第一册下册第四章3-5节正弦、余弦的诱导公式;同角三角函数的基本关系;任意角的三角函数






高一 刘震





数学





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内容标题 编稿老师

正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课 二. 本周教学重、难点 重点:运用诱导公式,把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°间角的三角函 数值的问题,任意角的三角函数。 难点:对诱导公式中符号的确定

【典型例题】

15 13 sin( ? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) 8 7 7 [例 1] 设 tan(? ? ? ) ? a ,求 的值。 20 22 7 sin( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 7 7
解: 方法一: ∵ tan(? ?

8 ? ? ? ) ? tan[ ? ? (? ? )] ? tan(? ? ) ? a 7 7 7

sin[2? ? (? ? )] ? 3 cos[?2? ? (? ? )] sin(? ? ) ? 3 cos(? ? ) 7 7 ? 7 7 ∴ 原式 ? ? ? ? ? sin[3? ? (? ? )] ? cos[3? ? (? ? )] sin(? ? ) ? cos(? ? ) 7 7 7 7
tan( ? ? )?3 a?3 7 ? ? ? tan( ? ? ) ?1 a ?1 7
方法二:

?

?

?

?

?

8 8 sin[? ? (? ? ? )] ? 3 cos[?3? ? (? ? ? )] 7 7 原式 ? 8 8 sin[4? ? (? ? ? )] ? cos[2? ? (? ? ? )] 7 7 8 8 ? s i n?( ? ? ) ? 3 c o s ?( ? ? ) 7 7 ? 8 8 ? s i n?( ? ? ) ? c o s ?( ? ? ) 7 7 8 8 8 s i n?( ? ? ) ? 3 c o s ?( ? ? ) t a n ?(? ? ) ? 3 a?3 7 7 7 ? ? ? 8 8 8 s i n?( ? ? ) ? c o s ?( ? ? ) t a n ?(? ? ) ? 1 a ? 1 7 7 7

[例 2] 设 f (? ) ?

2 cos 3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin(

?? ) ? 3 ? 2 求 f ( ) 的值。 2 2 ? 2 cos (? ? ? ) ? cos( ?? ) 3

?

解: f (? ) ? ∵ ? ?

2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 cos3 ? ? cos2 ? ? cos? ? 2 ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 cos2 ? ? cos? ? 2

1 ? 1 ∴ f( )?? 3 2 3 2 ? 1 7 5 2 [例 3] 已知 sin( x ? ) ? ,求 sin( ? ? x) ? cos ( ? ? x) 的值。 6 4 6 6 ? 5 5 ? 解:∵ ( x ? ) ? ( ? ? x ) ? ? ∴ ? ? x ? ? ? (x ? ) 6 6 6 6 7 ? 又 ? ? x ? ? ? ( ? x) 6 6

?

∴ cos ? ?

∴ 原式 ? sin[? ? (

?

6 6 1 ? 1 1 11 ? ? ? [1 ? sin 2 ( x ? )] ? ? ? (1 ? ) ? 4 6 4 16 16 1 15? ? ? ) ? sin(? ? 15?) 的值。 [例 4] 已知 cos( 75 ? ? ? ) ? , ? 为第三象限角,求 cos( 3

? ? sin(

?

6

? x)] ? cos 2 [? ? ( x ?

?

? x) ? [? cos( x ?

?

6

)]

)] 2

15? ? ? ) ? sin(75? ? ? ) 又 ∵ 解: cos(
∴ sin(75? ? ? ) ? ?

? 是第三象限角, sin(75? ? ? ) ? 0
2 2 3

2 2 3

∴ cos( 15? ? ? ) ? ?

∵ sin(? ? 15?) ? ? cos( 75? ? ? ) ? ? ∴ 原式 ? ?

1 3

1? 2 2 3
7 ?, 2

cot ? 是关于 x 的方程 x 2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两实根, [例 5] 已知 tan ? , 且 3? ? ? ?
求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值。
2 2 解:∵ tan ? , cot ? 是方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根

∴ tan? ? cot? ? k ? 3 ? 1
2

∴ k ?4
2

∵ 3? ? ? ?

7 ? 2

∴ tan ? ? 0 , cot ? ? 0 , sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ∴ k ?2 ∴ 方程化为 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

∴ k ? tan ? ? cot ? ? 0

∴ x ? 1 即 tan ? ? cot ? ? 1 ∴ sin ? ? ?

∴ ? ? 3? ?

?
4

2 2 , cos? ? ? 2 2

∴ cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ? cos? ? sin ? ?

2

[例 6] 已知

1 1 1 1 ? ? ? ? 7 ,求 sin ? cos ? 的值。 2 2 2 tan ? cot ? sin ? cos 2 ?
2 2 2 2

解:由已知等式变形可得 cot ? ? tan ? ? cot ? ? 1 ? tan ? ? 1 ? 7 即 tan ? ? cot ? ?
2 2

5 2



sin 4 ? ? cos4 ? 5 ? 2 sin 2 ? cos2 ?
∴ sin ? cos? ? ?

∴ 2(1 ? 2 sin 2 ? cos2 ? ) ? 5 sin 2 ? ? cos2 ? [例 7] 已知: sin ? ? cos ? ?

2 3

1 3 3 4 4 ,求 sin ? ? cos ? 和 sin ? ? cos ? 的值。 2 1 3 解:由 sin ? ? cos ? ? 平方,可得 sin ? cos ? ? ? 2 8
∴ sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin? ? cos? )(sin2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? )

?

1 3 11 ? (1 ? ) ? 2 8 16

3 23 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? 2 ? (? ) 2 ? 8 32

sin 2 A ? cos2 A cos2 C ? 1 ,求证: tan2 A ? tan2 B ? sin 2 C [例 8] 已知 2 sin B
证:由已知

sin 2 A ? cos2 A cos2 C ? sin 2 A ? cos2 A 2 sin B
sin 2 A( 1 ? 1) ? cos 2 A(1 ? cos 2 C ) sin 2 B

sin 2 A ? cot2 B ? cos2 A sin 2 C
∴ tan A ? tan B sin C
2 2 2

【模拟试题】 (答题时间:50 分钟)
一. 选择

1. sin( ?

19 ? ) 的值等于( 6
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. ? )

3 2

2. 若 cos(?100?) ? a 则 tan 80 ? 等于(

A. ?

1? a2 a

B.

1? a2 a

C. ?

1? a2 a

D. )

1? a2 a

3. 已知扇形的面积是 ? ,半径是 1,则扇形的中心角是( A.

3 ? 16

3 8 3 B. ? 8

C.

3 ? 4

D.

3 ? 2


4. 若 M ? ?? ? ?

? ?

? k ? ? ? , k ? z? , N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则 M ? N 等于( 2 5 ?
4 ? ? 7 ? , ?? 5 ? ? 10 7 ? ?3 ? , ? ?? 10 ? ?10

A. ??

? ? 3 ? , ?? ? 5 10 ?

B. ??

C. ??

4 7 ? ? ? 3 , ? , ? , ? ?? 5 10 ? ? 5 10

D. ?

二. 填空题 1. 计算 sin

4 25 3 ? cos ? tan( ? ? ) ? 3 6 4

2 2. 化简 sec (? ? x) ? 2 tan( ? ? x) ( 0 ? x ?

?
2

)= , ? 是第 象

3. 已知 sin ? ? 限角。

m ?1 m ?1 ,cos ? ? 且 ? 是象限角, 则实数 m ? m?3 m?3

4. 若 x 为第一象限角,则在 sin

x x , cos , sin 2 x , cos 2 x 中必定取正值的是 2 2



三. 解答题 1. 已知 cos(

?
6

??) ?
9 2

5 ? 3 2 求 cos( ? ? ? ) ? sin (? ? ) 的值。 6 6 3
2

2. 求函数 y ? cos( ? ? x ) ? sin x 的最大值和最小值。 3. 已知 sin ? ?

1 , sin(? ? ? ) ? 1 求 sin(2? ? ? ) 的值。 3

【试题答案】
一. 1. A 二. 2. A 3. C 4. C

1. ?

3 4

? ? 1 ? tan x 0 ? x ? ? ? 4 2. ? ?tan x ? 1 ? ? x ? ? ? 4 2 ?

3. ? 7 ,I

4. sin 2 x

三. 1. 解:∵ cos(

5 ? ? 3 ? ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] ? ? cos( ? ? ) ? ? 6 6 6 3

∴ sin (? ?
2

?
6

) ? 1 ? cos 2 (

?
6

??) ?

2 3

∴ 原式 ? ? 2. 解: y ? cos(

3 2 2? 3 ? ?? 3 3 3

9 1 1 ? ? x) ? sin 2 x ? sin 2 x ? sin x ? (sin x ? ) 2 ? 2 2 4 1 1 当 sin x ? 时, y min ? ? 当 sin x ? ?1 时, y max ? 2 2 4
∴ ? ? ? ? 2k? ?

3. 解:∵ sin(? ? ? ) ? 1

?

2
1 3

∴ sin( 2? ? ? ) ? sin[ 2(? ? ? ) ? ? ] ? sin ? ?


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