南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三


南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三
试题Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,则 a ? (a ? b) = ▲ . ▲ .

2. 若直线 y ? ? x ? b 为函数 y ? 1 的一条切线,则实数 b ? x

3.若使“ x≥ 则实数 a 的值是 ▲ . 1”与“ x≥a ”恰有一个成立的 x 的取值范围为 ?x 0≤x ? 1? , 4. 已知点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B ,则劣弧 AB 的长度大于 1 的概率为 ▲ . 5. 给出如下 10 个数据:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作 频率分布直方图,其中 ?64.5, 这组所对应的矩形的高为 ▲ . 66.5) 6. 已知 π ≤? ≤π ,且 sin ? ? π ? 1 ,则 cos? ? 2 6 2

?

?

▲ .

7. 某圆锥的侧面展开图是半径为 1cm 的半圆,则该圆锥的体积是 ▲ cm 3 . 8. 对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,下列正确的命题的序号是 ▲ . ① 若 f (2) ? f (1) ,则 f ( x) 是 R 上的单调增函数;② 若 f (2) ? f (1) ,则 f ( x) 不是 R 上的单调 减函数;
0? 、? 0, ? ? ? 上都是单调增函数, ③ 若 f ( x) 在区间 ? ??, 则 f ( x) 一定是 R 上的单调增函数.

9. 给出下列等式:

2 ? 2 c oπs, 4

2?

π, 2? 2 c o s 8

2 ? 2 ? 2 ? 2cos π , …… 16
▲ .

请从中归纳出第 n n ? N* 个等式: 2 ? ??? 2 ? 2 ?
n个 2

?

?

t ? [0, ? ?) ,设 ? ? 100 π,A ? 5 , 10.已知电流 I (A) 随时间 t (s) 变化的关系式是 I ? A sin ?t,

则电流
I ( A 首次达到峰值时 ) t 的值为

▲ .

0) , C (1, 0) ,分别以△ ABC 的边 2) , B(?2, 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,
AB、 AC 向

外作正方形 ABEF 与 ACGH ,则直线 FH 的一般式方程为 ▲ .

1

y F H

E

A

G

B

O

C

x

(第 11 题图) 12.设 x、y ? (?2,2) ,且 xy ? ?1 ,则函数

4 ? 9 的最小值为 ▲ . 4 ? x2 9 ? y 2

2 y2 13. 已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆 x ? ? 1 的公共点都各 16 9

只有一个,那么该定圆的方程为 ▲ . 14.已知 ? 为非零常数,数列 ?an ? 与 ?2an ? ?? 均为等比数列,且 a2012 ? 3 ,则 a1 ? ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知 sin ? ? sin ? ? 1, cos? ? cos ? ? 3 . (1)求 cos ?? ? ? ? 的值; (2)求 cos ?? ? ? ? 的值.

P 16. (本题满分 14 分) 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,点 M 为棱 AB 的 中点,点 N 为棱 PC 上的点. (1)若 PN ? NC ,求证: MN // 平面 PAD ; (2)试写出(1)的逆命题,并判断其真假. 若为真,请证明;若为假,请举反例.
2

N D A Q M (第 16 题) B

C

17. (本题满分 15 分)
b) (ab ? 0) ,点 B 为直线 l: y ? bx 与抛物线 C: 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(a,

x 2 ? 1 y 异于原点的另一交点. ab

(1)若 a ? 1,b ? 2,求点 B 的坐标; (2)若点 A 在椭圆 x ? y 2 ? 1 上,求证:点 B 落在双曲线 4 x2 ? 4 y 2 ? 1 上; 4 (3)若点 B 始终落在曲线 y 2 ? 2c( x ? d ) (其中 c、d 为常数,且 c ? 0 )上,问动点 A 的 轨迹落 在哪种二次曲线上?并说明理由.
2

18. (本题满分 15 分) 如图甲,一个正方体魔方由 27 个单位(长度为 1 个单位长度)小立方体组成,把魔方 中间的一 层 EFGH ? E1F1G1H1 转动 ? ,如图乙,设 ? E 的对边长为 x . E1 (1)试用 ? 表示 x ; (2)求魔方增加的表面积的最大值.
H1

F1

F

E? x ? E M

N

F F?

H
(图甲)

G G1

H?

H
(图乙)

G

G?

19. (本题满分 16 分) 设各项均为非负数的数列 {an } 的为前 n 项和 Sn ? ? nan ( a1 ? a 2 , ? ? R ). (1)求实数 ? 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(用 n, a2 表示).
3

(3)证明:当 m ? l ? 2 p ( m, l, p ? N* )时, Sm ? Sl ≤S p 2 .

20. (本题满分 16 分) 记定义在 ? ?1 R)的最大值、最小值分别为 M、N, , 1? 上的函数 f ( x) ? x2 ? px ? q(p,q∈ 又记 h( p) ? M ? N . (1)当 0≤p≤2 时,求 M、N(用 p、q 表示) ,并证明 h( p)≥1 ; (2)直接写出 h( p) 的解析式(不需给出演算步骤) ; (3) 在所有形如题设的函数 f ( x) 中, 求出所有这样的 f ( x) 使得 f ( x) 的最大值为最小.

试题Ⅱ (附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若 . 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A. (几何证明选讲) 如图, AT 为单位圆 O 的切线,过切点 T 引 OA 的垂线 TH , H 为垂足. 求证: AO ? OH 为定值.
O

T

H

A

(第 21—A 题) B. (矩阵与变换)

4

? 1 ?2 ? ? 5 ? 已知矩阵 A ? ? ,B?? ? ? 满足 AX ? B ,求矩阵 X . ? ?2 ?1? ? ?15?

C. (极坐标与参数方程)
? x ? 1 (et ? e?t ) cos ?, ? 2 将参数方程 ? ( ? 为参数,t 为常数) 化为普通方程 (结果可保留 e ) . ? y ? 1 (et ? e?t )sin ?, ? 2

D. (不等式选讲) 已知正实数 a,b,c 成等比数列,求证: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22.一批产品共 100 件,其中有 3 件不合格品,从中随机抽取 n ( n ? N* )件,用 X 表示所 抽取的 n 件产品中不合格品的个数. (1)若 n ? 2 ,求 X 的概率分布; (2)求使 X ? 1 的概率取得最大值时的 n 的值. (参考数据: 9901 ? 99.50 )

23.设等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差 d( d ? N* ) ,m 为数列 ?an? 中的项.

? 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个 d,使得对每一个 m, ? x ? 1 ? 的展开式中均不含常数项. x
(1)若 d=3,试判断 x ? 1 x
m m

?

南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三 参考答案
1. 4; 8. ②; 2.

?2 ;

3.

0;

4.

1; 3

5. 1 ; 5

6. ?1 ;

7.

3? ; ??

5

9. 2cos ? ; ?n ?1

10.

1 ; 200

11. x ? 4 y ? 14 ? 0 ;

12.

1 2; 5

13. x2 ? y 2 ? 25 ;

14.

3. 答案解析 0) ? 4 ; 1. a ? (a ? b) = ? (1,2) ? (4,
1) 或 (?1,? 1) ,代入 y ? ? x ? b 得 b ? ?2 ; 2. 由 y? ? ? 12 ? ?1 得 x ? ?1 ,故切点为 (1, x

3. 易得 a ? 0 ; 4. “劣弧 AB 的长度大于 1”的概率等于 1 ; 3 5. 落在区间 ?64.5, 的数据依次为 65 , 66 , 66 , 65 ,共 4 个,则矩形的高等于 66.5)

4 频率 = 10 =1 ; 组距 66.5-64.5 5
6. 法 1 由 π ≤? ≤π 得 ? ≤? ? π ≤ 5? , 且 s i n? ? π ? 1 , 所 以 ? ? ? ? π ≤ 5? , 则 2 3 6 6 6 2 2 6 6

?

?

c o s? ? π ? ?

?

6?

3, 2

此时 cos? ? cos ? ? ? π ? π ? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? ?1 ; ? ? 6 6? 2 2 2 2 ?

?

?

? ? π ? 1 , 所 以 ? ? π = 5? , 则 法 2 由 π ≤? ≤π 得 ? ≤? ? π ≤ 5? , 且 s i n 2 3 6 6 6 2 6 6
c o ?s ? c?o ?s ?1 ;

?

?

7. 设圆锥的底面圆的半径为 r ,高为 h ,则由 2 πr ? ? 得 r ? 1 , h ? 12 ? 1 2 2 该圆锥

??

2

? 3 ,所以 2

8.

体积 V ? 1 ?? ? ? 3 ? 3? ; 3 ? 2 ?? 对于①:不符合单调增函数的定义;②正确;对于③:注意在 x ? 0 处,若函数 f ( x) 不

??
?

2

连续时 该命题就不一定正确; 9. 易得第 n n ? N* 个等式: 2 ? ??? 2 ? 2 ? 2cos ? ; ?n ?1
n个 2

?

t ? [0, ? ?) 首次达到峰值时 t ? T ? 1 ; 10. 易得周期 T ? 2? ? 1 ,则函数 I ? A sin ? t, ???? 50 4 200

4), H (2, 3) ,则直线 FH 的方程为 x ? 4 y ? 14 ? 0 ; 11. 易得 F (?2,

12. 易 得

4 ? 9 ? 4 ?9 ? y ? ? 9 ? 4 ? x 4 ? x2 9 ? y 2 ? 4 ? x2 ??9 ? y 2 ?
2

2

? ? 72 ? ?9x 37 ? ? 9 x

2 2

? 4y ? 4y
2

? ?

2

, 设 t ? 9 x2 ? 4 y 2 , 则

t≥2 9x2 ? 4 y2

6

(当且仅当 9 x2 ? 4 y 2 时等号成立) , 则原式 ? 72 ? t ? 35 ? 1 ≥12(当且仅当 t ? 12 ? 12 37 ? t 37 ? t 5 时等号 成立) ;
2 y2 13. 易得椭圆 x ? 则该定圆必是该外 ? 1 的外切矩形的四个顶点 ? ?4,? 3? 必在该定圆上, 16 9

切矩形 的外接圆,方程为 x2 ? y 2 ? 25 ,可以验证过该圆上除点 ? ?4,? 3? 的任意一点也均可作 两条相互
2 y2 垂直的直线与椭圆 x ? ? 1 的交点都各只有一个; 16 9

14. 因 为 数 列 ?an ? 与 ?2an ? ?? 均 为 等 比 数 列 , 所 以 ? 2an ? ? ? ? ? 2an?1 ? ? ?? 2an?1 ? ? ? 且
2

an 2 ? an?1an?1 ,

得 2an ? an ?1 ? an ?1 ,故数列 ?an ? 也为等差数列,不难得数列 ?an ? 为非零常数列,则
a1 ? a2012 ? 3 .

15.命题立意:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解能力. (1)因为 sin ? ? sin ? ? 1 ①,

c o? s ? c? os ?

②, 3

② 2 ? ① 2 得 sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos2 ? ? 4 , (3 分) 即 2+2 cos ?? ? ? ? ? 4 , 所以 cos ?? ? ? ? ? 1 ; (6 分)

(2)② 2 ? ① 2 得 cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos? cos ? ? 2sin ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 即 cos 2? ? 2cos(? ? ? ) ? cos 2? ? 2 , (8 分) 故 cos ?(? ? ? ) ? (? ? ? )? ? 2cos(? ? ? ) ? cos ?(? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ? 2 , (12 分) 化简得 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 1, 由(1)得 cos(? ? ? ) ? 1 . (14 分) 2 16.命题立意:本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间 想象、 P 推理论证能力. 【证明】 (1)延长 CM , DA 交于点 Q ,连结 PQ , 因为点 N 为线段 PC 上的点, 且 PN ? NC , 所以点 N 为线段 PC 的中点, 又点 M 为线段 AB 的中点, 所以 MN // PQ , (3 分) A
7

N D M (第 16 题图) B

C

Q

又 MN ? 平面 PAD , PQ ? 平面 PAD , 所以 MN // 平面 PAD .(6 分) (2) (1)的逆命题为:若 MN // 平面 PAD , 则 PN ? NC (真命题) , (8 分) MN ? 平面 PQC , 下证之: 因为 MN // 平面 PAD , PAD 平面 平面 PQC ? PQ , 所以 MN // PQ , (12 分) 在 ?PQC 中,点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 PC 上的点, 所以,点 N 为线段 PC 的中点.(14 分) 17.命题立意:本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识,考查运算求 解与探 究能力. 解: (1)由 y ? bx 与则 x 2 ? 1 y 联立方程组得 B 1 ,b , ab a a 又 a ? 1,b ? 2,则 B ?1, (3 分) 2? ;
b) (ab ? 0) 代入椭圆 x ? y 2 ? 1 得 a ? b2 ? 1 , (2)将 A(a, 4 4
2 2

? ?

(7 分) ? 4 ? 1 ? b ? 1 ,即证; ? ? ? ? ? 4? b a? a (3) 将 B ? 1 ,b ? 代入 y ? 2c( x ? d )(其中 c、d 为常数,c ? 0 ) 得 ? b ? ? 2c ? 1 ? d ? , a a a a 将 B 1 ,b 代入 4x2 ? 4 y 2 ? 4 1 a a a
2

2

2

2

2

2

? c ? 0? ,
① 若 d ? 0 ,则 b2 ? 2ca , ? c ? 0? ,所以点 A 的轨迹落在抛物线上; (9 分)
a? 1 ? ? 2d 若 d ? 0 ,则 1 4d 2
2 2 ? b ? 1 ? c ? 0? , c 2d

②若 cd ? 1 ,则点 A 的轨迹落在圆上; (11 分) 2 ③若 cd ? 0 ,且 cd ? 1 ,则点 A 的轨迹落在椭圆上; (13 分) 2 ④若 cd ? 0 ,则点 A 的轨迹落在双曲线上.(15 分) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)由题意得 x ? 解得 x ?
x ? x ?3, sin ? tan ?

3sin ? (6 分) , ? ? 0,? , 1 ? sin ? ? cos ? ?

? ?

2 (2)魔方增加的表面积为 S ? 8 ? x , tan ?

8

由(1)得 S ?

72sin ? cos ? , ? , (10 分) ? ? 0, ? (1 ? sin ? ? cos ?) 2

? ?
?

令 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? , , t ? 1, ? ? ? ? 则S ?
36 ? t 2 ? 1? (1 ? t )2 ? 36 1 ? 2 ≤36 ? 1 ? 2 ? 108 ? 72 2 (当且仅当 t ? 2 t ?1 2 ?1

?

?

?

?

?

?

即 ? ? ? 时等号成立) , ? 答:当 ? ? ? 时,魔方增加的表面积最大为 108 ? 72 2 . (15 分) ? 19.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知 识,考 查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? ? a1 ,所以 ? ? 1 或 a1 ? 0 ,(2 分) 若 ? ? 1 ,则 Sn ? nan ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2a2 ,即 a1 ? a2 ,这与 a1 ? a 2 矛盾; 所以 a1 ? 0 ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2? a2 ,又 a1 ? a 2 ,故 a2 ? 0 ,所以 ? ? 1 ,(4 2 分) (2)记 S n ? 1 nan ①, 2 则 Sn ?1 ? 1 (n ? 1)an ?1 2

? n≥2? ②, ? n≥2? ,又数列 {an } 各项均为非负数,且

① ? ②得 an ? 1 nan ? 1 (n ? 1)an ?1 2 2
a1 ? 0 ,

所以 则

an ? n ? 1 ? n≥3? ,(6 分) an ?1 n ? 2

a3 a4 a5 a ??? n ? 2 ? 3 ? 4 ???? n ? 1 ,即 an ? a2 ? n ? 1? ? n≥3? , a2 a3 a4 an?1 1 2 2 n?2

当 n ? 1 或 n ? 2 时, an ? a2 ? n ? 1? 也适合, 所以 an ? a2 ? n ? 1? ;(10 分) (3)因为 an ? a2 ? n ? 1? ,所以 Sn ?

n(n ? 1) a2 2

? a2 ? 0 ? ,

又 m ? l ? 2 p ( m, l, p ? N* ) 则 S p 2 ? Sm Sn ?

a22 4

?? p( p ?1)? ? m(m ?1)l(l ?1)?
2

9

?

a22 4

?? p( p ? 1)? ? m(m ?1)l(l ?1)?
2

?

a2 2 4

?? m ? l ? ?? 2 ?? ?

? ?

2

2 ? ? ? ? m ? l ? ? ml (m ? 1)(l ? 1) ? 2 ? ? ?

≥ = =

a2 2 ? ml ? ml 4 ? ?

?

?
2

2

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? (当且仅当 m ? l 时等号成立) ? ?

a2 2 ? ml ? ml 4 ? ? a2 2 ml ? ? 4 ?

?

?

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?
2

?

ml ? 1 ? (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?

?

a22 ? ml ? ?? m ? l ? ? 2 ml ? 4 ≥0 (当且仅当 m ? l 时等号成立) =
所以 Sm ? Sl ≤S p 2 .(16 分) 20.命题立意:本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识,考查灵活运用数形结合 思想、 分类讨论思想进行推理论证的综合能力. 解: (1)当 0≤p≤2 时,函数 f ( x) ? x2 ? px ? q 的对称轴为 x ? ? 所以 M ? f (1) ? p ? q ? 1,N ? f ? 此时, h( p ) ? M ? N ?

? ?

p ?? ?1 , 0? , 2

? ?

p p2 ?q? , 2 4

p ? 1 ≥1 ; (3 分) 2

2

??2 p, p≤ ? 2, ? 2 ? p ? 1 ,? 2 ? p ? 0, ? 2 (2)由(1)同理可得, h( p) ? ? (6 分) 2 ? p ? 1 ,0≤p≤2, ? 2 ? p ? 2, ?2 p,

? ? ? ?

(3)记 f ( x) max ? ? ,下证: ?≥ 1 ,且 ?inf ? 1 ,所求函数 f ( x) ? x 2 ? 1 , (8 分) 2 2 2 p ①若 ? ? 1 ,即 p ? 2 时,则 ? ? max ? f (?1) , f (1) ? , 2 所以 2?≥ f (?1) + f (1) ≥ f (?1) ? f (1) ? 2 p ? 4 ,即 ? ? 2≥ 1 ; (10 分) 2 p ? p ? ②若 ? ≤1 ,即 p ≤2 时,则 ? ? max ? f (?1) , f (1) , f ? ?, 2 2 ? ?

? ?

p p2 1o 若 q≤ ? 1 时,则 f ? ? ? q ≥ ? q≥ 1 , 2 2 4 2

? ?

所以 ?≥ 1 (当且仅当 p = 0, q ? 1 时等号成立) ; (12 分) 2 2 2o 若 q ? ? 1 时,则 f (?1) + f (1) ? f (?1) ? f (1) ? 2 ? 2q ? 1 , 2
10

所以 f (?1) , f (1) 中至少有一个大于 1 ,即 ? ? 1 , (14 分) 2 2 由 1o 2o 得, ?≥ 1 ,且 ?inf ? 1 ,此时 f ( x) ? x 2 ? 1 , 2 2 2 2 1 综上所述,所有形如题设的函数 f ( x) ? x ? 即为所求.(16 分) 2 21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 证明:因为 AT 为圆 O 的切线, TH 为 OA 的垂线, 所以 ?ATH ? ?TOH , (3 分) 故直角三角形 ATO 相似于直角三角形 THO , (6 分) 则 OH ? OT ,即 AO ? OH ? OT 2 ? 1 ,即证.(10 分) OT OA B.命题立意:本题主要考查矩阵的乘法,考查运算求解能力.
?a ? 解:设 X ? ? ? , ?b ? ? a ? 7, ? 1 ?2? ? a ? ? 5 ? ?a ? 2b ? 5, ?7 ? ?? 由? 得? (7 分) 解得 ? 此时 X ? ? ? . (10 ? ? ? ? ? ?2 ?1? ? b ? ? ?15? ??2a ? b ? ?15, ?b ? 1, ?1 ?

分) C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力. 解:当 t ? 0 时,y ? 0,x ? cos ? ,即 y ? 0,且 ?1≤x≤1 ; (2 分) 当 t ? 0 时, cos? ?
y x , , sin ? ? 1 (et ? e?t ) 1 (et ? e?t ) 2 2
y2 1 (et ? e?t ) 2 4 ? 1 .(10 分)

所以

x2 1 (et ? e?t ) 2 4

?

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力. 证明:因为正实数 a,b,c 成等比数列,所以 b 2 ? ac , 即有 a ? c≥2 ac ? 2b (当且仅当 a ? c 时等号成立) , (4 分) 则 (a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 2?b(a ? c) ? ac? ? 2b ?(a ? c) ? b?≥2b2 ? 0 , 即证 a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 .(10 分) 22.命题立意:本题主要考查概率分布等基础知识,考查运算求解能力. 一批产品共 100 件,其中有 3 件不合格品,从中随机抽取 n ( n ? N* )件,用 X 表示所 抽取的 n 件产品中不合格品的个数. (1)若 n ? 2 ,求 X 的概率分布; (2)求使 X ? 1 的概率取得最大值时的 n 的值. (参考数据: 9901 ? 99.50 )
3 100) , 解: (1)当 n ? 2 时, X ~ H (2,,

11

则 P( X ? 0) ?

2 0 0 2 1 1 C3 C97 1 ,P( X ? 1) ? C3C97 ? 97 ,P( X ? 2) ? C3 C97 ? 1552 ? 2 2 2 1650 1650 , 1650 C100 C100 C100

所以, X 的概率分布

X
P

0

1

2

为: (5 分)

( 2 ) X ?1 的 概 率 为

1 1650

97 1650

1552 1650

P( X ? 1) ?

n ?1 C1 n(n ? 99)(n ? 100) 3 C97 ? , 1≤n≤99, 且 n ? N* (7 分) n 323400 C100

记函数 f (n) ? n(n ? 99)(n ? 100) , 则由 f ?(n) ? 3n2 ? 398n ? 9900 ? 0 得 n1,2 ? 199 ? 9901 , 3 由参考数据 9901 ? 99.50 知 n1 ? 33.17 或 n2 ? 99.50 , 而 f (33) ? f (34) ? 33 ? 66 ? 67 ? 34 ? 65 ? 66 ? 66 ? 0 , 结合函数 f (n) 的图象性质可知,当 n ? 33 时, X ? 1 的概率取得最大 值. (10 分) 23.命题立意:本题主要考查二项式定理,考查探究与推理论证的综合能力. (1)解:因为 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 . (2 分) 假设 x ? 1 x
r m?r Tr ?1 ? Cm x

?

, ? 的展开式中的第 r+1 项为常数项( r ? N ) r ?0. ? 1x ? ? C ? x ,于是 m ? 3 2
m r r m m? 3 r 2

设 m ? 3n ? 2 n ? N* ,则有 3n ? 2 ? 3 r ,即 r ? 2n ? 4 ,这与 r ? N 矛盾. 2 3 所以假设不成立,即 x ? 1 的展开式中不含常数项. (5 分) x (2)证明:由题设知 an= 1 ? (n ? 1)d ,设 m= 1 ? (n ? 1)d , 由(1)知,要使对于一切 m, x ? 1 x

?

?

?

?

m

?

? 的展开式中均不含常数项,
m

必须有:对于 n ? N* ,满足 1 ? (n ? 1)d ? 3 r =0 的 r 无自然数解, 2 即 r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? N . (8 分) 3 3 当 d=3k k ? N* 时, r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? 2k (n ? 1) ? 2 ? N . 3 3 3 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m, x ? 1 x 项. (10 分)

?

?

?

? 的展开式中均不含常数
m

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