§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


§ 4.4

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示. x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

3.函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) π π 3π (1)作函数 y=sin(x- )在一个周期内的图象时,确定的五点是(0,0),( ,1),(π,0),( ,- 6 2 2 1),(2π,0)这五个点.( × ) )

π π (2)将函数 y=3sin2x 的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是 y=3sin(2x+ ). ( × 4 4 π π π (3)函数 y=sin(x- )的图象是由 y=sin(x+ )的图象向右移 个单位长度得到的.( √ ) 4 4 2 3π π (4)函数 y=sin(-2x)的递减区间是(- -kπ,- -kπ),k∈Z.( × ) 4 4 (5)函数 f(x)=sin2x 的最小正周期和最小值分别为 π,0.( √ )

(6)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T .( √ 2 )

1.(2014· 四川)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点 ( ) 1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 答案 A 1 1 解析 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin2(x+ )的图象, 即函数 y=sin(2x 2 2 +1)的图象. π π 2.(2013· 四川)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图 2 2 所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6 π D.4, 3 答案 A π 3 5π - ?,∴T=π,∴ω=2, 解析 ∵ T= -? 4 12 ? 3? 5π π π ∴2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,∴φ=2kπ- ,k∈Z, 12 2 3 π π? π 又 φ∈? ?-2,2?,∴φ=-3,故选 A. π 3.设函数 f(x)=cosωx (ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图 3 象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 ) B.3 )

C.6 答案 C

D.9

π 解析 由题意可知,nT= (n∈N*), 3 2π π ∴n· = (n∈N*), ω 3 ∴ω=6n (n∈N*),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6. π π 2π 4.设函数 f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的图象关于直线 x= 对称,它的周期是 π,则 2 2 3 下列说法正确的是________.(填序号) 3 ①f(x)的图象过点(0, ); 2 π 2π ②f(x)在[ , ]上是减函数; 12 3 5π ③f(x)的一个对称中心是( ,0); 12 ④将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y=3sinωx 的图象. 答案 ①③ 2π 解析 ∵周期为 π,∴ =π?ω=2, ω 2 4π ∴f(x)=3sin(2x+φ),f( π)=3sin( +φ), 3 3 4π 则 sin( +φ)=1 或-1. 3 π π 4π 5π 11 又 φ∈(- , ), +φ∈( , π), 2 2 3 6 6 4π 3π π ∴ +φ= ?φ= , 3 2 6 π ∴f(x)=3sin(2x+ ). 6 3 ①:令 x=0?f(x)= ,正确. 2 π π 3π ②:令 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 2 6 2 π 2π ?kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π 2π 令 k=0? <x< , 6 3 π 2 π π 即 f(x)在( , π)上单调递减,而在( , )上单调递增,错误. 6 3 12 6 5π ③:令 x= ?f(x)=3sinπ=0,正确. 12

π ④:应平移 个单位长度,错误. 12

题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例 1 设函数 f(x)=sinωx+ 3cosωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到的. 解 (1)f(x)=sinωx+ 3cosωx 1 3 π =2( sinωx+ cosωx)=2sin(ωx+ ), 2 2 3 2π 又∵T=π,∴ =π,即 ω=2. ω π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3 π ∴函数 f(x)=sinωx+ 3cosωx 的振幅为 2,初相为 . 3 π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sinX. 3 列表,并描点画出图象: x X y=sinX π? y=2sin? ?2x+3? - 0 0 0 π 6 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

π? π (3)方法一 把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?x+3?的图象, 3 π? π? 1 ? 再把 y=sin? ?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3? π? 的图象,最后把 y=sin? ?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到

π? y=2sin? ?2x+3?的图象. 1 方法二 将 y=sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到 y=sin2x 2 π? π? π ? 的图象; 再将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度, 得到 y=sin2? ?x+6?=sin?2x+3?的图象; 6 π? 再将 y=sin? ?2x+3?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y= π? 2sin? ?2x+3?的图象. 思维升华 (1)五点法作简图: 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图, 主要是通过变量代换, π 3 设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描 2 2 点后得出图象. (2)图象变换:由函数 y=sinx 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. π 1 (1)把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将 6 2 π 图象向右平移 个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 π D.x= 4 )

π π (2)(2014· 辽宁 ) 将函数 y = 3sin(2x + ) 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 3 2 ( ) π 7π A.在区间[ , ]上单调递减 12 12 π 7π B.在区间[ , ]上单调递增 12 12 π π C.在区间[- , ]上单调递减 6 3 π π D.在区间[- , ]上单调递增 6 3 答案 (1)A (2)B 解析 π 1 (1)将 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y= 6 2

π π π π π sin(2x+ );再将图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x- ),故 x 6 3 3 6 2 π =- 是其图象的一条对称轴方程. 2

π π π π 2 (2)y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度得到 y=3sin[2(x- )+ ]=3sin(2x- π). 3 2 2 3 3 π 2 π π 令 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ 得 kπ+ ≤x≤kπ+ 2 3 2 12 7 2 π 7 π,k∈Z,则 y=3sin(2x- π)的增区间为[kπ+ ,kπ+ π],k∈Z. 12 3 12 12 π 7 令 k=0 得其中一个增区间为[ , π],故 B 正确. 12 12 2 π π 2 画出 y=3sin(2x- π)在[- , ]上的简图,如图,可知 y=3sin(2x- 3 6 3 3 π π π)在[- , ]上不具有单调性,故 C,D 错误. 6 3 题型二 由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π 例 2 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0, |φ|< )的最小正周期是 π, 且 f(0)= 3, 则( 2 1 π A.ω= ,φ= 2 6 π C.ω=2,φ= 6 1 π B.ω= ,φ= 2 3 π D.ω=2,φ= 3 )

π (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< ,ω>0)的图象的一部分如图所 2 示,则该函数的解析式为____________. 答案 (1)D π? (2)f(x)=2sin? ?2x+6? π 解析 (1)∵f(x)(ω>0,|φ|< )的最小正周期为 π, 2 2π ∴T= =π,ω=2.∵f(0)=2sinφ= 3, ω 即 sinφ= 3 π π (|φ|< ),∴φ= . 2 2 3

(2)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上, 1 π π ∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sinφ= .∵|φ|< ,∴φ= . 2 2 6 11 11π π 又∵ π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点,∴ ω+ =2π,∴ω=2. 12 12 6 π? ∴f(x)=2sin? ?2x+6?. 思维升华 根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最大值-最小值 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2

最大值+最小值 ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω φ ④φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为- (即 ω φ 令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位长度后得 y=f(x), 求 f(x) 6 的对称轴方程. 解 (1)由图象知 A= 3, π ? ?5π ? 以 M? ?3,0?为第一个零点,N? 6 ,0?为第二个零点. +φ=0, ?ω· 3 列方程组? 5π ?ω·6 +φ=π, π ω=2, ? ? 解得? 2π ?φ=- 3 . ?

2π 2x- ?. ∴所求解析式为 y= 3sin? 3? ? π 2π x+ ?- ? (2)f(x)= 3sin?2? ? ? 6? 3 ? π 2x- ?, = 3sin? 3? ? π π 5 kπ 令 2x- = +kπ(k∈Z),则 x= π+ (k∈Z), 3 2 12 2 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z). 12 2 题型三 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质 π π π 例 3 (2014· 重庆改编)已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ< )的图象关于直线 x= 对 2 2 3 称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值. 2 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω 2π = =2. T

π 又因 f(x)的图象关于直线 x= 对称,所以 3 π π 2· +φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 π π 由- ≤φ< 得 k=0 2 2 π 2π π 所以 φ= - =- . 2 3 6 π 综上,ω=2,φ=- . 6 π (2)由(1)知 f(x)= 3sin(2x- ), 6 π π π 5 当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ π, 2 6 6 6 π π π ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)最大= 3; 6 2 3 π π 3 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)最小=- . 6 6 2 思维升华 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数; π φ=kπ+ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 2 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= . ω π π (3)单调性: 根据 y=sint 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究, 由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z) 2 2 π 3π 得单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)得单调减区间. 2 2 (4)对称性:利用 y=sinx 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)来解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求得其对称 中心. π π 利用 y=sinx 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z)来解,令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)得其对称轴. 2 2 π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ< )的最大值为 2,最小正周期为 2 π π,直线 x= 是其图象的一条对称轴. 6 (1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f(x- )-f(x+ )的单调递增区间. 12 12 解 (1)∵最小正周期为 π. 2π ∴ =π. ω

即 ω=2. π 又∵直线 x= 是函数图象的一条对称轴, 6 π π ∴2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 6 2 π 即 φ=kπ+ ,k∈Z. 6 π π 又∵φ∈(0, ),∴φ= . 2 6 又∵A=2, π ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π (2)g(x)=f(x- )-f(x+ ) 12 12 π π π π =2sin[2(x- )+ ]-2sin[2(x+ )+ ] 12 6 12 6 π π =2sin2x-2sin(2x+ )=2sin(2x- ). 3 3 π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 可得 2 3 2 π 5 kπ- ≤x≤kπ+ π,k∈Z. 12 12 即函数 g(x)的单调递增区间是 π 5 [kπ- ,kπ+ π],k∈Z. 12 12

三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例:(12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4 (1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上 6 的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; π (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x- ,得 g(x),然后利用整体思想求最值. 6 规范解答 x π x π 解 (1)f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π)= 3cosx+sinx[3 分] 2 4 2 4

π =2sin(x+ ),[5 分] 3 2π 于是 T= =2π.[6 分] 1 π π (2)由已知得 g(x)=f(x- )=2sin(x+ ),[8 分] 6 6 π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈[ , ], 6 6 6 π 1 ∴sin(x+ )∈[- ,1],[10 分] 6 2 π ∴g(x)=2sin(x+ )∈[-1,2][11 分] 6 故函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值为 2,最小值为-1.[12 分] 答题模板 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将 f(x)化为 asinx+bcosx 的形式. 第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)= a2+b2· (sinx· a b ). 2+cosx· 2 a +b a +b2
2

第三步:(求性质)利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质. 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 b asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ)(其中 tanφ= ), 或 asinα+bcosα= a2+b2cos(α-φ)(其中 tanφ a a = ),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. b (2)求 g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解.

方法与技巧 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言,而不是看角 ωx+φ 的变化. 2.由图象确定函数解析式 由函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象确定 A、ω、 φ 的题型,常常以“五点法”中的第一个零点

?- φ ,0?作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.要善于抓住特殊量和特 ? ω ?
殊点.

3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标为(x, ± A) 的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值 是半个周期(或两个相邻对称中心的距离). 失误与防范 1.由函数 y=sinx 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,如:先伸缩,再平移时,要 把 x 前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确 定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.若 ω<0,要先根据诱导公式进行转化. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m,n]上的最值可先求 t=ωx+φ 的范围,再结合图象得出 y= Asint 的值域.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) π 1.(2013· 山东)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图 8 象,则 φ 的一个可能取值为( 3π π π A. B. C.0D.- 4 4 4 答案 B 解析 φ π? π 把函数 y = sin(2x + φ) 沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y = sin2 ? ?x+2+8? = 8 )

π? π sin? ?2x+φ+4?为偶函数,则 φ 的一个可能取值是4. 2.(2013· 浙江)函数 f(x)=sinxcosx+ A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2 答案 A 解析 f(x)=sinxcosx+ 1 3 = sin2x+ cos2x 2 2 π? =sin? ?2x+3?. 所以最小正周期为 π,振幅为 1. 3 cos2x 2 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 )

故选 A. π 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|< )的部分图象如图所示,则函 2 数 f(x)的一个单调递增区间是( 7π 5π A.[- , ] 12 12 7π π B.[- ,- ] 12 12 π 7π C.[- , ] 12 12 π 5π D.[- , ] 12 12 答案 D 1 2 5 解析 由函数的图象可得 T= π- π, 4 3 12 ∴T=π,则 ω=2. 5 5 又图象过点( π,2),∴2sin(2× π+φ)=2, 12 12 π ∴φ=- +2kπ,k∈Z, 3 π ∵|φ|< . 2 π ∴取 k=0,即得 f(x)=2sin(2x- ), 3 π 5π 其单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z,取 k=0,即得选项 D. 12 12 π 4.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0,0<φ< ) 2 的图象如右图所示,则当 t= A.-5 安 C.5 3安 答案 A T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π.∴I=10sin(100πt+φ). T 1 秒时,电流强度是( 100 B.5 安 D.10 安 ) )

? 1 ,10?为五点中的第二个点, ?300 ?
1 π ∴100π× +φ= . 300 2

π? π ∴φ= .∴I=10sin? ?100πt+6?, 6 1 当 t= 秒时,I=-5 安. 100 π π 5.已知函数 f(x)=2sinωx 在区间[- , ]上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是( 3 4 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 9 3 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 3 D.(-∞,-2]∪[ ,+∞) 2 答案 D π π 解析 当 ω>0 时,- ω≤ωx≤ ω, 3 4 π π 3 由题意知- ω≤- ,即 ω≥ ; 3 2 2 π π 当 ω<0 时, ω≤ωx≤- ω, 4 3 π π 由题意知 ω≤- ,∴ω≤-2. 4 2 3 综上可知,ω 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,+∞). 2 6.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, 1 △KLM 为等腰直角三角形, ∠KML=90° , KL=1, 则 f( )的值为________. 6 答案 3 4 )

1 解析 取 K,L 中点 N,则 MN= , 2 1 因此 A= . 2 由 T=2 得 ω=π. π ∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ= , 2 1 ∴f(x)= cosπx, 2 1 1 π 3 ∴f( )= cos = . 6 2 6 4 π ? 7.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos? ?6?x-6??

(x=1,2,3,?,12,A>0)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均 气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5
?a+A=28, ? 解析 由题意得? ?a-A=18, ? ?a=23, ? ∴? ?A=5, ?

π ? ∴y=23+5cos? ?6?x-6??, 1 - ?=20.5. 当 x=10 时,y=23+5×? ? 2? 8.已知函数 f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称. 4 其中真命题是________. 答案 ③④ 1 π 解析 f(x)= sin2x,当 x1=0,x2= 时, 2 2 f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题; π π π π 当 x∈[- , ]时,2x∈[- , ],故③是真命题; 4 4 2 2 3π 1 3 1 因为 f( )= sin π=- , 4 2 2 2 3 故 f(x)的图象关于直线 x= π 对称,故④是真命题. 4 π 9.已知函数 f(x)=cosx· cos(x- ). 3 2π (1)求 f( )的值; 3 1 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 4 2π 2π π π π 解 (1)f( )=cos · cos =-cos · cos 3 3 3 3 3 1 1 =-( )2=- . 2 4 π 1 3 (2)f(x)=cosxcos(x- )=cosx· ( cosx+ sinx) 3 2 2

1 3 1 3 = cos2x+ sinxcosx= (1+cos2x)+ sin2x 2 2 4 4 1 π 1 = cos(2x- )+ . 2 3 4 1 1 π 1 1 f(x)< 等价于 cos(2x- )+ < , 4 2 3 4 4 π 即 cos(2x- )<0, 3 π π 3π 于是 2kπ+ <2x- <2kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 5π 11π 解得 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 12 12 1 5π 11π 故使 f(x)< 成立的 x 的取值集合为{x|kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z}. 4 12 12 1 10.(2014· 福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 解 方法一 (1)因为 0<α< ,sinα= , 2 2 所以 cosα= 所以 f(α)= 2 . 2

2 2 2 1 1 ×( + )- = . 2 2 2 2 2 1 2

(2)因为 f(x)=sinxcosx+cos2x- 1+cos2x 1 1 = sin2x+ - 2 2 2 1 1 = sin2x+ cos2x 2 2 = 2 π sin(2x+ ), 2 4

2π 所以 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ- 3π π ,kπ+ ],k∈Z. 8 8

1 方法二 f(x)=sinxcosx+cos2x- 2

1+cos2x 1 1 = sin2x+ - 2 2 2 1 1 = sin2x+ cos2x 2 2 = 2 π sin(2x+ ). 2 4

π 2 π (1)因为 0<α< ,sin α= ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= 2 π 2 3π 1 sin(2α+ )= sin = . 2 4 2 4 2

2π (2)T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ- 3π π ,kπ+ ],k∈Z. 8 8 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 11.将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移 个单位长度后得到图象 F′,若 F′的一个对称 6 π ? 中心为? ?4,0?,则 φ 的一个可能取值是( π π 5π 7π A. B. C. D. 12 6 6 12 答案 D π ? 解析 图像 F′对应的函数 y=sin? ?x+6+φ?, π π 5π 则 + +φ=kπ,k∈Z,即 φ=kπ- ,k∈Z, 4 6 12 7π 当 k=1 时,φ= ,故选 D. 12 π 12.已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )一个周期内 2 π 的图象上的四个点,如图所示,A(- ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图 6 象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对 π → 称,CD在 x 轴上的投影为 ,则 ω,φ 的值为( 12 π A.ω=2,φ= 3 π B.ω=2,φ= 6 ) )

1 π C.ω= ,φ= 2 3 答案 A

1 π D.ω= ,φ= 2 6

π π π → 解析 因为CD在 x 轴上的投影为 ,又点 A(- ,0),所以函数的四分之一个最小正周期为 12 6 6 π π 2π + = .即函数的最小正周期为 π,故 ω= =2. 12 4 π π π π 又点 A(- , 0) 是处于递增区间上的零点,所以 2×(- ) + φ = 2kπ(k∈Z) ,则 φ= 2kπ+ 6 6 3 π π (k∈Z).又因为 0<φ< ,所以 φ= .故选 A. 2 3 13.(2014· 湖南)已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 轴是( 5π A.x= 6 π C.x= 3 答案 A 解析 ∵ ) 7π B.x= 12 π D.x= 6

?

2π 3 0

f ? x ?dx ? 0 ,则函数 f(x)的图象的一条对称

?

2π 3 0

f ? x ?dx ? 0 =-cos(x-φ) |03 =0,



2π ∴-cos( -φ)+cosφ=0. 3 2π ∴cos( -φ)-cosφ=0. 3 ∴ 3 3 sinφ- cosφ=0. 2 2

π ∴ 3sin(φ- )=0. 3 π ∴φ- =k1π(k1∈Z). 3 π ∴φ=k1π+ (k1∈Z). 3 π ∴f(x)=sin(x-k1π- )(k1∈Z). 3 π π 5 由 x-k1π- =k2π+ (k1,k2∈Z)得 x=(k1+k2)π+ π(k1,k2∈Z), 3 2 6 5 ∴f(x)的对称轴方程为 x=(k1+k2)π+ π(k1,k2∈Z). 6 5π 故 x= 为函数 f(x)的一条对称轴. 6 14.(2014· 湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解 (1)因为 f(t)=10-2( π π =10-2sin( t+ ), 12 3 π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π π -1≤sin( t+ )≤1. 12 3 π π 当 t=2 时,sin( t+ )=1; 12 3 π π 当 t=14 时,sin( t+ )=-1. 12 3 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin( t+ ), 12 3 π π 故有 10-2sin( t+ )>11, 12 3 π π 1 即 sin( t+ )<- . 12 3 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 1 π 15.已知函数 f(x)= 3sinωx· cosωx+cos2ωx- (ω>0),其最小正周期为 . 2 2 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 8 π 坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一 2 个实数解,求实数 k 的取值范围. 1 解 (1)f(x)= 3sinωx· cosωx+cos2ωx- 2 = cos2ωx+1 1 3 π sin2ωx+ - =sin(2ωx+ ), 2 2 2 6 3 π 1 π cos t+ sin t) 2 12 2 12

π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T= ,T= = = , 2 2ω ω 2 π 所以 ω=2,所以 f(x)=sin(4x+ ). 6 π π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 y=sin(4x- )的图象;再将所得图象上所有点 8 3 π π 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(2x- )的图象,所以 g(x)=sin(2x- ), 3 3 π π π 2π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 所以 g(x)∈[- 3 ,1] 2

π π 又 g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 在区间[0, ]上 2 2 有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- 解得- 3 3 <k≤ 或 k=-1, 2 2 3 3 , ]∪{-1}. 2 2 3 3 ≤-k< 或-k=1, 2 2

所以实数 k 的取值范围是(-


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