南昌市第十九中学高三数学文科第四次


南昌十九中高三第四次月考数学试卷(文科)
命题:甘海虹 审题:艾晨旻 一、选择题(本大题 10 小题,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)
1、设 i 为虚数单位,则复数 A.-4 B.-4i

4 ? 3i 的虚部为 ( i
C.4 D.4i



2 2、设集合 A ? {x y ? x ? 1, x ? R}, B ? { y y ? x ? 1, x ? R} ,则 A ? B =(



A. {(0,1),(1, 2)}

B.

{x x ? 1}

C. {(1, 2)}

D.R )

3、设向量 a ? ?1, 0 ? , b ? ?1,1? ,则下列结论中正确的是( A、 a ? b B、 a ? b ?

2 2

C、 a ? b 与 a 垂直 )
| x|

D、 a ∥ b

4、下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是( A. y ? ?

1 x

B. y ? lg( x ? 4)
2

C. y ? e

D. y ? cos x )

5、对于函数 f ( x) ?

3 sin x ? cos x ,下列命题中正确的是 (
B. ?x ? R, f ( x) ? 2 D. ?x ? R, f ( x) ? 2 )

A. ?x ? R, f ( x) ? 2 C. ?x ? R, f ( x) ? 2

6、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 0

7、设函数 f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 D.x3>2

y 1 B

8、如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 g (x)=f [f (x)], 则函数 y=g (x)的图象为
y 1 y 1 1 O -1 x

-1 O A -1 (第 8 题图)

1 x C

A.

-1

B.

-1 O -1

1 x

C.
-1

y 1 1 O -1 x

D.
-1

y 1 1 O -1 x

?x ? y ? 1 ? 9、已知点 ( x, y ) 满足 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 ?2 x ? y ? 2 ?

a 的范围为( A. (?1,2)

) B. (?4,2) C. (?2,1) D. (?2,4)

10、已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时不等式 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立, 若a ? 3
0.3

? f ? 30.3 ? , , b ? log?

3 ? f ? log? 3? , c ? log3 1 ? f ? log3 1 ? , a, ,b c ? ? 则
9 ? 9?



小关系是

A. a ? b ? c

B.c > b > a

C. a ? c ? b

D.c > a >b

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡对应 题号后的横线上)
11、函数 y ?

x ?1 的定义域为__________. ln x

12、已知单位向量

e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ?



13、某几何体的三视图如图所示,则这个几何体 的体积是 .

3

3
主视图 2

2 2 侧视图

2

?e x ( x ? 0) 1 14、设 f(x)= ? ,则 f [ f ( )] ? 2 ?ln x ( x ? 0)

___.

俯视图

15、 观察下列等式: 13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,…, 根据上述规律,第五个等式为_______. .....

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

x ? 3 sin x . 2

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 1 ? tan ? 3 3

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f (t ) ?| t ? 1| ? | t ? 3 | . (I)求 f (t ) ? 2 的解集; (II)设 a>0,g(x)=ax2-2x+5, 若对任意实数 x, t ,均有 g ( x) ? f (t ) 恒成立,求 a 的取 值范 围。

18、 (本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 是等差数列, a3 ? 10 , a 6 ? 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和 是 S n ,且 S n ?

1 bn ? 1 . 3

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证:数列 {bn } 是等比数列;

19、 (本小题满分 12 分)如图,棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱 形 ,AC∩BD=O 侧棱 AA1 ⊥BD,点 F 为 DC1 的中点. (Ⅰ)证明: OF // 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)证明:平面 DBC1 ? 平面 ACC1 A1 .

20、 (本小题满分 13 分) (本小题满分 12 分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形 综合性休闲广场 ,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度 均为 2 米, 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地 (其中两个小场地形状相同) , 塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和用 x 表示 S 的函数关 系式(写出函数定义域) ; (2) 怎样设计能使 S 取得最大值, 最大值为多少?

21、 (本小题满分 14 分)已知函数

f ? x? ?

a 3 1 1 x ? ? a ? 1? x 2 ? x ? ( a ? R). 3 2 3

(1) 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)是否存在实数 a 使得函数 f ? x ? 在区间 范围;若不存在,说明理由。

? 0, 2? 上有两个零点,若存在,求出 a 的取值

南昌十九中高三第四次月考数学试卷(文科)答题卡
座位号

一、选择题(本大题 10 小题,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡对应 题号后的横线上) 。 11.--------------13. ---------------------15.--------------------------12.-----------------14.--------------------------1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
16.

17.

18,

19.

20.

21.

南昌十九中高三第四次月考数学试卷(文科)数学答案

一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11、 {x x ? 0且x ? 1} 14、 12、 3
3 3 3

1 A

2 B

3 C

4 C

5 B

6 D

7 C

8 A

9 0 B

1 D

13、 3 3
3 3 3 2

1 2

15、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21

三、解答题 16、解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ……………………1 分 ……………………3 分 ……………………5 分

? 1 ? 2 cos( x ? ) , 3
所以函数 f ( x) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] . (Ⅱ)因为 f (? ?

?

1 )? , 3 3 1 1 所以 1 ? 2cos ? = ,即 cos ? ? ? . 3 3
因为

?

……………………6 分

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ?
? cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos2 ? ? cos ? sin ? ,

……………………8 分

……………………10 分

因为 ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?

2 2 . 3

……………………11 分

所以

cos 2? 1 2 2 1? 2 2 ? ? ? . 1 ? tan ? 9 9 9
(2)a≥1

……………………12 分

17、解: (1)t>2

18、解: (1)由已知 ?

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22 .

解得 a1 ? 2, d ? 4.

………………4 分

? a n ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2.
(2)令 n ? 1,得 b1 ? 1 ? 由于 S n ? 1?

………………6 分 解得 b1 ?

1 b1 . 3

3 , 4

………7 分

1 bn , 3



1 bn?1 ② 3 1 1 1 ① -②得 bn ? bn ?1 ? bn , ? bn ? bn ?1 3 3 4
当 n ? 2 时, S n ?1 ? 1 ? 又? b1 ?

……………10 分

b 1 3 1 3 ? 0 , s2 ? 1 ? b2 ,? b2 ? ,满足 2 ? b1 4 4 3 16

?

bn 1 ? . n ? 2) ( bn ?1 4

∴数列 {bn } 是以

3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 4

……………………12 分

19、证明: (Ⅰ)? 菱形ABCD中AC ? BD ? O ? O是AC中点,且F是DC1中点

? ?ACC1中OF // CC1
又? OF ? 面BCC1 B1

CC1 ? 面BCC1 B1 ? OF // 面BCC1 B1
(Ⅱ) ? 菱形ABCD中AC ? BD ? O, AA1 ? BD,且AC ? AA1 ? A

? BD ? 面ACC1 A1
又 BD ? 面DBC1

? 面DBC1 ? 面ACC1 A1
20、解: (Ⅰ)由已知 xy =3000 , 2a ? 6 ? y ,则 y ? 分)

3000 (6 ? x ? 500), ………………(2 x

y ?6 S ? ? x ? 4 ? a ? ? x ? 6 ? a ? ? 2 x ? 10 ? a ? ? 2 x ? 10 ? · = ? x ? 5 ?? y ? 6 ? 2

? 3030 ? 6x ?

15000 (6 ? x ? 500). …………(6 分) x
15000 15000 ? 3030 ? 2 6x ? =3030-2× 300=2430…………… (10 分) x x
.

(Ⅱ) S ? 3030 ? 6x ? 当且仅当 6x ?

15000 ,即 x ? 50 时,“ ? ”成立,此时 x ? 50 , y ? 60 , Smax ? 2430 x

即设计 x=50 米,y=60 米时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米. ……………(13 分)

21、 解: (1) 2分

1? ? f ? ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? x ? 1? ? x ? ? a? ?

………………

1 ? a ? 0,? ? 1, a
1? ? ? ??, ? a? ?
f ?? x ? f ? x?

1 a
0 极小值

?1 ? ? ,1? ?a ?

1

?1, ?? ?
递减

递减

+
递增

0 极大 值

………………4 分
2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 f ? x ?极小值 =f ? ? = =f ?1? = ? ? a ? 1? … … 6 , f ? x? 2 极大值 6a 6 ?a?

分 (2)
2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 ? ? a -1?? 2a -1? f ? ?= = , f ?1? = ? ? a ? 1? 2 2 6a 6a 6 ?a?

f ? 2? =

1 ? 2a ? 1? , 3

1 f ? 0 ? = ? <0 3

……………8 分

① 当a ?

1 1 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数, ?1,2 ? 上为减函数, f ? 0 ? = ? <0 , 在 2 3

f ?1? = ?

1 1 ? a ? 1? >0 , f ? 2 ? = ? 2a ? 1? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? 0,1? , ?1,2? 上 6 3

各有一个零点,即在

? 0, 2? 上有两个零点;

………………………10 分

② 当

1 ? 1? ?1 ? <a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ? 上为减函数,? ,2 ? 上为 2 ? a? ?a ?
函 数 ,



1 f ? 0 ? = ? <0 3



f ?1? = ?

1 ? a ? 1? >0 6



1 ? 1 ? ? ? a -1?? 2a -1? f ? ?= >0 , f ? 2 ? = ? 2a ? 1? >0 ,所以 f ? x ? 只在区间 2 6a 3 ?a?

? 0,1?
点;

上 有 一 个 零 点 , 故 在

? 0 ,?

2 上

只 有 一 个 零

…………………………12 分

③ 当 a >1 时,

? 1? ?1 ? f ? x ? 在 ?0, ? 上为增函数,在 ? ,1? 上为减函数, ?1,2 ? 上为增 ? a? ?a ?

函数,

f ? 0? =?

1 1 ? 1 ? ? ? a -1?? 2a -1? <0 , f ?1? = ? ? a ? 1? <0 , < 0, f ? ? = 2 6a 3 6 ?a?
所以

f ? 2? =

1 ? 2a ? 1? >0 , 3

f ? x ? 只在区间 ?1,2 ? 上有一个零点,故在 ? 0, 2? 上只有
…………………………13 分

一个零点; 故存在实数 a ,当 a ?

1 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上有两个零点…………………14 分 2


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