2013高考数学(文)一轮复习课件:10-1 合情推理与演绎推理


第1讲 合情推理与演绎推理

【2013年高考会这样考】 1.从近年来的新课标高考来看,新课标高考对本部分的考查 多以选择或填空题的形式出现,主要考查利用归纳推理、类比 推理去寻求更为一般的、新的结论,试题的难度以低、中档题 为主. 2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识 结合在一起命制综合题.

【复习指导】 本节复习时,要注意做好以下两点:一要联系具体实例,体会 和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点, 并会用这些方法分析、解决具体问题.二由于归纳、类比、演 绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系,所以复习时 要有意识地培养逻辑分析等方面的训练.

基础梳理 1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该 类事物的全部 对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概 括出 一般结论 的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是 由 部分到整体、由个别到一般 的推理.

(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理.简言之,类比推理是由特殊到 特殊 的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比 ,然后提出 猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的 结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由 一般到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

一条规律 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷 惑,否则,只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那 么就会犯机械类比的错误. 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的 结论都要经过进一步严格证明. (2)演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数 学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)数列2,5,11,20,x,47,?中的x等于 ( A.28 B.32 C.33 D.27 解析 从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数 列,所以x=20+12=32. 答案 B ).

2.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示, ○○○●●○○○●●○○○?,按这种规律往下排,那么第 36个圆的颜色应是( A.白色 C.白色可能性大 ). B.黑色 D.黑色可能性大

解析 由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列, 是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为36÷ 5=7余1,所以第 36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色. 答案 A

3.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a· b +b2. 其中结论正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ③正确. 答案 B ).

4.“因为指数函数y=a 是增函数(大前提),而y= 函数(小前提),所以函数y= 的错误在于( ).

x

?1? ? ? x是指数 ?3?

?1? ? ? x是增函数(结论)”,上面推理 ?3?

A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错

解析 “指数函数y=ax是增函数”是本推理的大前提,它是错 误的,因为实数a的取值范围没有确定,所以导致结论是错误 的. 答案 A

5.(2010· 福建)观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α -1. 可以推测m-n+p=________.

解析

m=29=512,p=5×10=50.

又m-1 280+1 120+n+p-1=1, ∴n=-400. 答案 962

【例1】?观察下列等式:

可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含有n的 代数式表示). [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152,与第一列比较 可得.

解析 第二列等式的右端分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,∵1,3,6,10,15,?第n项an与第 n-1项an-1(n≥2)的差为:an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2= 3,a4-a3=4,?,an-an-1=n,各式相加得, an=a1+2+3+?+n,其中a1=1,∴an=1+2+3+?+n, n?n+1? 1 2 2 即an= 2 ,∴an=4n (n+1)2. 1 2 答案 n (n+1)2 4

所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所给 条件之间的变化规律,从而得到一般结论.

【训练1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式:

3 +

17 <2 10 , 7.5 + 12.5 <2 10 , 8+ 2 + 12- 2 < 2 10 ,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都

成立的条件不等式________. 解析 观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开

方数的和等于20,不等式的右边都是2 10,因此对正实数m, n都成立的条件不等式是:若m,n∈R ,则当m+n=20时, 有 m+ n<2 10. 答案 若m,n∈R+,则当m+n=20时,有 m+ n<2 10


考向二 类比推理 【例2】?在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b, 1 c,内切圆半径为r,则三角形面积为S△ABC=2(a+b+c)r”,拓 展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积 分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为 ________”. [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将

结论类比到其他方面,得出结论.

解析

三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比

为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二 1 1 1 维图形中 2 类比为三维图形中的 3 ,得V四面体ABCD= 3 (S1+S2+S3 +S4)r. 答案 1 V四面体ABCD= (S1+S2+S3+S4)r. 3

(1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物 的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果;(2)类比 是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类 比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能.

【训练2】 已知命题:“若数列{an}为等差数列,且am=a,an b· n-a· m =b(m<n,m,n∈N ),则am+n= ”.现已知数列 n-m
*

{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n ∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=________. 答案
?b? n ? a· ? ?a?n-m

考向三 演绎推理 n+2 【例3】?数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= n Sn(n∈N+).证明:
?Sn? ? ? (1)数列? n ?是等比数列; ? ? ? ?

(2)Sn+1=4an. [审题视点] 在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常

常要由几个三段论才能完成.大前提通常省略不写,或者写在 结论后面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取某种简明 的推理模式.

证明

n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn ∴ =2· ,(小前提) n n+1
?Sn? ? ? 故? n ?是以2为公比的等比数列.(结论) ? ? ? ?

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)

Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· ·n-1 S n-1 n-1 =4an(n≥2),(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应 用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提, 如果前提是显然的,则可以省略.



2 x-1 1-2x (1)对?x∈R有-x∈R,并且f(-x)= -x = x =- 2 +1 1+2



2x-1 =-f(x),所以f(x)是奇函数. x 2 +1 (2)f(x)在R上单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈R,并且x1>x2, 2x1-1 2x2-1 f(x1)-f(x2)= - 2x1+1 2x2+1 ?2x1-1??2x2+1?-?2x2-1??2x1+1? = ?2x1+1??2x2+1? 2?2x1-2x2? = . ?2x1+1??2x2+1?

∵x1>x2,∴2x1>2x2>0, 即2x1-2x2>0,又∵2x1+1>0,2x2+1>0. 2?2x1-2x2? ∴ >0. ?2x1+1??2x2+1? ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在R上为单调递增函数.

难点突破 24——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理 的考查主要以填空题的形式出现, 难度为中等, 常常以不等式、 立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与 类比推理.

一、归纳推理 【示例】? (2011· 陕西)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________.

二、类比推理 【示例】? (2009· 浙江)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4, S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等 T16 比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,______, T 成 12 等比数列.

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