浙东北三校2015-2016学年高二第一学期期中考试数学试卷


浙东北(ZDB)三校 2015-2016 学年第一学期期中考试

高二数学 试卷
命题学校:平湖中学 【考生须知】 1.本科考试分试题卷与答题卷,选择题在机读卡上作答,填空和解答题在答题卷上作答; 2.本科考试时间 120 分钟,满分为 100 分. 3.参考公式: 球的表面积公式
2

命题老师:张春海

审卷老师:刘红霞

S ? 4?R ( R 为球的半径) 球的体积公式 4 V ? ?R 3 ( R 为球的半径) 3 其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式 1 V ? h( S 上 ? S 下 ? S 上S 下 ) 3 其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积 h 表示台体的高

一、选择题(本题共 10 题,每小题 4 分,共 40 分) 1.直线 y ? 3x ? 2 的倾斜角是( ▲ ) A.

2? 3

B.

? 3

C.

5? 6

D.

? 6

2.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ▲ ) A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , 则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? 则 ? ? ?
2 2 2

B.若 ? / / ? , m ? ? , n ? ? 则 m / / n D.若 m ? ? , m / / n , n / / ? ,则 ? ? ?

3.圆 ?x ? 4? ? ? y ? 2? ? 9 与圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 的位置关系为( ▲ ) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 A? x? y? 4.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是以 B? 为直角顶点的等腰 直角 ?A ? B ?O ? ,若 O ?B ? ? 1 ,那么原 ?ABO 的面积是( ▲ ) O? D. 2 2

1 A. 2

B. 2

2 C. 2

B?
第4题

第 1 页 共 8 页

5.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( ▲ )
2 2 A. ( x ? 3) ? ( y ? 4) ?

1 2

2 2 B. ( x ? 3) ? ( y ? 4) ?

1 2

C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 2

D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 2

6.由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线,则切线长的最小值为( ▲ ) A. 7 B. 2 2 C.1 D. 3
2

7.已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上运动,则 PA 是( ▲ ). A. 34 B. 23 C. 26 D. 24

? PB 的最小值

2

8. 点 P 是底边长为 2 3,高为 2 的正三棱柱表面上的动点, Q 是该棱柱内切球表面上的动点, 则 | PQ | 的取值范围是( ▲ ) A.[0,

3 ? 1]

B.[0, 5 ? 1 ]

C.[0,3]

D.[1,

5 ?1 ]

9. 已知 ?ABC 中, ?C ?

?
2

, ?B ?

?
6

, AC ? 2 , M 是 AB 的中点,沿直线 CM 将 CBM 折

起,若 AB ? 10 ,设二面角 B ? CM ? A 的平面角为 ? ,则 ? 的大小为( ▲ ) A.

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

? 2

10.已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 5,点 D , E , F 分别 是 BB1 , AA1 , CC1 , 的中点,若侧棱 AA1 与底面三角形的相邻两边都成 60 ? 角, 则四棱锥 D ? AC 1 1 EF 的体积是( ▲ )

E
20 2 A. 3 20 3 B. 3 50 2 C. 9 50 3 D. 9

F

D

第 2 页 共 8 页

二、填空题(本题共 7 题,每小题 3 分,共 21 分) 11. 某几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为____ ▲_____ 12.已知圆锥的表面积为 3? ,且它的侧面展开图是一个半圆,则它的母 线长为 ▲ .

13.已知直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 平行,则这两条平行 线之间的距离为 ▲ . 第 11 题

14. 在三棱锥 PABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC=2, 则直线 PC 与 AB 所成角的大小是___ ▲____. 15.若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 16.
2 2

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围__▲ ____.

已知实数 a , b 满足: a ? b ? 0 , 过点 M (?1, 0) 作直线 ax ? by ? 2b ? a ? 0 的垂线 ,垂足为

N ,点 P(1,1) ,则 | PN | 的最大值为____▲___.
17. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P, Q 分别 是线段 CC1 ,BD 上的点,满足 PQ ∥平面 AC1D1 , 则 PQ 与平面 BDD1B1 所成角的范围是___▲______ 三、解答题(本题共 5 题,共 39 分) 18. (本题满分 6 分) 已知平面内两点 A(8, ?6) , B(2, 2) . (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过点 P(2, ?3) 且与直线 AB 平行的直线 l 的方程;

D1 A1 B1

C1

P

D
Q

C
B

A

19. (本题满分 7 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且直线

PA ? 平面 ABCD , 又棱 PA ? AB ? 2 ,E 为 CD 的中点,
?ABC ? 60? .
(Ⅰ) 求证:直线 EA ⊥平面 PAB ; (Ⅱ) 求直线 EA 与平面 PCD 所成角的正切值.

第 3 页 共 8 页

20.(本题满分 8 分) 已知圆 C 的圆心在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,并且经过原点和点 A(3, ?1) . (Ⅰ)求圆 C 的方程. (Ⅱ)若直线 l 过点 P(1,1) 且截圆 C 所得的弦长为

2 21 ,求直线 l 的方程. 3

21(本题满分 8 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,?ABC 是边长为 1 正三角形, CD =DA ?
AC 与 BD 的交点为 M , 点 N 在线段 PB 上, 且 PN ?

3 , 3

1 . 若二面角 A ? BC ? P 的正切值为 2 2 . 2

(I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求平面 DCP 与平面 ABP 所成的锐角的余弦值.

P

N
D
M

A

C

B
22. (本题满分 10 分) 已知圆 O : x ? y ? 4 和圆 C : x ? y ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

(第 21 题)

记两圆的公共弦所在的直线为 l . (I)求直线 l 的方程. (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点为 M ,过点 M 任作一条直 线与圆 O 相交于点 A, B ,是否存在 x 轴上的定点 N , 连接 AN , BN ,使得 ?ANM ? ?BNM ,若存在,求 出点 N 的坐标,若不存在,说明理由.
O M B (第 22 题) A y

N

x

第 4 页 共 8 页

浙东北(ZDB)三校 2015-2016 学年第一学期期中考试

高二数学 答题卷
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) BDCB CACB DA 二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. 14.

2 3

12. 2

13.

5 10
16. 5 ? 2

? 3 ? ? 17. ( , ] 6 3

15. ?2 ? m ? 2或m ? 2 2

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 39 分) 18.(6 分)解: (I) AB两点的中点为(5, ?2) ;---1 分

2 ? (?6) 4 ? ? ;------------2 分 2?8 3 3 k中垂线 ? ;------------3 分 4 k AB ?

中垂线方程为: 3x ? 4 y ? 23 ? 0 ;------------4 分
(II) kl ? ?

4 ;------------5 分 3
P

l的方程为: 4 x+3 y +1 ? 0 ;------------6 分
19.(7 分)解: (1)证明:∵∠ADE=∠ABC=60°,ED=1,AD=2 ∴△AED 是以∠AED 为直角的 Rt△ 又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB------------1 分 又 PA⊥平面 ABCD,∴EA⊥PA, ------------2 分 ∴EA⊥平面 PAB, ------------3 分 (2)如图所示,连结 PE,过 A 点作 AH⊥PE 于 H 点 ∵CD⊥EA, CD⊥PA ∴CD⊥平面 PAE,∴AH⊥CD,又 AH⊥PE ∴AH⊥平面 PCD------------4 分 ∴∠AEP 为直线 AE 与平面 PCD 所成角------------6 分 在 Rt△PAE 中,∵PA=2,AE= 3
第 5 页 共 8 页

H D E B C

A

∴ tan?AEP ?

PA 2 2 3 ------------7 分 ? ? AE 3 3

20.(8 分)解: (I)设圆心为 ( x0 ,5 ? 3x0 ) ,则 r 2 ? x02 ? (5 ? 3x0 )2 ? ( x0 ? 3)2 ? (5 ? 3x0 ?1)2 解得 x0 = ,r ?

5 3

5 5 2 2 25 ,所以圆的方程: ( x ? ) +y ? -----------------3 分 3 3 9

(II)当直线 l 垂直于 x 轴时,方程为 x ? 1 ,交点为 (1, 符合题意-----------------4 分

21 21 2 21 ), (1, ? ) ,弦长为 3 3 3

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,由弦心距三角形得

5 | k ?1? k | 5 21 2 3 ? ( )2 ? ( ) 2 3 3 k ?1
解得 k ? ?

----------6 分

5 ,----------7 分 12

所以方程为 5 x +12 y ? 17 ? 0 ,综上 l 的方程为 x ? 1 或 5 x +12 y ? 17 ? 0 ----------8 分 21.(8 分) (I)在 ?ACD 中由余弦定理得 ?ADC ? 所以 ?BCD ? ?BCA ? ?DCA ?

?
2

2? , 3

,又因为 PD ? 平面ABCD, 所以PD ? BC

所以 BC ? 平面PDC ,? BC ? CD, BC ? PC

??PCD为二面角A ? BC ? P的平面角----------1 分

? tan ?PCD ? 2 2
因为CD ? 3 2 6 ,所以PD ? ----------2 分 3 3 3 3 2 3 ? ? ,? PB ? 2 2 6 3

因为BD ? BM ? MD ?
?

PN 1 MD ? ? ,? MN / / PD ----------3 分 PB 4 BD

MN ? 平面PDC, PD ? 平面PDC ? MN / / 平面 PDC ----------4 分
第 6 页 共 8 页

(II)分别延长 CD, AB 交于点 G ,则 PG为两个平面的棱 ----------5 分

作CE ? PG, 连结 BE, 因为BC ? 平面PDC ? BE ? PG
??CEB 为平面 DCP 与平面 ABP 所成的锐平面角----------6 分
因为 CE ? 2 ,所以 cos ?CEB ?

2 6 ? 3 3

6 求平面 DCP 与平面 ABP 所成的锐角的余弦值 ----------8 分 3

P

E

G

N
D
M

A

C

B
22.(10 分)(Ⅰ) 圆O与圆C两边相减得

(第 21 题)

l : 2 x ? y ? 2 ? 0 ------——————————————————----3 分
(II)由题意得 M (1,0) ,当 AB ? x 轴时显然成立。 当 AB不垂直于x 轴时,设 AB : y ? k (x ?1), A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) 。

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ? (1 ? k ) x ? 2 k x ? k ?4 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 4 ?
2k 2 k2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ------———————————---5 分 1? k 2 1? k 2 由题意得 N点不是M 点,所以直线AN,BN的斜率存在 ?ANM ? ?BNM ? k AN ? kBN ? 0 ------———————————----7 分 y y x ? 1 x1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ? k( 1 ? )?0 x1 ? n x2 ? n x1 ? n x2 ? n
第 7 页 共 8 页

? k[2 x1x 2 ? (n? 1)(x1 ? x 2 ) ? 2n] ? 0 由韦达定理得 k[2n ? 8] ? 0 ,所以 n ? 4 ------———————————----9 分 所以点 N 存在为 N (4,0) ------———————————----10 分

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