高中数学公式


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高中数学常用公式及常用结论
一、集合与数理逻辑用语
1.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

6.根式不等式 (1)
f (x) ? ? f (x) ? 0 ? g (x) ? ? g (x) ? 0 ? ? f (x) ? g (x)

.

(2)

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 或 ? ? g (x) ? 0 2 ? ? f ( x ) ? [ g ( x )] ? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 2 ? ? f ( x ) ? [ g ( x )]

.

(3)

.

7.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

二、不等式
2.常用不等式: (1) a , b ? R ? (2) a , b ? R
?

a
a ?b
2 2

f (x)

? a

g (x)

? f (x) ? g (x) ;
? f (x) ? 0 ? g (x) ? ? g (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

? 2ab
? ab

(当且仅当 a=b 时取“=”号). (当且仅当 a=b 时取“=”号).

lo g a f ( x ) ? lo g a

.

?

a ?b 2

(3) a ? b ? a ? b ? a ? b . 3.一元一次不等式 a x ? b ( a ? 0 ) ,当 a ? 0 时,其解集是 { x
|x ? b a } ;当

(2)当 0 ? a ? 1 时,
a
f (x)

? a

g (x)

? f (x) ? g (x)

;

a ? 0 时,其解集是 { x | x

?

b a

}

;当 a ? 0 时,有两种可能:若 b ? 0 ,其

lo g a f ( x ) ? lo g a

? f (x) ? 0 ? g (x) ? ? g (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

解集是 R;若 b ? 0 ,其无解,即解集为空集。
2 4.一元二次不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 )

( a ? 0 , ? ? b ? 4 a c ? 0 ) ,如果
2

a 与

a x ? b x ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 a x ? b x ? c 异号, 则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x 1 ? x ? x 2 ? ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? 0 ( x 1 ? x 2 ) ;
2

2

三、函数
8.函数的单调性 (1)设 x 1 ? x 2 ? ?a , b ?, x 1 ? x 2 那么
( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0

x ? x 1 , 或 x ? x 2 ? ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? 0 ( x 1 ? x 2 )

.

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上是增函数;

5.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有
x ? a ? x
2

( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上是减函数.

? a

2

? ?a ? x ? a

.

x ? a ? x ? a
2

2

? x ? a

或x ? ?a .
1

9.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个

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函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关 于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 10. 若 将 函 数
y ? f (x)

16.有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a ( a ? 0 , r , s ? Q ) . (2) ( a ) ? a ( a ? 0 , r , s ? Q ) . r r r (3) ( a b ) ? a b ( a ? 0 , b ? 0 , r ? Q ) . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂 的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 17.指数式与对数式的互化式
r s r?s

r

s

rs

的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数

的图象;若将曲线 f ( x , y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单 位,得到曲线 f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图象. 11.二次函数的解析式的三种形式
y ? f (x ? a) ? b

(1)一般式

f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

;

lo g a N ? b ? a

b

? N ( a ? 0 , a ? 1, N ? 0 )

.

(2)配方式 f ( x ) ? a ( x ? x 0 ) ? d ( a ? 0 ) ;
2

18.对数的换底公式
lo g a N ? lo g m N lo g m a
a
m

(3)因子分解式 f ( x ) ? a ( x ? x 1 ) ( x ? x 2 ) ( a ? 0 ) .

( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ).
n m lo g a b

四、指数函数与对数函数
12.互为反函数的两个函数的关系 ?1 f ( a ) ? b ? f (b ) ? a . 13.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) ? c x , f ( x ? y ) ? (2)指数函数 (3)对数函数
f (x) ? a
x

推论

lo g

b

n

?

( a ? 0 ,且 a ?1 , m,n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 ,

N ? 0 ).

19.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则
f ( x ) ? f ( y ), f (1) ? c

.

,

f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? a ? 0

.

(1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ; (3) lo g a
N
n

(2) lo g a

M N

? lo g a M ? lo g a N

;

f ( x ) ? lo g a x
?

,

f ( x y ) ? f ( x ) ? f ( y ), f ( a ) ? 1( a ? 0 , a ? 1) .

? n lo g a N ( n ? R )

.

(4)幂函数 f ( x ) ? x , f ( x y ) ? f ( x ) f ( y ) . (5)余弦函数 f ( x ) ? c o s x ,正弦函数 g ( x ) ? s in x , f (0 ) ? 1 . 14.分数指数幂
m

f (x ? y) ? f (x) f ( y) ? g (x)g ( y) ,

五、三角函数
20.常见三角不等式 (1)若 x ? ( 0 , (2)
?
2 ) ,则 sin

x ? x ? ta n x .
2 .

(1) a (2) a

n

?
n

1 a
1
m

m

(a

? 0, m , n ? N

?

,且 n ? 1 ).

若 x ? (0,

?
2

) ,则 1 ? s in x ? c o s x ?

?

m n

?

(a

? 0, m , n ? N

?

,且 n ? 1 ).

a

n

(3) | s in x | ? | c o s x |? 1 . 21.同角三角函数的基本关系式 倒数关系 sin ? csc ? ? 1
cos ? sec ? ? 1

15.根式的性质 (1) (
n

tg ? ctg ? ? 1

a)

n

? a

.
n

(2)当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时,
n

a

n

? a

; .
2

商数关系 平方关系

tg ? ?

sin ? cos ?
2

ctg ? ?
2

cos ? sin ?
2

a

n

?a, a ? 0 ? | a |? ? ??a, a ? 0

sin

2

? ? cos

? ?1

1 ? tg ? ? sec

?

1 ? ctg ? ? csc
2

2

?

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22.正弦、余弦的诱导公式 函数名不变,符号看象限; 函数换成余,符号看象限;
sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos( 2 k ? ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ? tg ( 2 k ? ? ? ) ? tg ? tg ( ? ? ) ? ? tg ? tg ( ? ? ? ) ? tg ? ctg ( 2 k ? ? ? ) ? ctg ? ctg ( ? ? ) ? ? ctg ?

决定, ta n ?

?

b a

).

24.二倍角公式 sin 2? ? sin ? co s ? .
c o s 2 ? ? c o s ? ? s in ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s in ?
2 2 2 2

.

ta n 2 ? ?
ctg ( ? ? ? ) ? ctg ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

.

25.半角公式
sin

sin( ? ? ? ) ? sin ?
sin( 2 ? ? ? ) ? ? sin ?

cos( ? ? ? ) ? ? cos ?
cos( 2 ? ? ? ) ? cos ?

tg ( ? ? ? ) ? ? tg ?
tg ( 2 ? ? ? ) ? ? tg ?

ctg ( ? ? ? ) ? ? ctg ?
ctg ( 2 ? ? ? ) ? ? ctg ?

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

tg (

?
2

? ? ) ? ctg ? ? ? ) ? ? ctg ?

ctg (

?
2

cos
? ? ) ? tg ? ? ? ) ? ? tg ?

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

sin(

?
2

cos(

?
2

tg (

?
2

ctg (

?
2

tg

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?
1 ? c o s 2? 2
1 ? c o s 2? 2

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

sin(

3? 2
3? 2

? ? ) ? ? cos ?
? ? ) ? ? cos ?

cos(

3? 2
3? 2

? ? ) ? ? sin ?
? ? ) ? sin ?

tg (

3? 2
3? 2

? ? ) ? ctg ?
? ? ) ? ? ctg ?

ctg (

3? 2
3? 2

? ? ) ? tg ?
? ? ) ? ? tg ?

26.降幂公式
s in ? ?
2

sin(

cos(

tg (

ctg (

三角符号

cos ? ?
2

+ _

+ _

_ _

+ +
; ;

_ +

+ _

27.三角函数的周期公式 函数 y ? s in (? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y A≠0, >0)的周期 T ω
? 2?

? c o s ( ? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ?

为常数,且 (A,ω , ?

?

; 函数 y
?

? ta n ( ? x ? ? )

,x

? k? ?

?
2

,k ? Z

为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T 28.正弦定理 29.余弦定理
a b
c
2 2
2

? ?

.

sinα &cscα 23.和角与差角公式

cosα &secα

tgα &ctgα

a s in A

?

b s in B

?

c s in C

? 2R

s in (? ? ? ) ? s in ? c o s ? ? c o s ? s in ?
c o s (? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? s in ? s in ?
ta n (? ? ? ) ? ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?
2

? b ? c ? 2bc cos A
2 2

.
2

? c
? a

2
2

; 2 ? a ? 2ca cos B ; 2 ? b ? 2 ab cos C .

a sin ? ? b co s ? =

a ? b s in (? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 的象限

3

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S
?

?

1 2 1 2 1 2

bc sin A

奇 偶 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 性 对
x ? k? ?

三角形的面积:

S

? ? ?

ca sin B

S

?

ab sin C

?
2

30.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C
? C 2 ?

?k

? Z

?

? ? ? C ? ? ? (A ? B)

称 对 轴 称 对 性

x ? k ? ?k ? Z

?

?
2

?

A? B 2

? 2 C ? 2? ? 2 ( A ? B ) .

31.三角函数的性质 函 数
?x | x ? R且 ? ? ? ? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

y ? sin x

y ? cos x

y ? tgx

y ? ctgx

称 ? k ? , 0 ?? k ? Z ? 点 递增区间

? ? ? ,0 ? ?k ? Z ? k? ? 2 ? ?

?

? k ? , 0 ?? k

? Z

?

? ? ? ? k ? ? ,0 ? ?k ? Z ? 2 ? ?

递增区间

递增区间

定 义 域 R R

?x | x ? R且 ? ? x ? k? , k ?

? ? Z?

? ? ? ? 2 k? ? ,2 k? ? ? ? 2 2? ?

?2 k ?

? ? , 2 k ? ?? k ? Z

?

? ? ? ? , k? ? ? k? ? ? 2 2 ? ?

?k

? Z

?

?k

? Z

?

值 域

单 调

? ? 1 ,1 ?
当 x ? 2 k? ?

? ? 1 ,1 ?
?
2

R

R



递减区间
? 3? ? ? 2 k? ? ,2 k ? ? ? ? 2 2 ? ?

?k

? Z ?时

当 x ? 2 k ? ? k ? Z ?时 y max ? 1; 当 x ? 2 k ? ? ? ? k ? Z ?时 y min ? ? 1

递减区间
?2 k ? , 2 k ?
??

递减区间
?? k
? Z

最 值

y m ax ? 1; 当 x ? 2 k? ? y m in ? ? 1

?
2

?k

? Z ?时

无最大值、最小 无最大值、最 值 小值 图

?k

? Z

?

?

?k ? , k ? ?k
? Z

??

?

?

y ? sin x

周 周 期 性


?



周期是 2 k ? ? k ? Z ? 最小正周期是
2?

2 k ? ?k ? Z

周期是 k ? ? k ? Z ? 最小正周期是 ?

周期 k ? ? k

? Z

?



y ? cos x

最小正周期是
?
4

最小正周期是 2 ?

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六、平面向量
32.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 33.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 34. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 35. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 36.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a+b= ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) . (2)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a-b= ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) .
1 1

x ? ? x2 ? x ? 1 ???? ???? ? ??? ? ? 1? ? O P1 ? ? O P2 ? ? OP ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y 2 ? 1? ? ?

??? ? ???? ???? O P ? t O P1 ? (1 ? t ) O P2 ?

(t

?

1 1? ?

).

41.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 、C ( x 3 , y 3 ) ,则△ABC 的重心 的坐标是 G (
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

42.点的平移公式
' ' ???? ??? ? ???? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? ? ' ' ? ? ? OP ? OP ? PP ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

.
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 F 上的对应点为 P 的坐标为 ( h , k ) . 43.“按向量平移”的几个结论

'

(x , y )

'

'

, PP 且

????
'

2

2

1

1

2

2

(3)设 (4)设 a= ( x , y ), ? ? R ,则 ? a= ( ? x , ? y ) . (5)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a·b= ( x 37.两向量的夹角公式
1 1

A ( x1 , y 1 )

,B ( x 2 , y 2 )
2 2

??? ? ??? ??? ? ? ,则 A B ? O B ? O A ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ) .
x 2 ? y1 y 2 )

1

.

(1)点 P ( x , y ) 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到点 P ( x ? h , y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x ) 的图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解 析式为 y ? f ( x ? h ) ? k .
'
' '

cos ? ?
2

x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1 ?
2

x2 ? y2
2

2

(a= ( x 1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ).

38.平面两点间的距离公式
d A,B
?

=|

??? ? A B |?
2

??? ??? ? ? AB ? AB
2

(3) 图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x ) ,则 C 的 函数解析式为 y ? f ( x ? h ) ? k . (4)曲线 C : f ( x , y ) ? 0 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . 44.斜率公式
' ' ' '

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )

(A ( x 1 , y 1 ) ,B ( x

, y2 ) 2

).

k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( P1 ( x 1 ,

y 1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 )

).

39.向量的平行与垂直 设 a= ( x 1 , y 1 ) ,b= ( x , y ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 40.线段的定比分公式
2 2

七、数列
45.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ? s n ? s n ?1 , n ? 2

???? ???? P1 ( x 1 , y 1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数,且 P1 P ? ? P P2 设

( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n

? a1 ? a 2 ? ? ? a n

).


5



46.等差数列的通项公式

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a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? d n ? a 1 ? d ( n ? N )
*



② l1

? l2 ? k1k 2 ? ? 1

.
: A2 x ? B
2

其前 n 项和公式为
sn ? n ( a1 ? a n ) 2
a n ?1 ? a n ?1 2

(2)若 l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2
n ( n ? 1) 2 d ?

y ? C2 ? 0

,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

? n a1 ?

d 2

n ? ( a1 ?
2

1 2

d )n

.

① l1 || l 2

?

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2

; ;

47.等差数学的性质
an ? (n ? 2, n ? N ? )

② l1 ? l 2 ? A1 A 2 52.夹角公式 (1) t a n ? ? | ( l1 :

? B1 B 2 ? 0

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

如果正整数 m , n , k , l 满足 m ? n ? k ? l ,则有 a m ? a n ? a k ? a l 48.等比数列的通项公式
a n ? a1q
n ?1

|.

y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k k ? ? 1 ) 1 2
?| A1 B 2 ? A 2 B 1 A1 A 2 ? B 1 B 2 |.
y ? C2 ? 0
?
2

?

a1 q

? q (n ? N )
n *



(2) ta n ? ( l1 : A1 x ? 直线 l1 53.

其前 n 项的和公式为
? a 1 (1 ? q ) ? a1 ? a n q ,q ? 1 ,q ? 1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? ?na , q ? 1 ? 1 ? n a1 , q ? 1
n

B1 y ? C 1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B

2

, A1 A 2

? B1 B 2 ? 0

).

? l2

时,直线 l1 与 l2 的夹角是 .
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

l1 到 l 2

的角公式 .

49. 等比数列的性质
an
2

(1) ta n ? ( l1 :

?

? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 , n ? N ? )

如果正整数 m , n , k , l

满足 m ? n ? k ? l ,则有 a m a n ? a k a l

y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k k ? ? 1 ) 1 2
? A1 B 2 ? A 2 B 1 A1 A 2 ? B 1 B 2

(2) ta n ?

. , A1 A 2
? B1 B 2 ? 0

八、平面解析几何
50.直线的五种方程 (1)点斜式 (2)斜截式 (3)两点式 (4)截距式
y ? y 1 ? k ( x ? x1 )

( l1 :

A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
? l2

).

y ?

(直线 l 过点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,且斜率为 k ). k x ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
? x ? x1 x 2 ? x1

直线 l1

时,直线 l1 到 l2 的角是 .
2

?

54.点到直线的距离
d ? | A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

y ? y1 y 2 ? y1

( y 1 ? y 2 )( P1 ( x 1 , y 1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x 1 ? x 2 )). 分别为直线的横、纵截距, a、 b ? 0 )

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ?
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

By ? C ? 0

).

x a

?

y b

? 1 ( a、 b

55. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程

. (D2
? E
2

(5)一般式 A x ? B y ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 51.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ① l1
|| l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ;
6

(2)圆的一般方程 x ? 56.点与圆的位置关系 点 P ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 ?
2

y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

? 4F

>0).

( y ? b)

2

? r

2

的位置关系有三种

若d

?

( a ? x0 ) ? (b ? y 0 )
2

2

,则

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点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 57.直线与圆的位置关系 2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
d ? r ?

①若 ? ? b ? 4 a c ? 0 ,则 x 1 , 2 ?
2

?b ?

b ? 4ac
2

2a

;

②若 ?

? b ? 4ac ? 0
2

,则 x 1

? x2 ? ?

b 2a

;

③若 ? ? b ? 4 a c ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根
2

性 方 程 质

其中 d ? 58.椭圆
x a

Aa ? Bb ? C A
2 2

图形

范围

对称性

顶点坐 标

焦点坐 标

离心率

准线方 程

2
2 2

? B

2

. 焦半径公式
? x) .

?
a
2 2

y b
2

? 1( a ? b ? 0 )

y2=2px (p>0)

x≥0 y∈R

x轴

(0,0)

(

p 2

,0)

1

x=-

p 2

PF 1 ? e ( x ?

)


y b
2 2

PF

c

2

? e(

a

2

c

59.双曲线

x a

?
2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的焦半径公式
? x) |

P F1 ? | e ( x ?

a

c
2

) | , P F2 ? | e (

a

2

c

.

y2=- 2px (p>0)

x≤0 y∈R

(- x轴 (0,0)
p 2

,0)

1

x=

p 2

60. 抛物线 y 抛物线 y
2

? 2 px 的焦半径公式

? 2 px( p ? 0)

焦半径 C F
p 2 ? x2 ? p 2

? x0 ?

p 2

. .
y?
2

x2=2py (p>0)

x∈R y≥0

y轴

(0,0)

(0,

p 2

)

1

y=-

p 2

过焦点弦长 CD 61. 抛 物 线 y
2

? x1 ?

? x1 ? x 2 ? p

x2=- 2py (p>0)
, y? )

x∈R y≤0

(0,- y轴 (0,0)
p 2

)

1

y=

p 2

? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P (
y? ? 2 p x? .
2
2

2p

或 P ( 2 pt , 2 pt ) 或

2

P ( x ? , y ? ) ,其中 62.二次函数 坐标为 ( ?
b 2a ,

y ? ax ? bx ? c ? a (x ?

b 2a

) ?
2

4ac ? b 4a

2

( a ? 0 ) 的图象是抛物线,顶点

4ac ? b 4a

2

)

63.实系数一元二次方程的解
2 实系数一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ,

7

开平市第五中学——数学竞赛复习资料

椭圆 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 定义 的点的轨迹是以 2a 为长轴,F1、F2 为焦点的椭圆。 平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为 0 到 1 之间 统一定义 的常数(离心率)的点的轨迹是以定点为焦点,定直线为 (共同性质) 相应准线的椭圆。 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 方程
x a
2 2

双曲线 平面内到两定点 F1、F2 的距离差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是 以 2a 为长轴,F1、F2 为焦点的双曲线。 平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为大于 1 的常数(离心率)的点的轨 迹是以定点为焦点,定直线为相应准线的双曲线。 焦点在 x 轴上
x a
2 2

焦点在 y 轴上
y a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)

x b

2 2

?

y a

2 2

? 1 (a>b>0)

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)

?

x b

2 2

? 1 (a>0,b>0)

图形

范围 顶点坐标 焦点坐标 对称性 渐近线方程 准线方程

|x|≤a,|y|≤b A1(-a,0)、A2(a,0)、 B1(0,-b)、 B2(0,b) F1(-c,0)、 F2(c,0) 关于 x、y 轴成轴对称, 关于原点成中心对称 无 x=±
a
2

|x|≤b,|y|≤a A1(0,-a)、A2(0, a)、 B1(-b ,0)、 B2(b,0) F1(0,-c)、 F2(0,c) 关于 x、y 轴成轴对称, 关于原点成中心对称 无 y=±
a
2

|x|≥a,y∈R A1(-a,0)、A2(a,0) F1(-c,0)、 F2(c,0) 关于 x、y 轴成轴对称, 关于原点成中心对称
y ? ? b a x

| y |≥a, x∈R A1(0,-a)、A2(0, a) F1(0,-c)、 F2(0,c) 关于 x、y 轴成轴对称, 关于原点成中心对称
y ? ? a b x

c

c

x=±

a

2

y=±

a

2

c

c

离心率 (对图 0<e<1,e 越大椭圆越扁,最终趋向于线段, 形的影响) e 越小椭圆越圆,最终趋向于圆 a,b,c 的关 2 2 2 a =b +c 系 焦准距
b
2

e>1,e 越小双曲线张口越小,最终趋向于与实轴重合的两条射线 e 越大双曲线张口越大。最终趋向于两条平行于虚轴的两条直线 c 2=b2+ a 2
b
2

c

c

8


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