§2.3幂函数


§2.3

幂函数

学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ? x3 在 R 上为奇函数且为增函数.

亲手作图:

从图象分析出幂函数所具有的性质. y?x y ? x2 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析教材第 77 页思考上面的五个函数,它们有什么共同特征? (1)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数 ; (2)边长为 a 的正方形面积 S ? a2 , S 是 a 的函数; (3)面积为 S 的正方形边长 a ? S , a 是 S 的函数; (4)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (5)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函 数. 新知:一般地,形如 试试:判断下列函数哪些是幂函数.
1 2 ① y ? ;② y ? 2 x ;③ y ? x3 ? x ;④ x
1 2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 ※ 典型例题 例 1 讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.(参照教材,子自己解决)

的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 探究:讨论 f ( x) ? 3 x 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象 说明函数的单调性.

y ? 1 ;⑤ y ? 3

x

探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象:
?1 3 (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x ; (4) y ? x 2 ; (5) y ? x .
1

探究:讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数 的单调性.

2

6. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其 流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气 体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量 速率.

例 2 比较大小:
3
3
6

6

(1) 2.3 4 (3) ( 2)
? 3 2

2.4 4 ;
( 3)
?

(2) 0.315
3 2

0.35 5 ;

.

学习评价 ? 1. 若幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上是增函数,则( A. ? >0 B. ? <0 C. ? =0 D.不能确定 2. 函数 y ? x 的图象是(
4 3

).

学始于疑: 请将预习中自己解决不了的问题记下来, 供上课解决。

).

A.
1 2

B.
1 ? 2

C.

D. ).

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a D.1< b < a 4. 比大小:
?2 ?2 (1) 1.3 _____1.5 ; (2) 5.1 ______ 5.09 .

1 2

1 2

5. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为

.


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