河北衡水中学2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题


2013—2014 学年度上学期期中考试高一数学
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.做答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

第Ⅰ卷
第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1 . 设 集 合 U ? x 0 ? x ? 10, x ? N

?

?

?,若

1 A ? B ? ?2,3? , A ? CU B ? ? ,5,7? ,

CU A ? CU B ? ?9?,则集合 B=( )
A. {2,3,4}
2.函数

B. {2,3,4,6}

C. {2,4,6,8}

D. {2,3,4,6,8}


f ( x) ? 4 ? x ? lg( x ? 1) ? ( x ? 2) 0 的定义域为(
A. C.

{x | 1 ? x ? 4}
{x | 1 ? x ? 4, 且x ? 2}


B.

{x | 1 ? x ? 4, 且x ? 2}

D.

{x | x ? 4}

3.下列各式正确的是( A. 1.7 ? 1.7
2 3

B. 1.7

0.2

? 0.9 3

C. log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7
5 3

D. lg 3.4 ? lg 2.9 )

4.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 2 ,且 f (?2) ? ?3 ,则 f (2) =( A.3 B.5 C.7 D.-1

5.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 在区间[-3,a]上是增函数,则 a 的取值范围是( A. ? 3 ? a ? 1 B .?3? a ? 2 C. a ? ?3 )



D . ? 3 ? a ? ?1

6.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是(

A. [ 2 ? 1, 3 ? 1]

B. [1, 3 ]

C. [ 2 ? 1, 3 ]

D. [0, 2 ? 1]

?| x ? 1 | ?2, | x |? 1 1 ? 7.设 f(x)= ? 1 ,则 f ( f ( )) 等于( 2 ?1 ? x 2 , | x |? 1 ?
A .



4 9 25 C. ? D. 13 41 5 2 8.若 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a 的值为( ) 2 ?1 1 2
B. A. 0 B.-1 C.1 D. 2 ) D.1

9.若 x log 3 4 ? 1,则 4 x ? 4 ? x 的值为( A.

8 3

B.

10 3

C.2

10.已知 A ? {?1,0,1} ? {0,1} ,且 A ? {?2,0,2} ? {?2,0,1,2} ,则满足上述条件的集合 A 共有 ( ) A.2 个 B. 4 个 C. 6 个 D.8 个 )

11.若函数 f(x)= log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 2 B. a ? 1 C. 1 ? a ? 2 D. 0 ? a ? 1 )

12.下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为(

(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。

A. (2) (1) (4)

B.(4) (3) (2)

C.(4) (3) (1) 第Ⅱ卷

D.(4) (2) (1)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知 a ? log 2 3 ? log 2

3 , b ? log 2 9 ? log 2 3, c ? log 3 2 ,则 a, b, c 的大小关系为

_____. 14.若 x ? -3 ,则 (x+3)- (x-3)= ___________.
2 2

15.化简 [(1 ? log 6 3) ? log 6 2 ? log 6 18] ? log 6 4 =_____________.
2

16.设偶函数 f ( x) ? log a | x ? b | 在(0,+∞)上单调递增,则 f (b ? 2) 与 f (a ? 1) 的大小关 系为_____________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , 集合 B ? x p ? 1 ? x ? 2 p ? 1 , A ? B ? B ,求实数 p 的取值范围。 若

?

?

18.(本小题满分 12 分)

x1 , x2 是方程 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个不等实根,且 y ? x12 ? x2 2 ,求 y ? f (m) 的解
析式及值域。

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ?

x ?1 , x ? ?3,5?, 2? x

(1)用定义证明函数 f (x) 在[3,5]上的单调性; (2)求函数 f ? x ? ?

x ?1 , x ? ?3,5? 的最大值和最小值。 2? x

20.(本小题满分 12 分)

设 f ( x) ?

9x , 9x ? 3

(1)若 0 ? a ? 1 ,求 f (a) ? f (1 ? a) 的值; (2)求 f (

1 2 3 999 )? f( )? f( ) ?? f ( ) 的值。 1000 1000 1000 1000

21.(本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 是偶函数,且 x ? 0 时, (1)求 f ? x ? 解析式; (2)写出 f ? x ? 的单调递增区间。

f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? 2 ,

?

?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立。 (1)证明函数 y ? f ( x) 是 R 上的单调性; (2)讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (3)若 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,求 x 的取值范围。
2

2013—2014 学年度上学期期中考试高一数学答案
一、选择题:

1.解析:由韦恩图可知: B ? {2,3,4,6,8} 故选 D

?4 ? x ? 0 ? 2.解析:只须 ? x ? 1 ? 0 解得 1 ? x ? 4 且 x ? 2 ,故选 B ?x ? 2 ? 0 ?
3.解析:B 4 . 解 析 : 由 g ( x) ? f ( x) ? 2 为 奇 函 数 , 可 得 f ( x) ? f (? x) ? 4 , 又 f (?2) ? ?3 可 得

f (2) ? 7 ,故选 C
5.解析:由图象可知,二次函数开口向下,对称轴 x ? 1,所以 ? 3 ? a ? 1,选 A 6.解析: ? 2 ? 1, 3 ?

?

?

该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;

自变量最大时,函数值最大,故选 C 7.解析: f ( f ( )) ? f (? ) ?

1 2

3 2

4 ,选 B 13

8.解析:由 f (0) ? a ? 1 ? 0 解得 a ? 1 ,故选 C 9.解析:由 x log 3 4 ? 1得 x ? log 4 3 ,所以 4 ? 4 = 3 ?
x ?x

1 10 ? 故选 B 3 3

10.解析:∵ A ? {?1,0,1} ? {0,1} ,∴ 0,1 ? A且 ? 1 ? A 。 又 ∵ A ? {?2,0,2} ? {?2,0,1,2} , ∴ 1 ? A 且 至 多 ? 2,2 ? A 。 故 0,1 ? A 且 至 多 0,

1} {0 1 , {0 1, {0 1 ? , ? 2,? A ,∴满足条件的 A 只能为:{0,;,? 2};,2};,2, 2} 共有 4 个。故选 2
B 11.由题意得 ? 12.D 二.填空题: 13.解析: a ? b ? c 14.解析: (x+3)- (x-3)= | x ? 3 | ? | x ? 3 |? ?( x ? 3) ? ( x ? 3) ? ?6
2 2

?a ? 1 解得 1 ? a ? 2 ,故选 C ?2 ? a ? 0

15.解析: [(1 ? log 6 3) ? log 6 2 ? log 6 18] ? log 6 4 = [(log 6 2) ? log 6 2 ? log 6 18] ? log 6 4
2 2

= 2 log 6 2 ? log 6 4 ? 1 16.解析∵函数 f(x)是偶函数,∴b=0,此时 f(x)=loga|x|. 当 a>1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增函数,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2); 可知 f(b-2)<f(a+1). 三、解答题: 17.解: (1)若 B ? ? ,则 p ? 1 ? 2 p ? 1 解得 p ? 2 …………4 分 (2)由 B ? ? 又 B ? A ,借助数轴表示知

? p ?1 ? 2 p ?1 ? ,故 2 ? p ? 3 ………………8 分 ? p ? 1 ? ?2 ?2 p ? 1 ? 5 ?
综上得 p ? 3 。………………10 分 18.解:由 ? ? 4(m ? 1) ? 4(m ? 1) ? 0 解得: m ? 3 或 m ? 0 ,……………4 分
2

由韦达定理可得

x1 ? x2 ? 2(m ? 1) , x1 ? x2 ? m ? 1

y ? x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2

? 4(m ? 1) 2 ? 2( m ? 1) ? 4m 2 ? 10m ? 2

( m ? 3 或 m ? 0 )………………9 分

5 17 f (m) ? 4m 2 ? 10 m ? 2 ? 4(m ? ) 2 ? 4 4 ,
f (m) ? ?2,?? ?
所以 ……………………12 分 19.解: (1) f ( x) 在[3,5]上是单调增函数 证明:设 x1 , x2 是区间[3,5]上的两个任意实数且 x1 ? x2 ………2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) ? = …………5 分 2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 )


∵ 3 ? x1 ? x2 ? 5 ∴ x1 ? x2 ? 0

2 ? x1 ? 0



2 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在[3,5]上是单调增函数 ………………8 分
(2)? f ( x) 在[3,5]上是单调增函数,所以 x=3 时,f(x)取最小值-4 ……10 分

x=5 时 f(x)取最大值-2 …………12 分

9 a 9 9 9 20.解析:(1) f (a) ? f (1 ? a) = a = a ? 1? a ? 9 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9a
a 1? a

a

=

9a 9 9a ? 3 = a =1………………6 分 ? 9a ? 3 9 ? 3 ? 9a 9 ? 3

(2 f (

1 2 3 999 )? f( )? f( ) ?? f ( ) 1000 1000 1000 1000

1 999 499 501 1 1 999 ………12 [f( )? f( )] ? ? ? [ f ( )? f( )] ? f ( ) =499×1+ ? 1000 1000 1000 1000 2 2 2
分 21 . 解 :( 1 ) x ? 0 时 , -x>0 ∵ x?0 时

f

x ? ??l

n

?

2

x? 2 x ∴ ? 2

?

f (? x) ? ln( x 2 ? 2 x ? 2) …………2 分
∵ y ? f ? x ? 是偶函数,? f (? x) f ( x) ………………4 分 =
2 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 2 x ? 2) ………………6 分

?ln x 2 ? 2 x ? 2 , x ? 0 ? f ? x? ? ? ; ………………8 分 ?ln( x 2 ? 2 x ? 2), x ? 0 ?
(2) (?1,0) , ?1, ?? ? ………………12 分

?

?

22. (1)证明:设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (( x1 ? x 2 ) ? x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 )

又当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数………………4 分 (2)解:由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。…………8 分

(3)解: (方法一)由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 得 f ( x ? 2) ? ? f ( x)
2 2

又 y ? f (x) 是奇函数 即 f ( x ? 2) ? f (? x) 又 y ? f (x) 在 R 上是减函数
2

所以 x ? 2 ? ? x 解得 x ? 1或 x ? ?2 ………………12 分
2

(方法二) )由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 且 f (0) ? 0 得 f ( x ? 2 ? x) ? f (0)
2 2

又 y ? f (x) 在 R 上是减函数,所以 x ? 2 ? x ? 0
2

解得 x ? 1或 x ? ?2 ………………12 分


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