教学设计(等比数列的前n项和)


等比数列的前 n 项和
白银市会宁县第二中学 一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章第 5 节第一课时。从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中 的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有 关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程 等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

姚广

二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特 点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等 差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对 于 q = 1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思 维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻, 因此片面、不严谨。

三、设计思想
《新课程改革纲要》提出,要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机 械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息 能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目 标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心 理学家研究发现, 9 至 22 岁的学生正处于创新思维的培养期,高中生正好处于这一关 键年龄段,作为数学教师应因势力导,培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的 方法对新课加以巩固理解。 在生生、 师生交流的过程中, 体现对弱势学生更多的关心。

四、教学目标

知识与技能:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此 基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 过程与方法:通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比 与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和 逆向思维的能力。 情感、态度和价值观:通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质, 渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,培养学生良好的学习习 惯和数学思维的深刻性、广阔性等思维品质。

五、教学重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减
法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所 以既是重点也是难点。

六、教学过程设计:
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去 经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程: (一)创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对 他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? 设计意图:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调 动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。 此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总 数 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 。带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用 计算器依次算出各项的值,然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。
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在实际教学中, 由于受课堂时间限制, 教师舍不得花时间让学生去做所谓的 “无用功” , 急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相加,这 是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生 难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习 的障碍。同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的 新方法,为后面的教学埋下伏笔。 (二)师生互动,探究问题

1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 是什么数列?有何特 在肯定他们的思路后,我接着问:
征? 应归结为什么数学问题呢?
2 3 63 学情预设:探讨 1:设 S64 =1+ 2 + 2 + 2 + ??? + 2 ,记为(1)式,注意

观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则有 2S64 = 2 + 22 + 23 + ??? + 263 + 264,记为(2)式。比较(1) (2)两式,你有什么发现? 设计意图:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变 “加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议” 的, 因此教学中应着力在这儿做文章, 从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。 经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同 的项就消去了,得到: S64 ? 264 ? 1 。老师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观 全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 设计意图:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁 了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和 学好数学的信心。 (三)类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列 {an } ,首项为 a1 ,公比为
q ,如何求前 n 项和 Sn ?这里,让学生自主完成,并叫几名学生上黑板,然后对个别
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学生进行指导。 设计意图:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步 步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 学情预设: 在学生推导完成后, 我再问: 由 (1- q)sn = a1 - a1qn 得 sn =

a1 - a1q n 对 1- q

不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1? q ? 1 时是什么数列? 此时 Sn ? ?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打 下基础。) 再次追问:结合等比数列的通项公式 an ? a1qn?1 ,如何把 Sn 用 a1 、 an 、 q 表示 出来?(引导学生得出公式的另一形式) 设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识 结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一 步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚 至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用。 (四)讨论交流,延伸拓展 在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗?我们 知道,

sn = a1 + a1q + a1q2 +?+ a1qn-1

= a1 +q(a1 +a1q+?+a1qn-2 )
那 么 我 们 能 否 利 用 这 个 关 系 而 求 出 Sn 呢 ? 根 据 等 比 数 列 的 定 义 又 有
a2 a3 a4 an = = = ?= =q a1 a2 a3 an-1

, 能否联想到等比定理从而求出 Sn 呢?

设计意图:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、 讨论的氛围 . 以上两种方法都可以化归到 Sn ? a1 ? qSn?1 , 这其实就是关于 Sn 的一 个递推式,递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源, 它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用. (五)变式训练,深化认识 例 1:求等比数列 1 ,1 ,1 , 1

变式 1、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前多少项的和是

2 4 8 16

, ??? 前 8 项和;

2 4 8 16

63 ; 64
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变式 2、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 求第 5 项到第 10 项的和;

2 4 8 16 1 变式 3、等比数列 ,1 ,1 , 1 , ??? 求前 2n 项中所有偶数项的和。 2 4 8 16
首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同 学进行评价,然后师生共同进行总结。 设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套 用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认 知结构的形成。通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和 竞争意识。 (六)例题讲解,形成技能 例 2:求和 1+ a + a 2 + a3 +?+ a n-1 设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养学 生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。 (七)总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然 后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。 设计意图:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 (八)故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他 的承诺。 设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续 积极思维。 (九)课后作业,分层练习 必做:P66 练习 1:(1)、(2);2 选作:思考题:(1)求和 x+ 2x2 +3x3 +?+ nxn .
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(2) “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?” 这首中国古诗的答案是多少? 设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生 有思考的空间。

七、教学反思:数学课堂由表演走向对话,由预设走向生成,已是大势所趋,人
心所向, 但进行教学设计依然是重要的备课活动 ,只有充分研究教材中知识的形成与 发展过程,关注学生的学情和学生的主体地位,学生的潜能才有可能被开发,课堂才有 可能鲜活.特别是数学公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式 的推导方法, 理解公式的成立条件, 充分体现公式之间的联系。 在教学中, 我采用 “问 题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规 律四个阶段。

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