湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案


湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考 数学试卷(理)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1、复数 z ? 1 ? 的共轭复数是( A. ?1 ? i B. ? 1 ? i

1 i

) D. 1 ? i

C. 1 ? i

?y ?1 ? 2、已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x 2 ? y 2 的最小值为( ?x ? 2 ?
A. 2 B.2 C.1 D.5



3、模几何体的正视图与俯视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 是( )

1 ,则该几何体的侧视图可以 2

4、阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A.6 C.0 B.-6 D.18
2



5 、 已 知 f ? x ? ? x ? bx ? c(b, c ? R) , 命 题 甲 : 函 数

g ? x ? ? log2 f ? x ? 的值域为 R;命题乙: ?x0 ? R 使 f ( x0 ) ? 0 成立,则甲是乙的(
A.充分不必要 C.充分必要 6、过双曲线 C : B.必要不充分 D.既不充分也不必要

)条件。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P 作与实轴平行的直线,交两渐近线于 M , N 两点, a 2 b2
2

若 PM ? PN ? 3b ,则双曲线 C 的离心率为( A.3 B. 3 C.



2 3 3

D.

10 3


7、从编号为 001,002, 大依次为 007,032, A.483 B.482

,500 的 500 个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本,已知样本编号从小到

,则样本中最大的编号应该为( C.481 D.480

8、已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ? A.在 ? 0, ??? 单调递增

x 2 x3 x 4 ? ? ? 2 3 4

?

x 2015 ( x ? 0) ,则 f ? x ? 在定义域上的单调性是( 2015



B.在 ? 0, ??? 单调递减 D.在 (0,1) 单调递减, ?1, ?? ? 单调递增

C.在 (0,1) 单调递增, ?1, ?? ? 单调递减

9、设函数 f ? x ? ? 4sin(3x ? 1) ? x ,则下列区间中 f ? x ? 不存在零点的是( ) A. ?0,1? B. ??2, ?1? C. ?3, 4? D. ??3, ?2?

10 、 非 空 数 集 A ? {a1 , a2 , a3 ,

, an } (n ? N ? , an ? 0) 中 , 所 有 元 素 的 算 术 平 均 数 即 为 E ? A? , 即

E ? A? ?

a1 ? a2 ? a3? n

? a n

,若非空数集 B 满足下列两个条件:① B ? A ;② E ? B ? ? E ? A? ,则称 B 为 )

A 的一个“包均值子集” ,据此,集合 ?1, 2,3, 4,5,6,7? 的子集中是“包均值子集”的概率是(
A.

15 128

B.

19 128

C.

11 64

D.

63 128

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡对应的题 号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。. (一)必做题(11-14 题) 11、已知集合 M ? {x | x ? x2 , x ? R}, N ? {x | y ? 2x } ,则 M

N?

x2 ? a 恒成立,则实数 a 取值范围是 12、若 x ? ?1 不等式 x ?1
13、若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? 2) ? 0 ? m ? R ? 有四个不同的交点,则 m 的取值范 围是 14 、已知 ?ABC 满足 AB ? 3, AC ? 4, O是 ?ABC 所在平面内的一点,满足 AO ? BO ? CO ,且

AO ? ? AB ?

1? ? AC (? ? R ) ,则 cos ?BAC ? 2

(二)选考题(请考生在第 15、16 题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15、如图,在半径为 4 的 O 中, ?AOB ? 90 , D 为 OB 的中点,

AD 的延长线交 O 于点 E ,则线段 DE 的长为
16、在极坐标中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

? ? 2cos? 和

? sin ? ? 2 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半
轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 三、解答题:本大题共 65 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明 或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 过 程

已知函数 f ? x ? ?

sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 sin x

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)求使不等式 f ? x ? ? ?2 成立的 x 的取值集合。

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log2 x ,若数列 3, f ? x1 ? , f ? x2 ? ,

, f ? xm ? ,3m ? 6(m ? N ? ) 成等差数列。

(1)求数列 ? f ( xn )? (1 ? n ? m, m, n ? N ? ) 的通项公式; (2)求数列 ?xn ? (1 ? n ? m, m, n ? N ? ) 的前 n 项和 Sn 。

19、 (本小题满分 12 分) 爸爸去哪儿节目组安排星娃露营,村长要求 Feyman 、 杨阳洋、贝儿依次在 A, B, C 三处扎篷, AB ? 8 米, BC ? 4 米,

AC ? 6 米,现村长给多多一个难题,要求她安扎在 B, C 两点连
线上的 D 点位置,?ADC ? 60 ,如图所示,问多多与 Feyman 相距 少米? 多

20、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 的中点, 又 PA ? AB ? 2, ?CDA ? 120 (1) 求证: BD ? PC ; (2) 求二面角 A ? PC ? D 的余弦值。

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 6x ? 15 ,记 y ? f ? x ? 的图象为曲线 C
3 2

(1)若以曲线 C 上的任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点作切线,求切线的斜率的最小值; (2)以曲线 C 上的两个不同动点 A, B 为切点分别作 C 的切线 l1 , l2 ,若 l1 // l2 恒成立,问动直线 AB 是否 恒过定点 M ?若存在,求出 M 的坐标,不存在请说明理由; (3)在(2)的条件下,当直线 AB 的斜率为 ?2 时,求 ?AOB 的面积。

22、 (本小题满分 14 分)

若 ?x ? D ,总有 f ? x ? ? F ? x ? ? g ? x ? ,则称 F ? x ? 为 f ? x ? 与 g ? x ? 在 D 上的一个“分界函数” ,如

?x ? ? 0,1? ,1 ? x ? (1 ? x)e ?2 x ?
“分界函数” 。

1 1 成立,则称 y ? (1 ? x)e?2 x 是 y ? 1 ? x 和 y ? 在 ?0,1? 上的一个 1? x 1? x 1 2 1 x 和 y ? 1 ? x 2 在 ?0,1? 上的一个“分界函数” ; 2 4

(1)求证: y ? cos x 是 y ? 1 ?

x2 ? ax ? 1 和 g ? x ? ? (1 ? x)e?2 x ? 2x cos x 在 ?0,1? 上一定存在一个“分界函数” (2)若 f ? x ? ? ,试确定 2
实数 a 的取值范围。

湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考

高三数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,前 4 题每题 12 分,21 题 13 分,22 题 14 分,共 75 分.

18.解: (Ⅰ)? 3, f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xm ), 3m ? 6 成等差数列

? 3 ? (m ? 1)d ? 3m ? 6

?d ? 3

? f ( x1 ) ? 3 ? 3 ? 6
? f ( xn ) ? 6 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 3
(Ⅱ)? f ( xn ) ? log2 xn ? 3n ? 3 ????????????6 分

? x n ? 2 3n ?3 ? S n ? 26 ? 29 ? 212 ? ? ? 23n?3
? 26 (1 ? 23 ? 26 ? ? ? 23( n?1) )
=2 ?
6

1 ? (2 3 ) n 2 3n ?6 ? 64 ? 7 1 ? 23

????????????12 分

20.证明: (Ⅰ) 又

PA ? 面ABCD , BD ? 面 ABCD
?ABC 是正三角形,M 为 AC 的中点

? PA ? BD

? AC ? BD
而 AP

AC ? A

? BD ? 面PAC , PC ? 面 PAC
? BD ? PC
(Ⅱ)法一: ????????????6 分

AC ? BD ,M 为 AC 中点
又 ?ADC=120
o

? AD=DC

??CAD=30o

? ?BAD ? 90?

以点 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B(2, 0, 0) , C 1, 3, 0 , D(0, 则 BD ? (?2,

?

?

2 3 , 0) 3

2 3 3 3 ,0), PC ? (1, 3,?2), PD ? (0, ,?2) 3 3

? BD ? 面PAC ,取面 PAC 的法向量为 n1 ? ( 3,?1,0) 由(Ⅰ)
设面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 ? 取一个法向量为 n2 ? (?1, 3, 1)

? ? PC ? n2 ? 0 ? ? PD ? n2 ? 0

得?

? ? x2 ? 3 y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? ? 3 y2 ? 2z 2 ? 0

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 |? | n2 |

?

?2 3 2? 5

??

15 15 ,? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值 . 5 5

????????????12 分

(Ⅱ)法二:由(Ⅰ)知 DM ? 面 PAC ,过 M 作 MH ? PC 于 H ,连 PH .

? ?MHD 为二面角 A ? PC ? D 的平面角(三垂线定理)
?MHD 中, MH ?

2 3 30 , DH ? , , MD ? 2 3 6

? cos?MHD ?

MH 15 15 .? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值 .?12 分 ? DH 5 5

(Ⅲ)直线 AB 的方程为 y ? ?2 x ? 3 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

3 (?2)2 ? 12

?

3 5

k AB

3 2 x13 ? x2 ? 6( x12 ? x2 ) 2 ? ? x12 ? x2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 16 ? x1 x2 ? 6 ? 4 ? ?2 x1 ? x2

? x1 x2 ? ?6
?| AB |? 12 ? (?2) 2 | x1 ? x 2 |? 5 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 ? 4 2 ? 4 ? (?6) ? 10 2

? S ?AOB ?
22.解:

1 1 3 | AB | ?d ? ? 10 2 ? ? 3 10 . 2 2 5
1 2 x , x ? [0,1] 2
'

???13 分

(1) 记 h( x) ? cos x ? 1 ?
'

则 h ( x) ? ? sin x ? x ,记 G( x) ? ? sin x ? x , G ( x) ? ? cos x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 G( x) ? G(0) ? 0 ,∴ h( x) 在 [0,1] 上是增函数

h( x) ? h(0) ? 0 ,∴ x ? [0,1] 时, 1 ?

1 2 x ? cos x . 2

记 ? ( x) ? 1 ? 则 ? ( x) ? ?
'

1 2 x ? cos x , x ? [0,1] 4

x x 1 ? sin x ,记 H ( x) ? ? ? sin x , H ' ( x) ? ? ? cos x ? 0 2 2 2

∴ H ( x ) 在 [0,1] 上是增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上是增函数

? ( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ x ?[0,1] 时, cos x ? 1 ? x 2
综上所述, x ? [0,1] 时, 1 ?

1 4

1 2 1 x ? cos x ? 1 ? x 2 . 2 4

???????6 分

(2) 要使 f ( x ) , g ( x) 间一定存在“分界函数” ,则 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. 由已知, (1 ? x) ? e ?2 x ? 1 ? x, cos x ? 1 ?

1 2 x 4

g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e

?2 x

x3 ? 2 x cos x ? ( ? ax ? 1) 2

1 2 x3 ? 1 ? x ? 2 x(1 ? x ) ? ( ? ax ? 1) ? ?(a ? 3) x 4 2
∴ a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上恒成立. 下证 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 由已知 (1 ? x) ? e

1 1 3 ?2 x ? ?2 x , cos x ? 1 ?x x 2 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e1 ? 2 x cos x ? ( ?x 2 ? cos x ? 1) 2 3 1 1 2 x3 x ?2 x g ( x) ? f ( x) ? ? (1 ? x ) e ? 2 x cos x ? ( ? ax ?1) 1) ? 2 x(1 ? x ) ? ( ? cos x? 1? x 2 2 2 x2 x3 ? ? ? (a ? 3) x 1? x 2 x 2x ? [ x2 ? ? 2(a ? 3)] 2 1? x x ? [ x 2 ? 2 x ? 2(a ? 3)] 2
记 ? ( x) ? x ? 2x ? 2(a ? 3)
2

?

1 1 x3 ? 2 x(1 ? x 2 ) ? ( ? ax ? 1) 1? x 2 2

必存在 x0 ? (0,1) 使 ? ( x0 ) ? 0 ∴必存在 x0 ? (0,1) 使 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ,则 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 综上, a ? ?3 . ???????14 分

请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅

笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.

22、 (本小题满分 10 分)

考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上. 3、本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数(60%) ;三角函数与平面向量(40%)

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答案卡中的横线上

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)


相关文档

更多相关文档

湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 扫描版含答案
湖北省部分重点中学2013届高三第一次联考数学(理)试题及答案word版
湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考数学理试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2014届高三1月第二次联考数学(理)试题(word含答案)
湖北省百所重点中学2015届高三十月联考数学(理)试题 Word版含解析
湖北省部分重点中学2014届高三10月联考数学理试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学理试题 Word版含答案
湖北部分重点中学2015届高三第一次联考物理试题(纯word版)
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考政治试题(纯word版)
湖北省八校2015届高三第二次联考数学试卷(理科)(1)
福建省福州市八中2016届高三第四次质量检测数学(文)试卷
2016版高考数学二轮:2.3《导数及其应用》试题(含答案)
湖北省部分重点中学2013届高三第一次联考数学(理)试题及答案word版
湖北部分重点中学2015届高三第一次联考物理试题(纯word版)
电脑版