成都七中高2014级一诊理科数学模拟试题及答案第二套


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高 2014 届一诊模拟测试题

理科数学第二套

高 2013 届“一诊”模拟试题 数学(理)试题
一、选择题:每题 5 分,共 50 分. 1、下列函数是偶函数的是 (A) y ? x
2、函数 y ? lg x ? (A)(6,7)
2



) (C) y ? x
) (D)(9,10)
? 1 2

(B) y ? 2 x ? 3

(D) y ? x 2 , x ? [0,1]

9 的零点所在的大致区间是( x

(B)(7,8)

(C)(8,9)

3、下列结论正确的是 (

) (A)当 x ? 0且x ? 1 时, lg x ? 1 ? 2 lg x (C)当 x ? 0 时,

(B) 当x ? 2时, x ?

1 的最小值为 2 x
1 有最大值. x

x2 ? 5 x ?4
2

的最小值为 2

(D)当 0 ? x ? 2 时, x ?

4、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为1 , 等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的表面积是( (A) ( 5 ? 2)? (B) (2 5 ? 2)? ) (D) ( 5 ? 3)? (C) 4 ? 2?

5、 已知定义在区间 (0,

?
2

) 上的函数 y ? 3 sin x 的图象

与函数 y ? cos x 的图象的交点为 P , P 作 PP ? x 轴 过 1 于点 P ,直线 PP 与 y ? tan x 1 1 的图象交于点 P2 ,则线段 PP2 的长为( 1 )

(A) 3 (B)

2 3 3 (C) (D) 2 3 2

6、如图,若程序框图输出的S是127, 则判断框①中应为 ( ) (A) n ? 5? (B) n ? 6? (C) n ? 7? (D) n ? 8? 7、某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生” , 现从该小组中任选 5 人参加竞赛,用 ? 表示这 5 人中
1

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5 1 4

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“三好学生”的人数,则下列概率中等于 C7 +C5C7 的是( 5 C12 (A) P ?? ? 1? (B) P(? ? 1) (C) P(? ? 1)

) (D) P(? ? 2)

8、如右图,在 ?ABC 中, AN ?

????

??? ? ??? 2 ???? ? 1 ???? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? mAB ? AC ,则实数 3 9

m 的值为(
(A)

) (B)

1 9

1 3

(C)

1

(D) 3

9、现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( ) (A)232 (B)252 (C)472 (D)484 10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形, 其中第一行各数依次是 1 , 2 , 3 , … , 2011, 从第二行起每个数分别等于上一行左、右 两数之和,最后一行只有一个数 M, 则这个数 M 是( ) 2009 2010 (A) 2012 ? 2 (B) 2011? 2 2011 2007 (C) 2010 ? 2 (D) 2010 ? 2 二、填空题:每题 5 分,共 25 分. 11、已知 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5 ? i 6 ? ______. 12、在 ?ABC 中,若 ?B ?

1 3

2 5 8

3 ..... 2009 2010 ..... ..... ..... M 4019 8040

2011

4021

?
4

,b ?

2a ,则 ?C ?



13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数 字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和 一个最低分后,甲、乙两名选手得分的 平均数分别为 a1 、 a2 ,则 a1 、 a2 的 大小关系是_____________. (填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 之一) .

14.函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | ax | ,若存在三个互不相等的实数 x1 , x2 , x3 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则实数 a ? .

15. 已 知 数 列 A : a1 , a2 ,..., an (0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3) 具 有 性 质 P : 对 任 意

i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四
个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P;
2

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③若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ) 具有性质 P,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题的序号是 .(填上所有正确命题的序号)

高 2014 届“一诊”模拟试题理科数学试题答题卷 二、填空题: 11、 ;12、 ;13、 ;14、 ;15、 . 三、解答题:共 6 个小题,满分 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知 sin( A ? ) ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

π 4

? ? 7 2 , A ? ( , ). 10 4 2

5 sin A sin x 的值域. 2

17.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
(I)求证: AB1 //平面 BC1 D ;

A1

A

D B1 C1 C B

(II)若四棱锥 B ? DAA1C1 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.

3

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18. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x ( x ? 0 ) 的图象经过两点 A(0,1)
2

和 B( 3, 2 ?

3) .

(I)求 f ( x) 的表达式及值域; (II)给出两个命题 p : f (m ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : log 2 (m ? 1) ? 1 .问是否存在实数
2

m ,使得复合命题“ p 且 q ”为真命题?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理
由.

19. 本小题满分 12 分) ( 旅行社为某旅行团包飞机去旅游, 其中旅行社的包机费为 15000 元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞 ... 机票每张收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机 .. ... 票费减少 10 元, 但旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人, 飞机票价格为 y 元,旅行社的利润为 Q 元. (I)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (II)当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.

4

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20.(本小题满分 13 分)已知各项均为正数的数列 ?a n ?前 n 项的和为 S n ,数列 an 项的和为 Tn ,且 ? S n ? 2 ? ? 3Tn ? 4, n ? N .
2 *

? ? 的前 n
2

(I)证明数列 ?a n ?是等比数列,并写出通项公式;
* (II)若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
2

(III)若 an , 2 an ?1 , 2 an ? 2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

x

y

5

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21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? kx , x ?R . (I)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (II)若 k ? 0 ,且对于任意 x ?R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (III)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) L F (n) ? (e
n ?1

? 2)

n 2 ( n ? N* ).

6

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2014 届高三“一诊”模拟试题二理科试题参考答案
一、选择题:BDDAC BBACA 二、填空题:11、 i ;12、 7? ;13、 a2 ? a1 ;14、 ?2 ;15、②③④

12

三、解答题: 16、解: (Ⅰ)因为

π 7 2 π π π π 3π ,所以 ? A ? ? , ? A ? ,且 sin( A ? ) ? 4 10 4 2 2 4 4

π π π π π π π 2 . 因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? )sin cos( A ? ) ? ? 4 10 4 4 4 4 4 4
?? 2 2 7 2 2 3 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? .????6 分 10 2 10 2 5 5
4 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 1 3 sin A sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ?R . 2 2 2 1 3 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [?3, ] . 17、解: (I)略;???4 分 (II)过 B 作 BE ? AC 于 E ,则 BE ? 面 AA1C1C ,设 BC ? x ,则 AC ? 从而体积 V ?

3 2

????????12 分

x2 ? 4 ,

1 1 ? ( AD ? A1C1 ) ? AA1 ? BE ? 3 ,解得 x ? 3 . ???6 分 3 2
13 . 3
???12 分

建系或直接作角得 tan ? ?

18、解: (I)由 f (0) ? 1 , f ( 3) ? 2 ? 3 ,可得 a ? ?1, b ? 1 , 故 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x ( x ? 0) ,

???2 分

在 [0, ??) 上递减,所以 f ( x) 的值域为 (0,1] . ???6 分 1 ? x2 ? x (II)复合命题“ p 且 q ”为真命题,即 p, q 同为真命题。 ???7 分 由于 f ( x) ?

1

? f ?x ? 在 [0, ??) 上递减,
故 p 真 ? m ? m ? 3m ? 4 ? 0 ? m ?
2

4 且 m ? 2 ;???9 分 3
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q 真 ? 0 ? m ? 1 ? 2 ? 1 ? m ? 3 ,???11 分
故存在 m ? [ , 2) ? (2,3) 满足复合命题 p 且 q 为真命题。???12 分 19、解: (I)依题意得,当 1 ? x ? 35 时, y ? 800 ; 当 35 ? x ? 60 时, y ? 800 ? 10( x ? 35) ? ?10 x ? 1150 ;
4 3

(1 ?800        ? x ? 35且x ? N ) ?y ?? ?????4 分 (35 ??10 x ? 1150      ? x ? 60且x ? N )
(II)设利润为 Q ,则

(1 ?800 x ? 15000    ? x ? 35且x ? N ) Q ? y ? x ? 15000 ? ? 2 ??10 x ? 1150 x ? 15000  (35 ? x ? 60且x ? N )
当 1 ? x ? 35且x ? N 时, Qmax ? 800 ? 35 ? 15000 ? 13000 , 当 35 ? x ? 60 时,

?6 分

Q ? ?10 x 2 ? 1150 x ? 15000 ? ?10( x ?

115 2 36125 , ) ? 2 2

又? x ? N ?当 x ? 57或58 时, Qmax ? 18060 ? 13000 , 答:当旅游团人数为 57或58 人时,旅行社可获得最大利润 18060 元。 ??12 分 20、解. (I)当 n ? 1时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a2 2 ) ? 4 ,解得 a2 ? 由 ( S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 ( S n ?1 ? 2) ? 3Tn ?1
2 2

1 ;???2 分 2 ? 4 ,两式相减得

2 ( S n?1 ? S n )( S n?1 ? S n ? 4) ? 3a n?1 ? 0 ,即 ( S n ?1 ? S n ? 4) ? 3a n ?1 ? 0 ,

1 an ,(n ≥ 2) ,?4 分 2 1 a 1 1 又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , (n ≥1) ,所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 的等比数列, an 2 2 2
亦即 2S n ?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn ?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得 an ?1 ? 其通项公式为 a n ?

1 2
n ?1

n ? N* .???????????????5 分
n

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1? ? ? n ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , ? 4 ? ? 4 ?1 ? ? 1 ? ? ,??7 分 (2)由(1)可得 S n ? ? ? ? Tn ? ? ? ? ? ? 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? 1? ? ? 1? 4 2 n ?1? 1? ? ? 2 Sn 6 2 2 * * ? 3 ? ?n ? 3 ? n 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立, 只需 ? ? 对 n ? N 恒成 Tn 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

立,
8

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6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3;????10 分 2 ?1 1 2x 2y x y (3)若 a n ,2 a n ?1 ,2 a n ? 2 成等差数列,其中 x, y 为正整数,则 n ?1 , n , n ?1 成等差数列, 2 2 2 x y ?2 整理得 2 ? 1 ? 2 ,当 y ? 2 时,等式右边为大于 2 的奇数,等式左边是偶数或 1,等式
因为 3 ?
n

不能成立, 所以满足条件的 x, y 值为 x ? 1, y ? 2 .????????????????13 分 21、解: (I)当 k ? e 时, f ?( x) ? e x ? e ,故 f ( x) 的单增区间是 (1, ??) ,单减区间是 (??,1) 。 (II) f (| x |) ? 0 恒成立等价于 x ? 0 时 f ( x) ? 0 恒成立。由 f ?( x) ? e x ? k 知 f ( x) 在 (??,ln k ) 上 单减,在 (ln k , ??) 上单增。当 k ? (0,1] 时, ln k ? 0 ,故 f (x) ? f (0) ?1 满足题意。当 k ? 1 时, ln k ? 0 ,所以 f ( x) ? f (ln k ) ? k ? k ln k ? 0 ,解得 1 ? k ? e 。综上所述, k 的范围是 (0, e) 。 (III) F ( x) ? e x ? e? x , 所以 F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x ? x ? e? ( x ? x ) ? e x ? x ? e x ? x ? e x ? x ? e? ( x ? x ) ? 2 ? e x ? x ? 2 , 从而 F (k ) F (n ? k ? 1) ? en ?1 ? 2 ( k ? 1, 2,L , n ) 。所以 [ F (1) F (2) L F (n)]2 ? (en ?1 ? 2)n ,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

即 F (1) F (2) L F (n) ? (e n ?1 ? 2) 2 。

n

9


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