乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷文科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第三次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D 9 D 10 B 11 C 12 B

1.选 C.【解析】由题意知 a ? 3 ? 1 , a ? ?2 2.选 B.【解析】∵

i ?1 ? i ? i 1 1 ? 1 1? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? ,在第二象限 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 ? 2 2?

3. 选 D. 【解析】∵ y ? x ?1 是奇函数,但在 ? ??,0?

? 0, ??? 不是单调函数; y ? 2x 和

但不是奇函数;y ? lg 2x ? lg 2 ? x 是奇函数又是单调递增函数. y ? log2 x 是单调函数, 4.选 A.【解析】∵ ? ? ?
2

? 3? ? , ? ? ,∴ cos ? ? 0,sin ? ? 0 ,且 cos? ? sin ? , ? 4 ?

1 1 3 4 i n ?? c o s ? ?? , , ∴s ∴ sin ? ? , cos ? ? ? 25 5 5 5 1 1 1 1 1 31 31 5.选 C.【解析】∵ S ? 0 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ,此时 n ? 5 ,为使输出的 S ? , 2 2 2 2 2 32 32
又 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? 必须有 n ? p ,所以 p ? 5 6.选 B.【解析】由题意及正弦定理得 sin B cos A ? 3sin A cos B ,∴ tan B ? 3tan A , ∴ 0 ? A, B ?

?
2

,又 cos C ?

5 2 5 ,故 sin C ? ,∴ tan C ? 2 ,而 A ? B ? C ? ? , 5 5

tan A ? tan B ? ?2 ,将 tan B ? 3tan A 代入, 1 ? tan A tan B 4 tan A 1 ? ? ?2 ,∴ tan A ? 1 ,或 tan A ? ? ,而 0 ? A, B ? ,故 A ? 45? 得 2 1 ? 3 tan A 3 2
∴ tan ? A ? B ? ? ? tan C ? ?2 ,即 7.选 B.【解析】如图,是此几何体的直观图,

1 1 40 V ? ? ?1 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 2 3
8.选 D.【解析】依题意,有 3sin a ? 4 cos a ? ?5 ,即 sin ? a ? ? ? ? ?1,其中 tan ? ? 且0 ?? ? 得

?
2

,∴ a ? ? ? k? ? ,∴ k? ?

?
2

, 即 a ? k? ?

?
2

k ?Z , ?? , t n ?? 由a

?
4

?? ?

?
2

3? ? a ? k? ? ? , k ? Z ,故,选 D(此时 k ? 0 ). 4

4 ? 且0 ?? ? , 3 2

4 3

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9.选 D.【解析】令 F ? x ? ? f ( x ? 1) ,∵其图象关于 ?1,0 ? 对称,∴ F ? x ? ? ?F ? 2 ? x ? , 即 f (3 ? x) ? ? f ?1 ? x ? ,∴ f ? 4 ? x ? ? ? f ? x ? …⑴ 令 G ? x ? ? f ( x ? 3) ,∵其图象关于直线 x ? 1 对称,∴ G ? 2 ? x ? ? G ? ?x ? , 即 f ? x ? 5? ? f ?3 ? x ? ,∴ f ? x ? 4? ? f ? 4 ? x ? …⑵ 由⑴⑵得, f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 8? ? f ? x ? …⑶ ∴ f ? ?x ? ? f ?8 ? x ? ? f ? 4 ? 4 ? x ? ,由⑵得 f 4 ? ? 4 ? x ? ? f 4 ? ? 4 ? x ? ? f ? x ? ∴ f ? ?x ? ? f ? x ? ;∴A 对; 由⑶,得 f ? x ? 2 ? 8? ? f ? x ? 2? ,即 f ? x ? 2? ? f ? x ? 6? ,∴B 对; 由⑴得, f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 2? ? 0 ,又 f ? ?x ? ? f ? x ? , ∴ f (?2 ? x) ? f (?2 ? x) ? f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ,∴C 对; 若 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? ? 0 ,则 f ? 6 ? x ? ? ? f ? x ? ,∴ f ?12 ? x ? ? f ? x ? , 由⑶ f ?12 ? x ? ? f ? x ? 4? ,又 f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? ? 0 , 与题意矛盾,∴D 错. 10.选 B.【解析】∵ f ? ? 0 ? ? ?

?

?

?

?

a 1 , f ? 0 ? ? ? ,∴ f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 b b

2 2 ax ? by ? 1 ? 0 , 它与圆 x ? y ? 1相切, ∴

1 a ?b
2 2

2 2 即 a ? b ? 1, ∵ a ? 0, b ? 0 ? 1,

时,有 2ab ? a ? b ? 1 ,∴ ab ?
2 2

1 1 2 ,∴ ab 的最大值是 ,此时 a ? b ? . 2 2 2

11. 选 C. 【解析】设 ?ABC 的外接圆的圆心为 O? ,由 AB ? BC ? 2 , AC ? 2 2 ,知 ?ABC ? 90? ,∴点 O? 为 AC 的中点,∴ OO? ? 平面ABC ,设直线 OO? 交球 O 于 D1 和 D2 ,不妨设点 O 在线段 O?D1 内,∴ O?D1 为四面体 D ? ABC 的高的最大值, ∴ VD1 ? ABC ?

2 4 1 ?1 2 ? ? ? AB ? BC ? h ? h ,依题意知, h ? ,即 h ? 2 ,当且仅当点 D 与 3 3 3 ?2 3 ?

D1 重合时, VD? ABC 取最大值,此时 h ? 2 ,

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由 ? h ? R? ?
2

? 2?

2

? R ,得 R ?
2

3 h2 ? 2 2 ,∴ R ? ,∴ S ? 4? R ? 9? . 2 2h

12. 选 B. 【解析】不妨设

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线 OA, OB 的方程分别为 bx ? ay ? 0 和 a 2 b2

bx ? ay ? 0 ,则右焦点 F ? c,0? 到直线 OA 的距离 d ?

bc a 2 ? b2

? b ,又由 FA ? OA ,

得 OA ? a ,∵ OA ? OB ? 2 AB ,∴ OB ? 2 AB ? a …① ∵ ?AOB ? 90? ,∴ OA ? AB ? OB
2 2 2

…②,①②联立,解得 AB ?

4 a 3

在 Rt ?OAB 中, tan ?AOB ?

AB OA

?

b 4 ,而 ?AOB ? 2?AOF 且 tan ?AOF ? a 3

?b? 2? ? 2 tan ?AOF ? a ? ? 4 ,解得 b ? 1 ,或 b ? ?2 (舍) ∴ tan ?AOB ? ,即 2 2 1 ? tan ?AOF a a 2 3 ?b? 1? ? ? ?a?


b2 1 c2 5 c 5 ? ? ,∴离心率 e ? ? ,即 2 2 a 4 a 4 a 2

二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 13 .【解析】依题意,有 14.填 ?6 .【解析】∵ S ?ABC

3 n ? ,解得 n ? 13 . 60 120 ? 80 ? 60 1 ? ? AB AC sin A ? 3 ,又 A ? ,∴ AB AC ? 4 3 2 6

∴ AB ? CA ? AB AC cos ?? ? ?BAC ? ? ?6 15.填

1 . 【解析】 依题意有 a ? log2 a ? 1 , 即o g l 2 1 令 f ? x ? ? 0 ,解得 x ? 2

2

易知 a ? 1 , ∴f? a 1? ? a , x

o g l ? ? 1?

x2

16.填 ?1 .【解析】设点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 OB ? 2OA ,得 x2 ? 2 x1 , y2 ? 2 y1 ,
2 2 y2 x2 y12 x12 ? ? 1 ,∴ ? ? 1 …①, 又∵点 B 在椭圆 C2 上,∴ 16 4 4 4

∵点 A 在椭圆 C1 上,∴

x12 y ? y12 ? 1 …②,①②可得 1 ? ?1 .∴射线 OA 的斜率为 ?1 . 4 x1

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三、解答题 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列,∴ 4S2 ? 3S1 ? S3 , ∴ 4 ? a1 ? a2 ? ? 3a1 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ,即 a3 ? 3a2 ,∴公比 q ? 3 ∴ an ? a1qn?1 ? 3n (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? log3 an ? log3 3n ? n , ∵ b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ? ? 2n ?1? 2n ? 2n ? 2n ?1? ? ?4n ∴ Tn ? ?bb 1 2 ? b2b3 ? ? ?b3b4 ? b4b5 ? ? …6 分

? ?b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ?
…12 分

? ?4 ?1 ? 2 ?
18. (本小题满分 12 分)

? n ? ? ?4 ?

n ? n ? 1? ? ?2n2 ? 2n 2

(Ⅰ)取 AC 的中点 G ,连接 FG, BG ,则有 EB ∥ C1C ∥ FG , ∴平面 BEF 即是平面 EBGF ∴ FG ? AC ,而在正三角形 ABC 中, G 是 AC 的中点,∴ BG ? AC 又 FG

BG ? G ,∴ AC ? 平面 EBGF ,即 AC ? 平面 BEF

…6 分

(Ⅱ)设点 E 到平面 FAC 的距离为 h ,点 B 到平面 FAC 的距离为 d , 由 EB ∥ FG ,得 EB ∥平面 FAC ,∴ d ? h 又平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , BG ? AC ,∴ BG ? 平面 FAC 在正三角形 ABC 中, AB ? 2 ,∴ BG ? 3 ,即 h ? 3 ∵ S ?FAC ? ∴ VF ? AEC

1 FG ? AC ? 6 2 1 ? VE ? FAC ? S ?FAC ? h ? 2 3

…12 分

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)甲生产的零件的尺寸的平均值为

1 x甲 = ( 165+169+169+171+176+173+178+186+180+193) =176(mm); 10 168+170 =169 ? mm ? 乙生产的零件的尺寸的中位数为: …6 分 2
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(Ⅱ)乙生产的合格零件共有 6 件,其尺寸分别为: 166,167,168,170,171,176 将它们依 次记为: a, b, c, A, B, C 其中在中位数 169 以上的有 3 件:从 6 件合格零件中任取 2 件的不同取法分别为: ab, ac, aA, aB, aC, bA, bB, bC, cA, cB, cC, AB, AC, BC, 共有

15 种,其中至少有一件零件尺寸在中位数以上的不同取法有: aA, aB, aC, bA,

bB, bC, cA, cB, cC, AB, AC, BC ,共有 12 种,所求概率 P ?
20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)分别过 A, B 作准线的垂线,垂足分别是 A1 , B1 则 AF ? AA 1 , BF ? BB 1∴

12 4 ? 15 5

…12 分

AF AA1 HA , ? ? BF BB1 HB

AF HA AF BF ? ? ,∴ …① BF HB HA HB AF sin ?AHF ?AHF 中, ? …②, HA sin ?AFH BF sin ?AHF ?BHF 中, ? …③ HB sin ?BFH sin ?AHF sin ?AHF ? 将②③代入①,得 ,∴ sin ?AFH ? sin ?BFH sin ?AFH sin ?BFH
∴ ∴ ?AFH ? 180? ? ?BFH ? ?BFx ∴ k AF ? kBF ? 0 ,∴ kBF ? ?k AF ? ?2 …6 分
2 ( Ⅱ ) 依 题 意 可 知, 抛物 线 为 y ? 4 x , 直 线 l 的 斜 率 k 存 在 且 k ? 0 , l 的 方 程 为

? y ? k ? x ? 1? ? , y ? k ? x? 1? ,设交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,满足 ? 2 y ? 4 x ? ?
2 2 2 2 2 即 x1 , x2 满足 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 ,∴ ? ? 2k ? 4

?

?

?

?

2

? 4k 4 ? 0 ,∴ k 2 ? 1 ,

且 x1 ? x2 ?

4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 设 M ? x0 , y0 ? ,由 FA ? FB ? tFM ,其中 t ? 0 , k2

x ? x ?2 ? x0 ? 1 2 ?1 ? ? t 得 ? x1 ?1, y1 ? ? ? x2 ?1, y2 ? ? t ? x0 ?1, y0 ? ,∴ ? , y ? y 1 2 ?y ? 0 ? t ?

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? 4 ? 2k 2 ? ?2 ? ? 2 4 4 ? ? 2 ? 1? , 而 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? ,代入 y0 ? 4 x0 ,得 ? ? ? 4 ? k k t ? kt ? ? ? ? ? ? ?
2

2 2 2 化为: k t ? 4k t ? 4t ? 4 得, k ?
2

4 ? 4t 2 ,而 k ? 1 且 k ? 0 , 2 t ? 4t
…12 分

∴ t ? ?2 ,或 0 ? t ? 1 ,或 1 ? t ? 2 ,或 t ? 4 . 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令 h ? x ? ? f ? x ? ? ?1? x ? ? x ? ln ? x ?1? ,则 h? ? x ? ? 当 ?1 ? x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递减

x , x ?1

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递增,故 h ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值 h ? 0? ? 0 即,对 x ? ?1 ,有 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,故 f ? x ? ? 1 ? x 令 I ? x? ? f ? x? ?

1 x x ? ? ln ? x ? 1? ,则 I ? ? x ? ? ? , 2 1? x 1? x ?1 ? x ?

当 ?1 ? x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递增 当 x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递减,故 I ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值 I ? 0? ? 0 即,对 x ? ?1 ,有 I ? x ? ? I ? 0? ? 0 ,故 f ? x ? ? ∴1 ? x ? f ? x ? ?

1 1? x
…6 分

1 1? x
2

2ax 2 ? ? 2a ? 1? x (Ⅱ)令 F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ln ? x ?1? ? ax ? x ,则 F ? ? x ? ? x ?1
⑴当 a ? 0 时, 2a ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 0 , 2ax ? 2a ? 1 ? 0 ∴ F ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? F ? x ? , x ? 0 为减函数, ∴当 x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? x ? ? g ? x ? 成立 ⑵当 0 ? a ?

1 1 ? 2a 1 ?1? ? 1? ? 0 ,取 x ? ? 0 ,∵ F ? ? ? ln ?1 ? ? ? 0 时, 2 2a a ?a? ? a?

即g?

?1? ?1? ? ? f ? ? ,与题意矛盾 ?a? ?a?

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⑶当 a ?

1 1 ? 2a ? 0 , 2ax ? 2a ? 1 ? 0 , 时, ∴当 x ? 0 时, ∴ x ?1 ? 0 , ∴ F? ? x? ? 0 2

∴函数 y ? F ? x ? 在 ? 0, ??? 为增函数,∴ x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 , 即 g ? x ? ? f ? x ? ,与题意矛盾 综合⑴⑵⑶,当 a ?? ??,0? 时,对 x ? 0 ,有 f ? x ? ? g ? x ? . 22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)由题意可知 ?ACD ? ?AEC, ?CAD ? ?EAC ∴ ?ADC ∽ ?ACE ,∴ 同理, …12 分

CD AC ? , CE AE

BD AB ? ,又∵ AB ? AC , BE AE CD BD EC ?D B ? DC E? ? ∴ , ∴B CE BE
2

…5 分

(Ⅱ)如图,由切割线定理,得 FB ? FD ? FC ,∵ CE ∥ AB ∴ ?FAD ? ?AEC , 又∵ AB 切圆于 B ,∴ ?ACD ? ?AEC ,∴ ?FAD ? ?FCA , ∴ ?AFD ∽ ?CFA ,∴

AF FD 2 ? ,即 AF ? FD ? FC CF AF
…10 分

2 2 ∴ FB ? AF ,即 FB ? FA ,∴ F 为线段 AB 的中点.

23. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)设曲线 C 上任意点 M 的坐标为 ? cos ?,sin ? ? ( 0 ? ? ? 2? ) 依题意,直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0

点 M 到 l 的距离为 d ? ∵ 0 ? ? ? 2? ,∴ ∴ 2 sin

cos ? ? sin ? ? 4 2

?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 4? ? 2

?
4

?? ?

?
4

?

9? , 4

3? ?? ? ? ? 4 ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 sin ? 4 2 4? 2 ?

即? 2 ?4?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 4 , 4? ?

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当? ?

?
4

?

? 2 ?4 3? 5? ? 2 2 ?1 ,即 ? ? 时, d max ?? 2 4 2

…5 分

(Ⅱ)设射线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? ,依题意可知,动点 Q 的极坐标为 ? ? , ? ? ,

R ?1,? ? , P ? ?P ,? ? ,由 OP ? OQ ? OR ,得 ?P ? ? ? 1 …⑴
2

点 P ? ?P ,? ? 在直线 l 上,∴ ?P ? cos? ? sin ? ? ? 4 …⑵,

cos ? ? sin ? ? 0 ,∴ ? P ?
将其代入⑴得

4 …⑶, cos ? ? sin ?

4 ? ? 1 ,即 4? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

2 2 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴ 4 x ? y ? x ? y ,其中 xy ? 0

?

?

∴所求动点 Q 的轨迹是以 ? , ? 为圆心, 24. (本小题满分 10 分)

?1 1? ?8 8?

2 为半径的圆除原点后的部分 8

…10 分

3 3 3 2 2 2 (Ⅰ)∵ 3 a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c

?

?

?

?

? 2 ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? a ? b 2 ? c 2 ? ? b ? a 2 ? c 2 ? ? c ? a 2 ? b 2 ?
∵ a ? b ? a b ? ab ? a
3 3 2 2 2
2 ? a ? b? ? b2 ?b ? a ? ? ? a ? b ? ? a ? b ?

∵ a, b ? R ,∴ ? a ? b ?
?
3 3 2

2

? a ? b ? ? 0 ,∴ a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ,
3 3 2 2

同理, b ? c ? b c ? bc , c ? a ? c a ? ca
2

3 3 3 2 2 2 2 2 2 ∴ 2 a ? b ? c ? a b ? ab ? b c ? bc ? c a ? ca 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ∴2 a ?b ?c ?a b ?c ?b a ?c ?c a ?b ? 0 2 2 2 3 3 3 ∴ ?a ? b ? c? a ? b ? c ? 3 a ? b ? c

?

?

?

? ?

? ?

? ? ?

?

?

? ?

…5 分

(Ⅱ)∵ a, b, c ? R ,∴ a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 ,由柯西不等式得

?

1 1 ? ? 1 ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ?? a ?b ? b ?c ? c ? a ? ? ?

1 1 1 ? ? ? ? a?b ? ? b?c? ? c?a? ? ?9 a?b b?c c?a ? ?
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2

即 2? 故,

1 1 ? a b ? ? 1 ? c ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? ? 9 ,∴ 2 ? ??3 ? a?b b?c c?a ? ? a?b b?c c?a ?
a b c 3 ? ? ? ,当且仅当 a ? b ? c 时不等式取等号 b?c c?a a?b 2
…10 分

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

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