选修4-2 2.2.5投影变换2.2.6切变变换


几种常见的平面变换 -----投影变换

问题情境
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根。

排球中场休息时,工作人员用平地拖 把拖扫比赛场地.要求同时同向推动拖把, 把垃圾推到边界线停止。

图1 树在中午的阳光下形成影子

图2

把垃圾推到边界线

提出问题
这两个生活中事情,实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影,能否用 矩阵来表示?

解决问题

方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为P(x,y),则 投影后的点坐标为P/ (x,0). y
P(x,y)

?1 0 ? 故所求矩阵为 ? ? ?0 0 ?

o

P/(x,0) x

解决问题

方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 y 影后的点坐标为(0,y).
?0 0 ? 故所求矩阵为 ? ? ?0 1 ?
P(x,y) P/(0, y)

o

x

反思问题
?1 0 ? 研究矩阵M= ?1 0 ? 所确定的变换。 ? ? ?x ? 对于平面内任意列向量 ? ?,有 ? y? y ( x, y ) 1 0 x x ? ?? ? ? ? ?1 0 ? ? y ? ? ? x? ? ?? ? ? ?
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变,纵坐标变为与横坐标相等.
( x, x )

y =x

o

x

该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上,如图。

建构数学
?1 0 ? ?1 0 ? 像 ?0 0 ? ?1 0 ? 这类将平面内图形投影到某条直线 ? ? ??

(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,

相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L(点). (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射

反思问题

?0 1? 研究矩阵M= ? 所确定的变换。 ? ?0 1?

?1 1 ? 研究矩阵M= ?0 0 ? 所确定的变换。 ? ? ?0 0 ? 研究矩阵M= ?1 1 ? 所确定的变换。 ? ?

数学运用

1? ? 1 ? 2 ? 2? 研究线段AB在矩阵 ? 1 1 ? 作用下变换 ?? ? ? ? 2 2 ? ?

得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).

思考:
1? ? 1 ? 2 ? 2? ? 所对应 说明矩阵 ? ?? 1 1 ? ? ? 2 2 ? ?

y

B

B’ A (A’)

的变换的几何意义。

x

该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向 投影到直线y=-x上。

变式训练
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M作用下分别变换 为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)

求变换对应的矩阵M.
?1 ?2 M ?? ?1 ? ?2 1? 2? ? 1? 2? ?

y
C(0,3)

B(1,2) B/(1.5,1.5)

该变换将平面内的点沿垂直于直线y=x 方向 x A (A’) 投影到直线y=x上。

若不是投影变换,则矩阵M有无数个.

变式训练2 求圆x2+( 的曲线方程。
? ?? ? y-2)2=1在矩阵 ?? ? ? 的变换下 ? ?

y
y=x

x

课堂练习
(1) 说明矩阵
? 1 0? ? ?1 0? 的变换作用,哪些 ? ?

变换是一一映射?

(2)

? ?1 0 ? y 矩阵 ? ?把椭圆 x ? ? ? ?变成了 ? ?1 0 ?

什么图形?其方程是什么?

课堂练习

课堂小结
将平面内图形投影到某条直线 (或某个点)
上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换.

熟记几种常见的投影变换矩阵及几何意义
?1 0 ? ?0 0 ? ? ?
该矩阵使得平面上点的横坐标 不变,纵坐标变为0,该变换将平面
内的点沿垂直于x轴方向投影到直线x轴 上

?0 0 ? ?0 1 ? ? ?
?1 0 ? ?1 0 ? ? ?

该矩阵使得平面上点的纵坐标 不变,横坐标变为0,该变换将平面
内的点沿垂直于y轴方向投影到直线y轴 上

矩阵M使得平面上点的横坐标 不变,纵坐标变为与横坐标相等.

该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上
? 1 0? ? ?1 0? ? ?

矩阵M使得平面上点的横坐标 不变,纵坐标变为横坐标相反数.

该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=-x上

? 1 ? 2 ? ?? 1 ? ? 2

1? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ?

该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向 投影到直线y=-x上。
?1 ?2 M ?? ?1 ? ?2 1? 2? ? 1? 2? ?

该变换将平面内的点沿垂直于直线y=x 方向 投影到直线y=x上。

几种常见的平面变换 -----切变变换

? F
S

? F
S

? F

? F

一块矩形材料,当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时,形状就要 发生改变,如图,这种形式的形变叫切变。

问题情境
一副码好的纸牌,现将它的左边与一把直尺对 齐,保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动, 用直尺轻轻推动纸牌,使得纸牌的形状变换为如图2 所示的模样,问纸牌被推动的前后存在什么变化规 律吗?

图2 图1

问题情境
问题1:仔细观察,你发现了什么? 问题2:你能将问题数学化吗?

图3

图4

解决问题
?1 k ? 矩阵 ?0 1 ? ? ?

把平面上的点P(x, y)沿x轴方向

平移|ky|个单位: 当ky>0时,沿x轴正方向移动; 当ky<0时,沿x轴负方向移动; 当ky=0时,原地不动. 在此变换作用下,图形在x轴上的点是不动点。

建构数学
?1 k ? ? 像由矩阵? 0 1 ? ?

确定的变换通常叫做切变变换,

对应的矩阵叫做切变变换矩阵。

数学探究
如图所示,已知矩形ABCD在变换T的作用 下变成图形A’B’C’D’,试求变换T对应的矩阵M。

说明:
?1 0? ? k 1 ?对应的变换是沿y轴方向的切变变换, ? ?

对于原图形中的任意一点,横坐标保持不变, 而纵坐标依横坐标的比例增加,它把平面上 的点沿y轴方向平移|kx|个单位: 当kx>0时,沿y轴正方向移动; 当kx<0时,沿y轴负方向移动; 当kx=0时,原地不动, 在此变换作用下,y轴上的点为不动点。

课堂练习
?1 1? 1.考虑直线x+y=2在矩阵? ?作用下变换得到的 ?0 1?

几何图形。

2. 求把△ABC 变换成 △A’B’C’的变换矩阵, 其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1) 、A’(-2,-3)、 B’(0,1)、C’(0,-1).

课堂小结
1.切变变换与切变变换矩阵的概念。
?1 k ? ?0 1 ? 2. ? ?

是沿x轴方向的切变变换,x轴上 的点是不动点。
?1 0? ? k 1 ? 是沿y轴方向的切变变换,y轴上的 3. ? ?

点是不动点。

4.切变变换保持图形面积不变。

3.已知变换T 将平面图形 (1)沿y轴的方向投影到直线y ? 2 x上试求它所对应的矩阵M ; (2)沿垂直于y ? 2 x的方向投影到y ? 2 x上,求M .

4.已知直线2 x ? y ? 6

?0 0 ? ( 1)求直线在矩阵 ? 作用下得到的图形; ? ? 2 1? (2)是否存在矩阵N 使得直线在其作用下变成点(6, 0)

(3)是否存在矩阵N 使得直线在其作用下变成点(6, 6)

变成点(3,0)呢?

数学运用
例1.已知矩形的顶点A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1)

?1 2 ? ⑴求矩形ABCD在矩阵 ? 作用下变换得到的几何 ? ?0 1 ? 图形。 ?1 0 ? ⑴求矩形ABCD在矩阵 ? 作用下变换得到的几何 ? ?2 1? 图形。


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