角恒等变换公式求解角的三角函数 值、化简三角函数式时,角变换是一个重要技巧,解题的 关键是把目标角化为已知角.
点 面 讲 考 向

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

归纳总结 在使用三角恒等变换公式解决问题时, “变 换 ” 是其中的精髓,在 “ 变换 ”中既有公式的各种形式的变 换、 也有角之间的变换, 如 2α-β=(α-β)+α, 2α=(α+β) ?π ? π +(α-β), +2α=2?4+α?等,要始终体会“变换”的思想方 2 ? ? 法,掌握“变换”的技巧.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

思想方法


8

活用公式化简求值

tan10° tan70° 的值为________. tan70° -tan10° +tan120° 3 3

[答案]
多 元 提 能 力

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tan70° -tan10° [解析] 由 tan(70° -10° )= = 3, 1+tan70° · tan10° 故 tan70° -tan10° = 3(1+tan70° tan10° ),代入所求代数 tan70° tan10° 式得 3(1+tan70° tan10° )+tan120° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = =3. 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10°
多 元 提 能 力

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第21讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[方法解读] 此题分子tan10°tan70°与分母tan70° -tan10°是差角公式的部分,因此把差角公式变形,可 以出现同类项化简.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

自我检评 (1)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 2 5 |a-b|= .则 cos(α-β)=________. 5 1 π (2)[2013· 唐 山 一 中 月 考 ] 若 tanα = , 则 cos2α + = 2 2 ________.
多 元 提 能 力

[答案]

3 (1)5

4 (2)-5

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

多 元 提 能 力

[解析] (1)∵a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), ∴a-b=(cosα -cosβ,sinα-sinβ), 2 5 ∵|a-b|= 5 , 2 5 2 2 ∴ (cosα-cosβ) +(sinα-sinβ) = 5 , 4 3 即 2-2cos(α-β)=5,∴cos(α-β)=5. ? π? 2sinαcosα 2tanα ? (2)cos 2α+2? = - sin2α = - 2 = - =- sin α+cos2α 1+tan2α ? ? 1 2× 2 4 1=-5. 1+4

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【备选理由】 例1综合应用公式求值,是对探究点二的补充;例2补 充和差角公式的应用问题,是对探究点一和探究点三的补 充.

教 师 备 用 题
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

例1 =0.

π π 已知角 α∈4, 且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα) 2,

π (1)求 tanα+4的值; π (2)求 cos3-2α 的值.

教 师 备 用 题
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

教 师 备 用 题

解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈4,2,∴tanα=3,sinα=5,cosα=5, π 4 tanα+tan4 3+1 π (1)tanα+4= π)= 4=-7. 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 2 (2)cos2α=2cos α-1=-25,sin2α=2sinαcosα=25, π π π 1 7 3 24 cos 3 - 2α = cos 3 cos2α + sin 3 sin2α = 2 ×- 25 + 2 ×25 = 24 3-7 50 .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, sinA+sinB c,tanC= ,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB (1)求角 A,C; (2)若 S△ ABC=3+ 3,求 a,c. 例2

教 师 备 用 题
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即cosC= , cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C=3,所以 B+A= 3 . 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC=2,则 B-A=6或 B-A= 6 (舍 去), π 5π π π 得 A=4,B=12.故 A=4,C=3. 教
师 备 用 题

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

6+ 2 1 a c (2)S△ ABC=2acsinB= 8 ac=3+ 3,又sinA=sinC,

a 即 = 2 2

,得 a=2 2,c=2 3.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第22讲 简单的三角恒等变换

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考试大纲
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍 角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导 出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要 求记忆).

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第22讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

—— 知 识 梳 理 ——
一、常用的三角公式的变形 ? α α ?2 ?sin ±cos ? 1.1± sinα= . 2 2 ? ________ ? 2α 2α 2sin 2cos 2 ,1-cosα=________ 2 2.1+cosα=________ . 1-cosα 1+cosα 2α 2α 3.降幂公式:sin 2=________ ,cos 2=________ , 2 2 1-cosα α tan22=________ 1+cosα . 1-cosα sinα α 4.tan2=1 ________ . sinα +cosα =________

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

二、辅助角公式 2 2 a + b b asinα + bcosα = ________sin(α + φ) , 其 中 tanφ = ________ ,φ 的符号由 a,b 的符号确定. a 三、常见的几种角的变换 β (α-β) +β; 1.α=(α+β)-________ ,α=________ (α-β) ,2β=________ (α+β) -(α-β); 2.2α=(α+β)+________ ? β? α ?α ? α+β ? ? α - ?,α=2× - β 3. 2 =________ ________ . 2? -? 2 ? ?2 ?

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

四、常数的变换 1.1=_______________ ,1=2cos2α-________ ,1= cos2α sin2α+cos2α 2α cos2α+2sin ________ . π 1 π π 5 3 π π 2.1=tan4,2=sin6=cos3=sin6π, 2 =cos6=sin3, 2 π π 2 =sin4=cos4.

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

—— 疑 难 辨 析 ——
1.判断下列三角变换是否正确 1 (1)cosα·sinβ=2[sin(α+β)+sin(α-β)].( 1 (2)sinα·sinβ=2[cos(α+β)-cos(α-β)].( θ+φ θ-φ (3)sinθ+sinφ=2sin 2 sin 2 .( ) θ+φ θ-φ (4)cosθ+cosφ=2cos 2 sin 2 .( )

) )

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

(4)?
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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

[解析] (1)因为 sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α-β)=sinα cosβ -cosα sinβ , 两式相减,得 sin(α+β)-sin(α-β)=2cosα sinβ , 1 即 cosα ?sinβ =2[sin(α+β)-sin(α-β)]. (2)因为 cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sinβ , cos(α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ , 两式相减,得 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinα sinβ , 1 即 sinα ?sinβ =-2[cos(α+β)-cos(α-β)].

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

(3)因为 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα cosβ, θ+φ θ-φ 设 α+β=θ,α-β=φ,则 α= 2 ,β= 2 , θ+φ θ-φ ∴sinθ +sinφ =2sin 2 cos 2 . (4)因为 cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα cosβ , θ+φ θ-φ 设 α+β=θ,α-β=φ,则 α= 2 ,β= 2 , θ+φ θ-φ ∴cosθ +cosφ =2cos cos . 2 2

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

2.判断下列三角变换是否正确 1+cosα α (1)若 α 是第二象限的角, 则 cos2= 2 .( sin2α (2)tanα=3,则cos2α=4.( ) 1 1 (3)sin15° +cos15° =2sin30° =4.( ) α 2tan2 (4)sinα= .( ) α 1-tan22

)

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

(4)?
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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

π [解析] (1)由 α 是第二象限的角,得 2 +2kπ <α <π +2k π ,k∈Z, π α π 即 4 +kπ <2< 2 +kπ ,k∈Z, 1+cosα α α ∴ 是第一或第三象限的角,cos =± . 2 2 2 sin2α 2sinα cosα (2) 2 = =2tanα =2?3=6. cos α cos2α

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双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

(3)sin15°+cos15°=sin15°+sin75°=sin(45°- 2 3 30°)+sin(45°+30°)=2sin45°cos30°=2? 2 ? 2 6 =2. α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 (4)sinα = = . α α α sin2 2 +cos2 2 1+tan2 2

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简单的三角恒等变换

考点统计

题型(考频) 解答(1) 选择(5) 填空(1) 解答(2) 解答(4) 解答(1)

题型示例(难度) 2012年北京T15(A) 2012年天津T6(A), 2012年福建T14(B), 2012年浙江T18(B) 2012年山东T17(B), 2012年陕西T16(2)(B) 2012年福建T17(B)

1.三角函数式的化 简
点 面 讲 考 向

2.根据三角函数值 求值 3.根据三角函数值 求角 4.三角恒等变换的 综合应用

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题, 考频分析2012年课标地区真题卷情况.
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简单的三角恒等变换

?

探究点一
例 1

三角函数式的化简

点 面 讲 考 向

(1)[2012· 辽 师 大 附 中 检 测 ] 化 简 ? θ θ? (1+sinθ+cosθ)?sin2-cos2? ? ? (0<θ<π) 的 结 果 为 2+2cosθ ____________________________________________________ ____________________. 1+cos20° (2)[2012·郑 州 模 拟 ] 化 简 求 值 : 2sin20° - ? 1 ? ? ?=________. -tan5° sin10° · tan5° ? ?

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

θ [思考流程] (1)分析:依据角的关系化为同一个角2; 推理:合理利用倍角公式化简;结论:得出对应的值. (2)分析:把 20°,5°都化为 10°;推理:合理利用 倍角、半角公式化简;结论:得出对应的值.

[答案]

(1)-cosθ

3 (2) 2

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

θ θ θ θ 2θ 2sin cos +2cos sin -cos 2 2 2 2 2 [解析] (1)原式= 2θ 4cos 2 θ θ 2θ 2θ cos 2 sin 2 -cos 2 -cos 2 cosθ = = ? , ? ? ? θ ? θ ? ? ? ?cos 2 ? ?cos 2 ? ? ? ? ? θ π θ 因为 0<θ<π ,所以 0<2< 2 ,所以 cos2>0, 所以原式=-cosθ .

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

2cos210° cos5° sin5° (2)原式= -sin10° - 2?2sin10°cos10° sin5° cos5° cos10° cos25°-sin25° = -sin10°? 2sin10° sin5°cos5° cos10° cos10° = -sin10° ?1 2sin10° 2sin10° cos10° cos10°-2sin20° = -2cos10°= 2sin10° 2sin10° cos10°-2sin(30°-10°) = 2sin10° 1 3 cos10°-22cos10°- 2 sin10° 3sin10° 3 = = =2. 2sin10° 2sin10°
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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

[点评] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:① 一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与 联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;②二看 “函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的 公式,常见的有“切化弦”;③三看“结构特征”,分析 结构特征,可以帮助我们达到变形的方向,常见的有“遇 到分式要通分”等.

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

归纳总结 三角函数求值、化简的基本思想是“变 换”,通过适当地变换达到由此及彼的目的.变换的基本 方向有两个,一个变换函数名称,可以使用诱导公式、同 角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;一个是变换角的 形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式, 对角进行代数形式的变换等.

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简单的三角恒等变换

?

探究点二
例 2

根据三角函数值求值

点 面 讲 考 向

3 π [2012· 石 家 庄 检 测 ] 已 知 0<β< 4 <α< 4 π , ?π ? ?3 ? 3 5 ? ? ? ? - α π + β cos 4 = 5 , sin 4 = 13 , 则 sin(α + β) 的 值 为 ? ? ? ? ________.

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简单的三角恒等变换

[思考流程] 分析:发现题设中的角与待求式中的角 的关系;推理:利用和角公式计算;结论:得出函数的值.
点 面 讲 考 向

[答案]

56 65

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π 3π [解析] (1)方法一:∵ 4 <α < 4 , 3π π π π ∴- <-α<- ,- < -α<0. 4 4 2 4 ?π ? 3 π 4 ? ? 又∵cos? -α?= ,∴sin -α=- . 4 5 ?4 ? 5 π 3π 3π 又∵0<β< 4 ,∴ 4 < 4 +β<π . ?3 ? 3π 5 12 ? ? 又∵sin 4 +β=13,∴cos 4π +β =-13, ? ? π 3π π ∴sin(α+β)=-cos 2 +(α+β)=-cos 4 +β- 4 -α 3π π 3π π =-cos 4 +βcos 4 -α-sin 4 +βsin 4 -α 12 3 5 4 36 20 56 =--13?5-13?-5=65+65=65.
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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π π 3 方法二:∵cos -α=sinα+ = . 4 4 5 ? π π π? 4 ? ? α+ 4 ?=-5, 2 <α + 4 <π ,∴cos? ? ? ?3π ? 5 3π 3π ? ? ∵sin? +β?=13, 4 < 4 +β<π , ? 4 ? ?3π ? 12 ? ∴cos? +β? =- . ? 13 4 ? ? ? π 3π ? ? ? ∴sin(α+β)=-sin?α+ +β+ 4 4 ? ? ? ? ? ? ? π? 3π ? 3π ? π? ? ? ? ? ? ? ? ? =-sin?α+ ?cos?β+ + sin ? cos β + α + ? ? 4? ? 4 ? 4 ? 4? ? ? ? ? ? ? 56 =65.

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

[点评] 在三角函数的化简、求值中,常常对条件和 结论进行恰当变换,把“所求角”用“已知角”表示,以 满足应用公式的条件;当“已知角”有两个时,“所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角” 有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或 差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知 角”.

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

归纳总结 三角函数式的化简求值可以采用“切化 弦”、“弦化切”来减少函数的种类,做到三角函数名称 的统一,通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值或 证明,其基本思维过程为:找差异、化同名,化简求值.

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简单的三角恒等变换

变式题

(1) 已 知 tan

? π? ?α+ ? 4? ?

1 π = 2 , 且 - 2 <α<0 , 则

点 面 讲 考 向

2sin2α+sin2α ) ? π? 等于( cos?α-4? ? ? 2 5 3 5 3 10 2 5 A.- 5 B.- 10 C.- 10 D. 5 (2)[2013· 温州中学月考 ] 若方程 (x - 2cosθ)2 + (y - 2sinθ)2 3 =1(0≤θ<2π)的任意一组解(x,y)都满足不等式 y≥ 3 x,则 θ 的 取值范围是( ) ?π 7π? ?5π 13π? ?π ? ?π ? A.?6, 6 ? B.?12, 12 ? C.?2,π? D.?3,π? ? ? ? ? ? ? ? ?
[答案] (1)A (2)D

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

tanα +1 1 1 [解析] (1)由已知得 = ,解得 tanα =- , 3 1-tanα 2 sinα 1 即 =-3,cosα =-3sinα ,代入 sin2α +cos2α =1 中, cosα π 10 结合- 2 <α<0,可得 sinα =- 10 , 2sin2α +sin2α 2 2sinα (sinα +cosα ) 所以 =2 2sinα ? ? = sin α + cos α π ? cos? α - ? 4? ? ? 10 2 5 =2 2?- =- ,故选 A. 10 5

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

(2)设 x-2cosθ =cosα ,y-2sinθ =sinα , 则 x=2cosθ +cosα ,y=2sinθ +sinα , 3 3 y≥ 3 x 即 2sinθ +sinα ≥ 3 (2cosθ +cosα ), 2 3 3 2 3 即 2sin θ - 3 cos θ ≥ 3 cos α - sin α = 3 ? ?1 ? 2 3 π? 3 ? ? ? ? = cos 对任意 α 恒成立,即 2sinθ - cos α - sin α α + ?2 ? ? 3 2 3? ? ? ? ? π? 2 3 2 3 4 3 ? 2 3 ? ? θ- 6 ? ≥ 3 恒 成 立 , 即 3 cos θ ≥ 3 恒 成 立 , 即 3 sin ? ? ? ? π π 5π π π? ? ? 1 sin?θ- ?≥2,由于 0≤θ<2π ,故 6 ≤θ - 6 ≤ 6 ,即 3 ≤θ ≤ 6? ? π.

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简单的三角恒等变换

?

探究点三

根据三角函数值求角

点 面 讲 考 向

π π 例 3 (1)已知 0<α<2,0<β<2,且 3sinβ=sin(2α+β), α 2α 4tan2=1-tan 2,则 α+β 的值为________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中, 以 Ox 轴为始边作两个 锐角 α,β,它们的终边分别与单位圆交于 A,B 的横坐标 2 2 5 分别为 10 , 5 ,则 α+2β 值为________.

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据角之间的关系;推理:求 出 α+β 的范围及正切值;结论:得出所求角. (2)分析:依据角之间的关系;推理:求出 α+2β 的范 围及正切值;结论:得出所求角.

[答案]

π (1) 4

3π (2) 4

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

α 2α 2α [解析] (1)∵4tan =1-tan ,且 1-tan ≠0. 2 2 2 α 2tan 2 1 ∴tanα = = , 2 α 2 1-tan 2 又∵3sinβ =sin(2α+β), ∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 即 3sin(α + β)cos α - 3cos(α + β)sin α = sin(α + β)cos α + cos(α+β)sinα , ∴2sin(α+β)cosα =4cos(α+β)sinα , π π ∵0<α < 2 ,0<β< 2 ,∴0<α+β<π , ∴cos(α+β)≠0,sinα ≠0.
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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

2sin(α+β)cosα ∴cos(α+β)sinα ≠0,∴ =4, cos(α+β)sinα tan(α+β) 即 =2.∴tan(α+β)=2tanα =1,① tanα π π 又∵0<α< 2 ,0<β< 2 ,∴0<α+β<π ,② π 由①和②知 α+β= 4 .

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

(2)由已知条件得 2 2 5 cos α = 10 , cos β = 5 .∵α , β 为 锐 角 , ∴sin α = 7 2 2 1-cos α = 10 , 5 1 2 sinβ = 1-cos β = 5 .因此 tanα =7,tanβ =2. 1 7+ tanα +tanβ 2 tan(α+β)= = 1=-3. 1-tanα ?tanβ 1-7?2

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

1 2?2 2tanβ 4 ∵tan2β = = 1 =3, 1-tan2β 1-22 4 7+3 ∴tan(α+2β)= 4=-1. 1-7?3 3π 3π ∵α ,β 为锐角,∴0<α+2β< 2 ,∴α+2β= 4 .

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第22讲

简单的三角恒等变换

[点评] 已知三角函数值求角,一般分两步:①恰当 地根据角的范围选择一个三角函数值;②根据角的范围与 三角函数值确定该角的值.
点 面 讲 考 向

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 湖北卷] (1)函数 f(x)=xcosx2 在区间 [0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 ? ? ?α? π? π? (2)已知函数 f(x)=tan?2x+4?,设 α∈?0,4?,若 f?2?= ? ? ? ? ? ? 2cos2α,则 α 的大小为________. π [答案] (1)C (2) 12

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

[解析] (1)令 f(x)=0, 得 x=0 或 cosx2=0, 由 x∈??0,4??, ?π ? ? ? ? ? ? 2 2 ?k∈Z?, 得 x ∈??0,16??.因为 cos? +kπ ? = 0 故方程 cos x =0 ? ? ? 2 ? ? π 3π 5π 7π 9π ?? ? 2 2 ? .所 0 , 16 中 x 的解只能取 x = 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ∈? ? 以零点个数为 6.故选 C.

?

?

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第22讲

简单的三角恒等变换
?α? f?2?=2cos2α ? ?

(2)由

,得
? sin? ?α ? , 即 ? cos? ?α ?

点 面 讲 考 向

? π ? tan?α+ 4 ?

? ? ?=2cos2α ?

π? ? +4? ? 2 2 = 2(cos α - sin α ), π? ? +4? ?

sinα +cosα 整理得 =2(cosα +sinα )(cosα -sinα ). cosα -sinα ? π? ? 因为 α∈?0, ? ?,所以 sinα +cosα ≠0. 4 ? ? 1 1 2 因此(cosα -sinα ) =2,即 sin2α =2. ? ? π? π? ? ? ? 由 α∈?0, ?,得 2α∈?0, ? ?. 4 2 ? ? ? ? π π 所以 2α= 6 ,即 α=12.
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第22讲

简单的三角恒等变换

?

探究点四
例 4

三角恒等变换的综合应用

点 面 讲 考 向

sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

π? 2 ? [2012· 长春模拟] 设函数 f(x)= 2 cos?2x+4?+ ? ?
? π? g?x+2?=g(x),且当 ? ?

(2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有
? π? 1 ? ? x∈ 0,2 时,g(x)=2-f(x).求 ? ?

g(x)在区间[-π,0]上的解

析式.

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据三角公式化简 f(x)解析式; 推理:变为一角一名一次后利用周期公式;结论:得出周 期; ? π? ? ? (2)分析:依据条件得出 g(x)在?0, ?的解析式;推 2 ? ? 理:利用周期性得出 g(x)在[-π ,0]的函数关系;结论: 得出函数解析式.

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π? 2 ? ? 解:(1)f(x)= cos?2x+ ? +sin2x ? 2 4? ? π π? 2? ? ? 1-cos2x = ?cos2xcos -sin2xsin ?+ 2? 2 4 4? 1 1 =2-2sin2x. 故 f(x)的最小正周期为π .

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

? π? 1 1 ? (2)当 x∈?0, ? 时, g ( x ) = - f ( x ) = sin2x,故 ? 2 2 2 ? ? ? π ? π ? π? ? ? ? ①当 x∈ ?- ,0? 时, x + 2 ∈ ?0, ? . 由于对任意 2 2? ? ? ? ? ? π? ? x∈R,g?x+ ? ?=g(x),从而 2 ? ? ? ? ? π? π? 1 ? 1 1 ? ? ?? ? ? g(x) = g ?x+ ? = 2 sin ?2?x+ ?? = 2 sin( π + 2x) =- 2 2 ?? 2? ? ? ?

sin2x.

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

? π? π? ? ? ? ②当 ,- ?时,x+π ∈?0, ?,从而 2? 2? ? 1 1 g(x)=g(x+π )= sin[2(x+π )]= sin2x. 2 2 综合①②得 g(x)在[-π ,0]上的解析式为 ? ? ? ?1sin2x,x∈?-π ,-π ?, ? 2? ?2 ? ? ? g(x)= ? π ? ? 1 ? ? - sin2 x , x ∈ - , 0 ? ?. ? 2 2 ? ? ?

? x∈? ?-π ?

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第22讲

简单的三角恒等变换

[点评] 把复合型三角函数化为一角一名一次,将两角 和的余弦公式中的减号记为加号,以及求解 g(x)时不能恰 当地分类讨论是易错点.
点 面 讲 考 向

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①三角恒等变换可以归纳为以下三步: (i)找到差异: 主要是指角、 函数名称和运算间的差异. (ii)抓住联系:即利用有关公式,建立差异间的联系. (iii)促进转化:就是灵活选择公式,促使差异转化,可 把角进行合理地拆分或“切化弦”, 以达到简化统一的目的. ②三角恒等式的证明,实质上也是一个化简过程,基 本思路仍然要注意三角恒等变换思想方法的灵活运用.

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π 变式题 [2012· 沈阳模拟] 已知 0<α< ,β 为 f(x) = 4 ? ? ? ? π? 1 ? cos?2x+8?的最小正周期, a=?tan?α+4β?,-1?, b=(cosα, ? ? ? ? ? ? 2cos2α+sin2(α+β) 2),且 a· b=m,求 的值. cosα-sinα

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简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π 解:因为 β 为 f(x)=cos2x+ 的最小正周期,所以 β 8 =π . 1 因为 a· b=m,又 a· b=cosα tanα + β-2, 4 1 故 cosα tanα +4π =m+2. π 由于 0<α< 4 ,

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第22讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

2cos2α +sin2(α+β) 所以 cosα -sinα 2cos2α +sin(2α+2π ) = cosα -sinα 2cos2α +sin2α = cosα -sinα 2cosα (cosα +sinα ) = cosα -sinα 1+tanα =2cosα ? 1-tanα π =2cosα tanα + 4 =2(2+m).

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第22讲

简单的三角恒等变换

思想方法

9 化归与转化思想在三角恒等变换中的应用

例 已知函数 f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx. (1)求函数 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)当 x∈?-4,4?时,求函数 f(x)的最大值,并写出 x ? ? 相应的取值.
多 元 提 能 力

[分析] 首先把函数数 f(x)化简或 y=Asin(ωx+φ)+B 的类型,然后利用性质求解.

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第22讲

简单的三角恒等变换

多 元 提 能 力

解:(1)f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x= 2 ? π? 2π ? ? sin 2x+4 ,所以函数 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ? ? π π π π 3π (2)∵-4≤x≤4,∴-4≤2x+4≤ 4 , ? π? ∴-1≤ 2sin?2x+4?≤ 2, ? ? π π π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2. 4 2 8

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第22讲

简单的三角恒等变换
? π? f(x)=2sinxcosx+sin?2x+2?. ? ?

自我检评

已知函数

(1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; ? π? (2)设 x∈?0,3?,求 f(x)的值域. ? ?

多 元 提 能 力

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第22讲

简单的三角恒等变换

π 解:(1)f(x)=sin2x+cos2x= 2sin2x+ , 4 2π 周期 T= 2 =π ; π π π 3π 令 2kπ - 2 ≤2x+ 4 ≤ 2 +2kπ ,得 kπ - 8 ≤x≤kπ +
多 元 提 能 力

π , 8
? 所以,单调递增区间为? ?kπ ?

3π π? ? - 8 ,kπ + 8 ?,k∈Z, ?

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简单的三角恒等变换

多 元 提 能 力

π π ? 11π ? ?π ? (2)方法一:当 x∈0, 时,t=2x+ ∈? , , 3 4 ?4 12 ? ? ?π π 11π ? ? ? 由 y= 2sint,t∈? , ?的图象可知,当 t= 2 时,y 有 4 12 ? ? 11π 11π 3-1 最大值 2;当 t= 时,y 有最小值 2sin = . 12 12 2 ? 3-1 ? ? ? 所以,f(x)的值域为? , 2 ?. ? 2 ? π π π 11π 方法二:若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ , 3 4 4 12 11π π π π 6- 2 π sin 12 =sin12=sin 4 - 6 = 4 <sin 4 , 6- 2 π 3-1 π ∴ ≤sin2x+ ≤1, ≤ 2sin2x+ ≤ 2, 即 f(x) 4 4 2 4 3-1 的值域为 2 , 2.
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简单的三角恒等变换

【备选理由】 例1综合三角恒等变换,三角函数的性质,三角函数 的求值等知识,是常见题型;例2是三角变换与数列的交 汇.

教 师 备 用 题
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简单的三角恒等变换

已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). ? π? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ? 上的最大 2? ? ? 值和最小值; ?π π? 6 ? (2)若 f(x0)=5,x0∈? , ? ,求 cos2x0 的值. 2? ?4 ? 例1

教 师 备 用 题
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第22讲

简单的三角恒等变换

教 师 备 用 题

解:(1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1) ? π? ? = 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ? ?, 6 ? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为π . ? ? π? π? ? ? ? 因为 f(x)=2sin?2x+ ?在区间?0, ? 上为增函数,在区 6? 6? ? ? ? ?π π? ? 间? , ? 上为减函数, 2? ?6 ? ?π ? ?π ? ? ? ? 又 f(0)=1,f? ?=2,f? ? 2 ?=-1, 6 ? ? ? ? ? π? ? 所以函数 f(x)在区间?0, ? 上的最大值为 2,最小值为 2? ? ? -1.
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第22讲

简单的三角恒等变换
? π? ? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+ ? , ? 6? ? ? π? 6 ? ? 3 又因为 f(x0)=5,所以 sin?2x0+ ?=5. 6? ? ?π π ? π? 7π ? ? ?2π 由 x0∈? , ?,得 2x0+ 6 ∈? , 2? 6 ?4 ? 3 ? ? π? π ? ? 2? 从而 cos?2x0+ ?=- 1-sin ?2x0+ 6? 6 ? ? ?? ? π? ?? ? π ? 所以 cos2x0=cos??2x0+ ?- ? 6? 6? ?? ? ? π π π? π? ? ? ? ? =cos?2x0+ ?cos 6 +sin?2x0+ ?sin 6 6? 6? ? ?

? ? ?, ? ? 4 ? ?=-5, ?

教 师 备 用 题

3-4 3 = 10 .
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第22讲

简单的三角恒等变换



2

已 知 函 数

π? f(x) = sin ? + ? ? + 2 12 ? ?
2 ?x

?

3

?x π ? ?x π ? 1 ? ? ? sin? + ??cos? + ?2 12?-2. 2 12 ? ? ? ?

(1)求 f(x)的值域; 1 (2)若 f(x)(x>0)的图象与直线 y= 交点的横坐标由小到 2 大依次是 x1,x2,?,xn,求数列{xn}的前 2n 项的和.

教 师 备 用 题
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第22讲

简单的三角恒等变换
? π ? 1-cos?x+ 6 ? ? ? ? ?

π? 3 ? ? ? 1 解:(1)f(x)= + 2 sin?x+ ?-2 2 6? ? ? π? π? 3 ? ? ? 1 ? = 2 sin?x+ ?-2cos?x+ ? 6? 6? ? ? ? ? π π? ? =sin?x+ - ? ?=sinx, 6 6 ? ? 所以 f(x)的值域为[-1,1].

教 师 备 用 题
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第22讲

简单的三角恒等变换

x1+x2 π x3+x4 (2)由正弦曲线的对称性、 周期性可知 2 = 2 , 2 = π x2n-1+x2n π 2π + 2 ,?, =2(n-1)π + 2 , 2 ∴x1 +x2 +?+x2n -1 +x2n =π +5π +9 π +?+(4n-3) π 1 =nπ +2n(n-1)· 4π =(2n2-n)π .

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第23讲 正弦定理和余弦定理

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考试大纲
1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定 理、余弦定理. 2. 能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形 度量问题.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

—— 知 识 梳 理 ——
一、解三角形 1.△ABC 的三个内角 A,B,C 和它们的对边 a,b, 元素 c 叫做三角形的________ ; 2 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 . ________

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

二、正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

公式

b 2+c2-2bccosA a 2 b sin B a =__________, sinA=________= c 2 c2+a2-2accosB b = __________ , sinC ____________________
=2R(其中 R 是△ABC 的 2 a2+b2-2abcosC c =__________ 外接圆的半径)

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第23讲
双 向 固 基 础
定理

正弦定理和余弦定理
正弦定理 ①a=2RsinA,b=________ ,c 2RsinB 2RsinC . =________ a ②sinA=2R,sinB= 余弦定理
b2+c2-a2 2bc , cosA=________ a2+c2-b2 2ca , cosB=________ a2+b2-c2 2ab cosC=________

定理的 b c 变形 ________ 2R ,sinC=________ 2R . csinB , ③asinB=________ bsinA , bsinC=________ asinC csinA=________ ① 已 知 三 角 形 的 任 意 两个角与一边 __________________ , 求其 他 可求解 两边和另一个角; 两边与其中 的三角 一边的对角 , 形类型 ②已知三角形的___________ 计算另一边的对角,进而计算 出其他的边和角

两边和 ① 已 知 三 角 形 的它们的夹角 ____________ 解三角形; 三边 ② 已 知 三 角 形 的 ________ 解三 角形

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

三、三角形的面积公式
已知条件 面积公式 1 S△ABC=2aha=________ 2bhb =

1

一边和这条 边上的高

1 2chc ,其中 ha,hb,hc 为 a, ________
b,c 边上的高

两边及夹角

1 1 S△ABC=________ 2absinC=________ 2acsinB= 1 bcsinA ________ 2

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

—— 疑 难 辨 析 ——
1.三角形中角关系的判断 (1)在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B.( ) (2)在△ABC 中,若 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于 45° 或 135° .( )
[答案] (1)√ (2)?

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

a b [解析] (1)由正弦定理,有 sinA= ,sinB= , 2R 2R a b 若 sinA>sinB,则 > ,即 a>b,故 A>B. 2R 2R a b (2)由正弦定理,有sinA=sinB,则 3 4 2? 2 bsinA 2 sinB= a = = . 2 4 3 又 a>b,则 A>B,B 为锐角,故 B=45°.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

2.解三角形 在△ABC 中,若 A=60° ,a=2 3,c=4,则此三角形有两 解.( )

[答案] ?

a c [解析] 由正弦定理,有 = ,则 sinA sinC 3 4? 2 csinA sinC= a = =1,C=90°,则此三角形只有 2 3 一解.

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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

3.三角形形状的判断 (1)在△ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则此三角形 是钝角三角形.( ) (2)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三 角形.( )
[答案] (1)√ (2)?

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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

[解析] (1)由 sinAsinB<cosAcosB, 得 cosAcosB-sinAsinB>0, 即 cos(A+B)>0,则 A+B 为锐角,C=180°-(A+B)为 钝角,则此三角形是钝角三角形. b2+c2-a2 (2)由余弦定理,有 cosA= >0,即 A 为锐角, 2bc 但 B,C 不一定为锐角.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

考点统计 1.利用正弦、余弦 定理解三角形 2.利用正弦、余弦 定理判断三角形形 状 3.与三角形面积有 关的问题

题型(考频) 选择(3) 填空(1) 解答(6) 填空(1)

题型示例(难度) 2012年天津T6(B), 2012年湖南T7(B), 2012年江西T17(B) 2012年安徽T15(C) 2012年浙江T18(B), 2012年江西T17(B)

点 面 讲 考 向

解答(3)

说明: A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第23讲

正弦定理和余弦定理

?

探究点一

利用正弦、余弦定理解三角形

点 面 讲 考 向

例 1 [2012· 辽宁卷改编] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)则 cosB 的值为________. (2)若边 a, b, c 成等比数列, 则 sinAsinC 的值为________.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据等差数列列出角的关系; 推理:求出角 B;结论:得出角 B 的余弦值; (2)分析:依据等比性质和正弦定理;推理:边化角; 结论:可解所求 sinAsinC 值.

[答案]

1 (1) 2

3 (2) 4

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B= 1 60°,所以 cosB=2. 1 (2)方法一:由已知 b2=ac,及 cosB= , 2 根据正弦定理得 sin2B=sinAsinC, 3 2 所以 sinAsinC=1-cos B=4. 1 2 方法二:由已知 b =ac,及 cosB=2, a2+c2-ac 1 根据余弦定理得 cosB= = ,解得 a=c, 2ac 2 3 所以 A=C=B=60°,故 sinAsinC=4.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[点评] ①正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题 时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用;正、 余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视. ②条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理,出现一 次式,一般要考虑正弦定理.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

归纳总结 正弦定理与余弦定理是架起三角形边角关 系的两座桥梁,利用这两个定理可以进行边角的互化,在 一些边角交汇的问题中,可用它们统一成边或角的三角函 数的形式,再利用三角变换的方法求解.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 商丘检测] △ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,且 a(cosB+cosC)=b+c. π (1)求证:A=2; (2)若△ABC 外接圆半径为 1, 求△ABC 周长的取值范 围.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:∵a(cosB+cosC)=b+c, a2+c2-b2 a2+b2-c2 ∴由余弦定理得 a· 2ac +a· 2ab =b+c. ∴整理得(b+c)(a2-b2-c2)=0. π 2 2 2 ∵b+c>0,∴a =b +c .故 A= 2 . π (2)∵△ABC 外接圆半径为 1,A= 2 ,∴a=2. π ∴b+c=2(sinB+cosB)=2 2sinB+ 4 . π π π 3π ∵0<B< 2 ,∴ 4 <B+ 4 < 4 ,∴2<b+c≤2 2. ∴4<a+b+c≤2+2 2, 故△ABC 周长的取值范围是(4,2+2 2].
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正弦定理和余弦定理

?

探究点二

利用正弦、余弦定理判断三角形形状

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 惠州调研] 在△ABC 中,a,b,c 分 别为内角 A,B,C 所对边,若 a=2bcosC,则此三角形 一定是________. (2)[2012· 临汾质检] 在△ABC 中,a,b,c 分别表示 三个内角 A,B,C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2 -b2)· sin(A+B),则三角形的形状是________.

[答案] (1)等腰三角形 (2)等腰或直角三角形

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[解析] (1)在△ABC 中,若 a=2bcosC,则 sinA=2sinBcosC, 即 sin(B+C)=2sinBcosC,∴sin(B-C)=0,∴B=C. (2)方法一:已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[- sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正弦定理可知上式可化为 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, ∴ sinAsinB(sinAcosA - sinBcosB) = 0 ,∴sin2A = sin2B ,由 0 <2A,2B<2π , π 得 2A=2B 或 2A=π -2B,即 A=B 或 A= 2 -B, ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

方法二:同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB, 2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b 由正、余弦定理,可得 a2b =b2a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b 或 a2+b2=c2, ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

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正弦定理和余弦定理

[点评] 方法一是利用正弦定理把条件都化为角的条 件,化简整理可得角的关系;方法二是利用正余弦定理化 为边的条件,推边的关系.
点 面 讲 考 向

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①利用正、余弦定理把已知条件转化为边 边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而 判断三角形的形状. ②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函 数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系, 从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π 这个结论.

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正弦定理和余弦定理

?

探究点三

与三角形面积有关的问题

点 面 讲 考 向

例 3 [2012· 课程标准卷] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据正弦定理及角的关系;推 理:消去角 B 求解;结论:得出 A 值. (2)分析:依据面积公式及余弦定理;推理:列出 b, c 的方程组;结论:得出 b,c 值.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

解:(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为 B=π -A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. ? π? ? ? 1 由于 sinC≠0,所以 sin?A- ?=2. 6? ? π 又 0<A<π ,故 A= 3 .

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

[点评] 三角形中的面积问题,实际上综合应用正弦 定理、余弦定理、三角形面积公式,通过把条件转化为方 程(组),使问题获得解决.

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正弦定理和余弦定理

归纳总结 与面积有关的问题,一般也要用到正弦定 理或余弦定理,进行边角转化.
点 面 讲 考 向

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第23讲

正弦定理和余弦定理

变式题
点 面 讲 考 向

π 在△ABC 中,∠A= ,tan(A+B)=7,AC 4

=3 2. (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

解:(1)在△ABC 中,因为 A+B+C=π , 所以 tanC=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B), 因为 tan(A+B)=7,所以 tanC=-7, sinC ? ?tanC= =-7, 7 2 cos C 又? 解得|sinC|= ,因为 C∈(0, 10 2 2 ? ?sin C+cos C=1, 7 2 π ),所以 sinC= . 10

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第23讲

正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

π 1+tanB (2)因为 A= 4 ,所以 tan(A+B)= =7, 1-tanB 3 解得 tanB=4, 3 因为 B∈(0,π ), 所以 sinB=5, b c 由正弦定理 = ,代入得到 c=7, sinB sinC 1 所以 S△ABC=2bcsinA π 21 1 = ?3 2?7?sin = . 2 4 2

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第23讲

正弦定理和余弦定理

答题模板

5

解三角形问题的规范解答

例 如图 3 - 23 - 1 ,在四 边 形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,

多 元 提 能 力

图 3-23-1 AD=10,AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,求 BD 及 BC 的长.

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第23讲

正弦定理和余弦定理

多 元 提 能 力

解:在△BAD 中,由余弦定理,得 BA2 = BD2 + AD2 - 2BD· ADcos∠BDA.3 分 设 BD=x, 则 142=x2+102-2× 10x· cos60° ,所以 x2-10x-96=0, 所以 x1=16,x2=-6(舍去),所以 BD=16.6 分 在△BDC 中,由正弦定理,得 BC BD = ,9 分 sin∠CDB sin∠BCD 16 所以 BC = · sin30° = 8 2 ,所以 BD = 16 , BC = sin135° 8 2.12 分

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第23讲

正弦定理和余弦定理

[方法总结] 正弦定理和余弦定理本身就是一个方程, 将已知三角形的部分元素代入正弦定理或余弦定理就可以 得出这个三角形中未知元素的方程.

多 元 提 能 力

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第23讲

正弦定理和余弦定理

自我检评 (1)[2011· 课程标准卷] △ABC 中, B=120° , AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. (2)[2011· 福建卷] 若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° , 则边 AB 的长度等于________.

[答案]
多 元 提 能 力

15 3 (1) 4

(2)2

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第23讲

正弦定理和余弦定理
7 AC AB = ,即 = sinB sinC sin120°

[解析] (1)方法一:由正弦定理,有 5 sinC, 5sin120° 5 3 所以 sinC= = , 7 14 所以 cosC= 1-sin C=
多 元 提 能 力
2

?5 3? ? ?2 11 1-? ? =14, ? 14 ?

又因为 A+B+C=180°,所以 A+C=60°, 3 所以 sinA= sin(60 °- C) = sin60 ° cosC- cos60 ° sinC= 2 11 1 5 3 3 3 ?14-2? 14 = 14 , 1 1 3 3 15 3 所以 S△ABC=2AB· ACsinA=2?5?7? 14 = 4 .
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第23讲

正弦定理和余弦定理

方法二:设 BC=x(x>0),由余弦定理,有 52+x2-72 cos120°= ,整理得 x2+5x-24=0, 10x 解得 x=3,或 x=-8(舍去),即 BC=3, 1 1 1 所以 S△ABC= AB· BCsinB= ?5?3?sin120°= ?5?3? 2 2 2 3 15 3 = . 2 4
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第23讲

正弦定理和余弦定理

1 (2)方法一:由 S△ABC= AC· BCsinC,得 2 1 2sin60°= 3,解得 AC=2. 2AC· 由余弦定理,得 1 AB = AC + BC - 2AC· BCcos60 °= 2 + 2 - 2?2?2? 2 =
2 2 2 2 2

4,
多 元 提 能 力

∴ AB=2,即边 AB 的长度等于 2.

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正弦定理和余弦定理

1 方法二:由 S△ABC= AC· BCsinC,得 2 1 2sin60°= 3,解得 AC=2. 2AC· ∴AC=BC=2, 又∠ACB=60°, ∴△ABC 是等边三角形,AB=2, 即边 AB 的长度等于 2.
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正弦定理和余弦定理

【备选理由】 例1,例2是同角三角函数的基本关系式,两角和的正 弦与解三角形的综合.

教 师 备 用 题
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第23讲

正弦定理和余弦定理

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, ?π ? ?π ? π ? ? ? c.已知 A= 4 ,bsin? +C?-csin? +B? ?=a. ?4 ? ?4 ? π (1)求证:B-C= 2 ; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

例1

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理

解:(1)证明:由

?π bsin? ?4 ?

? ?π ? ? +C?-csin? ? ?4

? ? +B?=a, ?

应用正弦定理,得 ?π ? ?π ? ? ? ? sinBsin? +C?-sinCsin? +B? ?=sinA, 4 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ? ? sinB? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= 2 . 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1, 即 sin(B-C)=1, π 3 由于 0<B,C<4π ,从而 B-C= 2 .
教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理

教 师 备 用 题

π 3π (2)由(1)知 B-C= ,又 B+C=π -A= , 2 4 5π π 因此 B= 8 ,C= 8 . π 5π asinB 由 a= 2,A= 4 ,得 b= sinA =2sin 8 , π asinC c= sinA =2sin 8 , 5π π 1 所以△ABC 的面积 S=2bcsinA= 2sin 8 sin 8 = π π 1 2cos sin = . 8 8 2

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第23讲

正弦定理和余弦定理

例2 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 C.

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理

解:由 B=π -(A+C),得 cosB=-cos(A+C). 于 是 cos(A - C) + cosB = cos(A - C) - cos(A + C) = 2sinAsinC, 1 由已知得 sinAsinC=2.① 由 a=2c 及正弦定理得, sinA=2sinC,② 1 2 由①、②得 sin C=4, 1 1 于是 sinC=- (舍去)或 sinC= . 2 2 π 又 a=2c,所以 C= 6 . 教
师 备 用 题

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第24讲 正弦定理和余弦定理 的应用

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考试大纲
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题.

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第24讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

—— 知 识 梳 理 ——
一、实际测量中常用的角 1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的 水平视线 和 目 标 视 线 的 夹 角 , 目 标 视 线 在 水 平 视 线 ________ 上方 的叫仰角, 下方 ________ 目标视线在水平视线________ 的叫俯 角,如图 3-24-1(a)所示. 正北方向顺时针转到目标方向线的 2.方位角:指从________ 水平角,如图 3-24-1(b)中 B 点的方位角为 α.

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第24讲
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正弦定理和余弦定理的应用

二、正弦定理和余弦定理

图3-24-1
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第24讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

水平角 ,如北偏东 3 .方向角:相对于某正方向的 ________ α°即由正北方向顺时针旋转 α°到达目标方向(如图3-24 -1(c)),其他方向角类似. 4.坡角:坡面与水平面 ________所成的二面角的度数(如图 3-24-1(d),角θ为坡角). 水平长度 之比(如图3-24- 坡比:坡面的铅直高度与________ 1(d),i为坡比).

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第24讲
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正弦定理和余弦定理的应用

二、求解与三角形有关的实际问题的步骤 正弦定理和余弦定理在实际中的应用非常广泛,如测 量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知 识.解题的一般步骤是: 1 .分析题意,理解问题的实际背景,分清已知与所 求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡比、仰 角、俯角、方位角等; 2 .根据题意画出示意图,将实际问题抽象成三角形 模型; 3 .根据已知条件与求解目标,将需求解的问题归结 到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定 理及面积公式等有关知识正确求解; 4 .检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取 舍,得出实际问题的解.
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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

—— 疑 难 辨 析 ——
1.各种角的判断 (1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角,故仰 角与俯角没有区别.( ) (2)从 A 处望 B 处的仰角为 α, 从 B 处望 A 处的俯角 为 β,则 α,β 的关系不能确定.( ) (3)若 P 在 Q 的北偏东 44° ,则 Q 在 P 的东偏北 46° .( )

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

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正弦定理和余弦定理的应用

[解析] (1)俯角就是水平线与水平线下面直线的夹角,即从上 面向下看的角度;仰角就是水平线与水平线上面直线的夹角,即 从下面向上看的角度. (2)如图所示,从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视线均为 AB, 而 α,β 同为 AB 与水平线所成的角,因此 α=β.

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正弦定理和余弦定理的应用

(3)如图所示,P 在 Q 的北偏东 44°,则 Q 在 P 的南偏西 44°,或西偏南 46°.

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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

2.距离条件的使用 3 (1)如果在测量中, 某渠道斜坡坡比为 , 设 α 为坡角, 4 3 那么 cosα= .( ) 4 (2)在测量距离问题时,只要测量角度,不一定要选 取合适的基线长度.( )

[答案] (1)?

(2)?

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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

3 3 [ 解 析 ] (1) 由 坡 比 为 , 即 tan α = , 则 cos α = 4 4 1 4 = . 1+tan2α 5 (2)在测量中,要根据实际需要选取合适的基线长度,因 为不论是应用正弦定理还是余弦定理,至少需要已知一边的 长度.

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正弦定理和余弦定理的应用

考点统计
点 面 讲 考 向

题型(考频) 0 0

题型示例(难度)

1.测量距离问题 2.测量高度问题

3.测量角度问题 4.平面图形的几何计算

0 0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点一

测量距离问题

点 面 讲 考 向

例 1 如图 3-24-2 所示,A,B,C,D 都在同一个与 水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于 水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.

图 3-24-2

(1)求证:AB=BD. (2)求 BD.
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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据角之间的关系求得∠BCD 及 AC 和 DC 关系;推理:证明三角形全等;结论:得出 对应边相等. (2)分析:转化为三角形 ABC 问题;推理:利用正弦 定理计算;结论:可解得 BD.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:在△ACD 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1 km. 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴△ACB≌△DCB, 所以 BD=BA. (2)在△ABC 中, AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= = 20 (km), sin15° 3 2+ 6 ∴BD= 20 (km).

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

[点评] 1.一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解 量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数 学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形, 求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而 得出实际问题的解.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

2.解斜三角形应用题常有以下几种情形: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中 在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个 三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中 求出问题的解; (3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个, 但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦 定理.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结 所求量放在有关三角形中,有时直接解此 三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.
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正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点二
例2

测量高度问题

点 面 讲 考 向

图 3-24-3

[2012· 太原模拟] 测量河对岸的塔高 AB 时,可选取 与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得 ∠BCD=75° ,∠BDC=60° ,CD=s,并在点 C 处测得 塔顶 A 的仰角为 30° (如图 3-24-3),求塔高 AB.
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正弦定理和余弦定理的应用

[思考流程] 分析:转化为三角形 BCD 问题;推理:利用正弦 定理计算;结论:得出 AB 的值.
点 面 讲 考 向

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

解:在△BCD 中,∠CBD=180°-75°-60°=45°, BC 由正弦定理得 sin∠BDC CD = , sin∠CBD CD· sin∠BDC s· sin60° 6 所以 BC= = = 2 s. sin∠CBD sin45° 在 Rt△ABC 中, 6 2 AB=BC· tan∠ACB= 2 s?tan30°= 2 s.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

[点评] ①在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念, 仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; ②准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图; ③运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步 求解问题的答案,注意方程思想的运用.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

归纳总结 求解此类解三角形问题首先要能够读懂题 意,分析清楚题意,要能够将实际问题转化为数学问题, 即解三角形问题,在具体求解过程中要能够明确三角形中 的边角关系,同时要注意多角情况和计算的准确性.

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正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点三
例3

测量角度问题

点 面 讲 考 向
图 3-24-4

如图 3-24-4,在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船. 此时, 走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船?
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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

[思考流程] 分析:根据两船所用时间相等,依据正 余弦定理解三角形;推理:余弦定理解三角形 ABC、正弦 定理解三角形 BCD;结论:得出所求角∠BCD.
点 面 讲 考 向

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

解:设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中, ∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· ACcos ∠ BAC = ( 3 - 1)2 + 22 - 2· ( 3-1)· 2· cos120°=6, 2 3 2 AC ∴BC= 6,且 sin∠ABC=BC· sin∠BAC= ? 2 = 2 , 6 ∴∠ABC=45°, ∴BC 与正北方向垂直.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理, BD· sin∠CBD 10tsin120° 1 得 sin∠BCD= = =2, CD 10 3t ∴∠BCD=30°. 即缉私船沿东偏北 30°方向最快追上走私船.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

[点评] ①测量角度,首先应明确方位角、方向角的 含义; ②在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根 据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为 可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦 定理“联袂”使用的优点.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

归纳总结 在处理有关角度问题时,理解仰角、俯角 (视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)、方 向角是一个关键;解题时根据这些概念画出图形,然后分 析求解目标所在的三角形,在整体中寻找这个三角形可解 的条件,然后制订计划具体求解各个三角形.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点四
例4

平面图形的几何计算

点 面 讲 考 向

图 3-24-5

如图 3-24-5,在△ABC 中,AC=5,AD 为∠BAC 3 的平分线,D 在 BC 上,且 DC=4 2,cos∠DAC=5. (1)求 AD 长; (2)求 cosB 的值.
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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:考虑△ACD,依据余弦定理; 推理:利用余弦定理、方程的思想求解;结论:得出 AD 值. (2)分析:依据角 B 与∠BAD 之间的关系和正弦定理; 推理:解三角形 ADC;结论:得出∠B 的三角函数值.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

解:(1)设 AD=x, 3 则 32=x +25-2?x?5? , 5 即 x2-6x-7=0. 解得 x=7 或 x=-1(舍去). 则 AD=7.
2

点 面 讲 考 向

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

3 (2)在△ADC 中,由 cos∠DAC=5,
点 面 讲 考 向

4 得 sin∠DAC=sin∠DAB= , 5 5 4 2 2 = 4 ,sin∠ADC= 2 . sin∠ADC 5 ∵CD>AC, ∴∠ADC 为锐角, π 3π ∴∠ADC= ,∠ADB= . 4 4 ? ? ?π ? 3π ? ? ? ? ∴cosB=cos?π - = cos -∠ BAD -∠ BAD ? ?4 ? 4 ? ? ? ? 2 3 2 4 7 2 = 2 ?5+ 2 ?5= 10 .
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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

[点评] 三角形中的几何计算,需将所给图形分割成 若干个三角形,根据三角形已知的边角条件合理选择正、 余弦定理求解;找准所求量所在的三角形,把问题化为三 角形中边角关系求解,有时直接解此三角形解不出来,需 要先在其他三角形中求解相关量.下面变式题综合应用了 正、余弦定理求解.
多 元 提 能 力

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结 在解三角形时,已知量与未知量涉及两 个(或两个以上)三角形,先解够条件的三角形,再逐步求 出其他三角形中的解.

多 元 提 能 力

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

如图 3-24-6, 在△ABC 中, BC 边上的中线 AD 10 1 长为 3,且 cosB= 8 ,cos∠ADC=-4.

变式题

多 元 提 能 力

图 3-24-6

(1)求 sin∠BAD 的值; (2)求 AC 边的长.

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

多 元 提 能 力

10 解:(1)因为 cosB= 8 , 3 6 所以 sinB= 8 . 1 15 又 cos∠ADC=-4,所以 sin∠ADC= 4 , ∴sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 15 10 ? 1? 3 6 6 ? ? = 4 ? 8 - -4 ? 8 = 4 . ? ?

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

多 元 提 能 力

(2)在△ABD 中,由正弦定理,得 3 AD BD BD = ,即 = , sinB sin∠BAD 3 6 6 8 4 解得 BD=2,则 DC=2. 从而在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC ? 1? 2 2 =3 +2 -2?3?2??-4?=16, ? ? 所以 AC 边的长为 4.

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正弦定理和余弦定理的应用

答题模板

6

解三角形实际应用题的解题流程

多 元 提 能 力

例 如图 3-24-7,某测量人员,为了测量一条河流 北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,他在河流南岸找 到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D, 从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以 观察到点 B,C.

图 3-24-7
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正弦定理和余弦定理的应用

(1)若要计算出 A, B 两点间的距离, 需要测量哪些量? 写出理由. (2)写出计算 A,B 之间距离的公式.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:(1)需要测量 C,D 之间的距离 d1,C,E 之间的距离 d2.理由:解三角形至少要已知一个边长.2 分 需要测量∠ACD=α, ∠D=β, ∠BCE=γ, ∠E=δ, ∠ACB =θ. 由于:在△ACD、△BCE 中已知一边,要解三角形需要 知道其中两个内角;在△ABC 中已知两边求第三边,需要知 道两边的夹角.6 分
多 元 提 能 力

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正弦定理和余弦定理的应用

多 元 提 能 力

d1 , sin(α+β) d1sinβ d2sinδ 故 AC= ,同理 BC= .9 分 sin(α+β) sin(γ+δ) 在 △ABC 中 , 根 据 余 弦 定 理 AB = AC2+BC2-2AC· BCcosθ = d12sin2β d22sin2δ 2d1d2sinβsinδcosθ + - . sin2(α+β) sin2(γ+δ) sin(α+β)sin(γ+δ) 12 分 AC (2)在△ACD 中,根据正弦定理sinβ=

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

[方法解读] 解三角形的实际应用问题,就是把求解 目标归入到可解三角形中,在一些复杂一点的实际应用问 题中会出现多个三角形,在解题中可以通过这些三角形求 解三角形的元素,最后使求解目标所在的三角形可解.

多 元 提 能 力

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第24讲

正弦定理和余弦定理的应用

自我检评 如图 3-24-8,一架直升机的航线和山顶在同 一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 10 km,速度为 180 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30° ,经过 2 min 后又看到山 顶的俯角为 75° ,求山顶的海拔高度.

多 元 提 能 力

图 3-24-8

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正弦定理和余弦定理的应用

多 元 提 能 力

解:在△ABP 中,∠BAP=30°,∠APB=75°-30°= 45°, 2 AB=180?60=6, 根据正弦定理. 6 AB BP BP = , = ,BP=3 2. sin∠APB sin∠BAP sin45° sin30° 3+3 3 BP?sin75=3 2?sin(45°+30°)= 2 . 3+3 3 17-3 3 所以,山顶 P 的海拔高度为 h=10- = (km). 2 2

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正弦定理和余弦定理的应用

【备选理由】 例1补充测量方案的设计问题;例2利用正弦定理与余 弦定理求解三角形中的最值问题.

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理的应用

例 1 为了测量两山顶 M, N 间的距离, 飞机沿水平方 向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面 内(如图),飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离, 请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表 示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的 距离的步骤.

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理的应用

解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到点 M,N 的 俯角 α1, β1, B 点到点 M, N 的俯角 α2, β2; A, B 的距离 d(如 图所示). dsinα 2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理得 AM= ; sin(α1+α2) dsinβ 2 第二步:计算 AN.由正弦定理得 AN= ; sin(β2-β1) 第 三 步 : 计 算 MN. 由 余 弦 定 理 得 MN = AM2+AN2-2AM· ANcos(α1-β1).
教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理的应用

方案二:①需要测量的数据有: A 点到 M, N 点的俯角 α1, β1; B 点到 M, N 点的俯角 α2, β2;A,B 的距离 d(如图所示).

教 师 备 用 题

dsinα 1 ②第一步:计算 BM.由正弦定理得 BM= ; sin(α1+α2) dsinβ 1 第二步:计算 BN.由正弦定理得 BN= ; sin(β2-β1) 第三步:计算 MN.由余弦定理得 MN= BM2+BN2+2BM· BNcos(β2+α2).
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正弦定理和余弦定理的应用

例2 如图所示,在边长为 10 的正三角形纸片 ABC 的 边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形 纸片后,顶点 A 正好落在边 BC 上(设为 P),在这种情况下, 求 AD 的最小值.

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理的应用

解:

显然 A,P 两点关于折线 DE 对称,连接 DP,如图,设 ∠BAP=θ,则∠BDP=2θ. 再设 AD=x,所以 DP=x,DB=10-x. 在△ABP 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ. BD DP 教 在△BDP 中,由正弦定理知 = , 师 sin∠BPD sin∠DBP
备 用 题

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正弦定理和余弦定理的应用

10-x x 即 = , 所 以 x = sin(120°-2θ) sin60° 10 3 . 2sin(120°-2θ)+ 3 因为 0°≤θ ≤60°,所以 0°≤120°-2θ≤120°, 所以当 120°-2θ=90°, 即 θ=15°时, sin(120°-2θ) =1. 10 3 此时 x 取得最小值 =20 3-30,且∠ADE=75°. 2+ 3 所以 AD 的最小值为 20 3-30.
教 师 备 用 题
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