专题6第21讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题


专题六 解析几何 专题一 函数与导数

1.圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问 题,它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与

圆锥曲线位置关系,同时又与三角函数、函数、不
等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系,解这 类问题时,需要有较强的代数运算能力和图形识别 能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算、 推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以

保证结果的完整性.

2.研究变量的最值问题时,一般先建立目标函

数,再转化为函数或不等式问题求解,或运用
“数形结合”、“几何法”求解. 3.解析几何定值包括几何量的定值或曲线系 (直线系)过定点等问题,处理时可以直接推理 求出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后

进行一般性证明,对于客观题,通过特殊值法
探求定点、定值能达到事半功倍的效果.

一、圆锥曲线背景下的定点问题 x y 例 1 ( 2 0 1 0 ? 广 州 二 模 )已 知 椭 圆 C 1: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? a b 的 右 焦 点 F 2 与 抛 物 线 C 2: y
2 2 2

? 4 x的 焦 点 重 合 , 椭 圆 C 1 5 3 .圆 C 3的

与 抛 物 线 C 2 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P, F2 ? P

圆 心 T 是 抛 物 线 C 2 上 的 动 点 , 圆 C 3与 y 轴 交 于 M , N 两 点 , 且 M N ? 4.

? 1 ? 求 椭 圆 C 1的 方 程 ; ? 2 ? 证 明 : 无 论 点 T 运 动 到 何 处 , 圆 C 3恒 经 过 椭 圆
C 1上 一 定 点 .

解 析 : ? 1 ? 方 法 1: 因 为 抛 物 线 C 2: y

2

? 4x 的焦点

坐 标 为 ? 1, 0 ? , 所 以 点 F 2的 坐 标 为 ? 1, 0 ? . 所 以 椭 圆 C 1的 左 焦 点 F1的 坐 标 为 F1 ? ? 1, 0 ? , 抛 物 线 C 2的 准 线 方 程 为 x ? ?1. 设 点 P 的 坐 标 为 ( x 1, y 1 )( x1 ? 0, y 1 ? 0 ). 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 P F 2 ? x1 ? 1 . 因 为 P F2 ? 由 y ? 4 x1 ? 5 3 8 3 , 所 以 x1 ? 1 ? 5 3 , 解 得 x1 ? 2 3 6 2 3 .

, 且 y 1 ? 0, 得 y 1 ? 2 2 6 , ). 3 3

.

所 以 点 P的 坐 标 为 (

x y 在 椭 圆 C 1: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 中 , c ? 1. a b 又 2 a ? P F1 ? P F 2 ? ? 2 3 ?
2

2

2

? 1? ? ?
2

2 3

6

? 0?

2

? 所 以 a ? 2, 则 b ?

2 3

? 1? ? ?
2 2

2 3

6

? 0?

2

? 4,

a ?c x
2

? y
2 2

3. ? 1.

所 以 椭 圆 C 1的 方 程 为

?

4

3 ? 4 x的 焦 点 坐 标 为 ? 1, 0 ? ,

方 法 2 : 因 为 抛 物 线 C 2: y

易 知 抛 物 线 C 2的 准 线 方 程 为 x ? ? 1. 设 点 P 的 坐 标 为 ( x1, y 1 )( x 1 ? 0, y 1 ? 0 ),

由 抛 物 线 的 定 义 可 知 P F 2 ? x 1 ? 1. 因 为 P F2 ? 由 y ? 4 x1 ? 5 3 8 3 , 所 以 x1 ? 1 ? 5 3 , 解 得 x1 ? 2 3 6 2 3 .

, 且 y 1 ? 0, 得 y 1 ?

.

2 2 6 所 以 点 P的 坐 标 为 ( , ). 3 3 x y 在 椭 圆 C 1: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 中 , c ? 1. a b ? ?c ? 1 ? 2 2 2 由 ?a ? b ? c ,解得 ? 4 24 ? ? ?1 2 2 9b ? 9a
2 2

?a ? 2 ? . ? ?b ? 3 ?

所 以 椭 圆 C 1的 方 程 为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

? 2 ? 证 法 1: 设 点 T 的 坐 标 为 ( x 0, y 0 ), 圆 C 3的 半 径 为 r .
因 为 圆 C 3 与 y 轴 交 于 M 、 N 两 点 , 且 M N ? 4, 所以 MN ? 2 r ? x 0 ? 4, 所 以 r ?
2 2

4 ? x0 .
2

所 以 圆 C 3的 方 程 为 ? x ? x 0 因 为 点 T 是 抛 物 线 C 2: y
2

?

2

?

?

y ? y0

?

2

? 4 ? x 0 .①
2

? 4 x上 的 动 点 , y0 4
2

所 以 y ? 4 x 0 ( x 0 ? 0 ), 所 以 x 0 ? 把 x0 ? (1 ? x 2 y0 4
2

.

代 入 ① , 消 去 x 0, 整 理 得
2 2

) y ? 2 y y 0 ? ? x ? y ? 4 ? ? 0 .②

方 程 ② 对 任 意 实 数 y0恒 成 立 , x ? 1? ? 0 ? 2 ? ?x ? 2 所 以 ??2 y ? 0 ,解得 ? . ?y ? 0 ? 2 2 x ? y ?4 ? 0 ? ? x y 因 为 点 ? 2 , 0 ? 在 椭 圆 C 1: ? ? 1上 , 所 以 无 论 点 T 4 3 运 动 到 何 处 , 圆 C 3 恒 经 过 椭 圆 C 1上 一 定 点 ? 2 , 0 ?. 证 法 2 : 设 点 T 的 坐 标 为 ( x 0, y 0 ), 圆 C 3的 半 径 为 r . 因 为 点 T 是 抛 物 线 C 2: y 所 以 y ? 4 x 0 ( x 0 ? 0 ). 因 为 圆 C 3与 y 轴 交 于 M 、 N 两 点 , 且 M N ? 4 ,
2 2 2

? 4x上 的 动 点 ,

所以 MN ? 2

r ? x0 ? 4 , 所 以 r ?
2 2

4 ? x0 .
2

所 以 圆 C 3的 方 程 为 ? x ? x 0

?

2

?

?

y ? y0

?

2

? 4 ? x 0 .③
2

令 x 0 ? 0, 则 y ? 4 x 0 ? 0, 得 y 0 ? 0 , 此 时 圆 C 3的 方 程 为 x ? y
2 2 2 2

? 4.

?x ? y ? 4 ? x ? ?2 ? 2 由 ? x2 ,解得 ? . y ? ?1 ?y ? 0 ? 3 ? 4 所 以 圆 C 3: x ? y
2 2

? 4 与 椭 圆 C 1的 两 个 交 点 为 ? 2 , 0 ? 、 ? 2 , 0 ? . ?

分 别 把 点 ? 2, 0 ?、? 2, 0 ? 代 入 方 程 ③ 进 行 检 验 , 可 知 点 ?

? 2, 0 ? 恒 符 合 方 程 ③ , 点 ? ?2, 0 ? 不 恒 符 合 方 程 ③ .
所 以 无 论 点 T 运 动 到 何 处 , 圆 C 3 恒 经 过 椭 圆 C 1上 一 定 点 ? 2 , 0 ?.

【 点 评 】 1? 利 用 两 曲 线 间 的 共 同 点 进 行 转 化 , ? 是解决这类问题的关键.

? 2 ? 证 明 曲 线 系 (直 线 系 )过 定 点 时 , 可 求 出 其
含参变量的方程,由方程特点或利用关于参 变量的方程有无穷多解条件处理.

二、圆锥曲线背景下的定值问题 例 2 已 知 点 A ? 1,1 ? 是 椭 圆 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?

上 一 点 , F1, F 2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 且 满 足 A F1 ? A F 2 ? 4.

?1 ? 求 椭 圆 的 方 程 及 离 心 率 ; ? 2 ?设 点 C、 D是 椭 圆 上 的 两 点 , 直 线 AC、 AD
的 倾 斜 角 互 补 , 试 判 断 直 线 C D的 斜 率 是 否 为 定值?并说明理由.

解 析 : 思 路 : 要 判 断 C D的 斜 率 是 否 为 定 值 , 可 计 算 C、 D 坐 标 , 求 其 斜 率 是 否 与 参 变 量 取 值 有 关 .

? 1 ? 因 为 点 A ? 1,1 ? 是 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 上 的 一 点 ,

F1, F 2 是 椭 圆 的 两 焦 点 , 所以 1 a
2

?

1 b
2

? 1 ,A F1 ? A F 2 ? 2 a ? 4 ,
2

所 以 a ? 2, b

? 6 3 2

4 3

,所以c

2

? a ?b
2

2

?

8 3



2 所以e ? c a ?

? x
2

6 3 ?


2

且椭圆的方程为

3y 4

? 1.

4

? 2 ? 设 点 C ( x C , y C ), D ( x D , y D ).
因 为 A C 、 A D的 倾 斜 角 互 补 , 所 以 k AC ? k AD ? 0 . 设 直 线 A C的 方 程 为 y ? 1 ? k ? x ? 1?, 则 直 线 A D的 方 程 为 y ? 1 ? ? k ? x ? 1 ? . ? y ? 1 ? k ? x ? 1? ? 2 2 由?x , 3y ? ?1 ? ? 4 4 得 ?1 ? 3 k
2

?

x ? 3 ? 2k ? 2k
2

2

?

x ? 3?k

2

? 2k ? ? 1 ? 0.

因 为 A点 的 横 坐 标 x ? 1 是 该 方 程 的 一 根 , 所 以 xC ? 3? k
2

? 2k ? ? 1
2

1 ? 3k

.

同 理 , xD ? 所 以 kCD ? ?

3? k

2

? 2k ? ? 1
2

1 ? 3k xC ? x D



yC ? y D k ? xC ? 1? ? 1 ? k ? x D ? 1? ? 1 xC ? x D k ? xC ? x D ? ? 2 k xC ? x D ? 1 3 1 3 . ( 为 定 值 ).

?

故 直 线 C D的 斜 率 为 定 值

【点评】求证或判断某几何量是否为定值时, 可引进适当的参变量,直接求出相应几何量 的值,说明或证明其为定值.

三、圆锥曲线背景下的最值问题 例 3如 图 , M 为 椭 圆 x
2

? y

2

? 1上 任 意 一 点 , P为

3 ???? ???? ? 线 段 O M 的 中 点 , 则 P F1 ? P F 2的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ .

解 析 : 方 法 1 : 设 M ( 3c o s ? , s in ? ), 1 则 P( c o s ? , s in ? ). 2 2 又 F1 ( ? 2, ), F 2 ( 2, ), 0 0 2 ? 3 2 3 2 cos? , ? 1 2 cos? , ? 1 2 s in ? ), s in ? ), 3

???? 所 以 P F1 ? ( ? ???? ? P F2 ? ( ? 2 ?

???? ???? ? 3 1 2 2 所 以 P F1 ? P F 2 ? c o s ? ? 2 ? s in ? 4 4 ? 1 2 cos ? ?
2

7 4

? ?

7 4



???? ???? ? 7 故 P F1 ? P F 2的 最 小 值 为 ? . 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ? 方 法 2 : F1 ? P F 2 ? ( P O ? O F1 ) ? ( P O ? O F 2 ) P ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? ? 2 ? | P O | ? P O ? ( O F1 ? O F 2 ) ? O F1 ? O F 2 ???? 1 2 2 ?| P O | ? 2 ? O M ? 2, 4 ???? ???? ? 7 当 M 为 短 轴 端 点 时 , F1 ? P F 2 最 小 , 其 值 为 ? . P 4
【点评】最值问题常建立函数关系,利用 函数求最值,或直接用几何性质与方法 进行推导与判断.

例 4已 知 椭 圆

x

2

?

y

2

? 1 上 的 两 个 动 点 P、 Q,

4

2

设 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ), 且 x1 ? x 2 ? 2.

? 1 ? 求 证 : 线 段 P Q 的 垂 直 平 分 线 经 过 一 个 定 点 A; ? 2 ? 设 点 A关 于 原 点 O 的 对 称 点 是 B, 求
值 及 相 应 的 P点 坐 标 . PB 的 最 小

解 析 : ? 1 ? 证 明 : 因 为 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ), ? x1 ? 2 y 1 ? 4 且 x1 ? x 2 ? 2 , 当 x1 ? x 2 时 , 由 ? 2 , 2 ? x2 ? 2 y2 ? 4
2 2



y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

1 2

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

. y1 ? y 2 x1 ? x 2 1 2n

设 线 段 P Q 的 中 点 N (1 , n ), 所 以 k P Q ?

? ?



所 以 线 段 P Q的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y ? n ? 2 n ? x ? 1?, 所 以 ? 2 x ? 1 ? n ? y ? 0 .该 直 线 恒 过 一 个 定 点 A ( ,), 0 2 1

当 x1 ? x 2 时 , 线 段 P Q 的 中 垂 线 也 过 定 点 A ( , ). 0 2 综 上 , 线 段 P Q 的 垂 直 平 分 线 恒 过 定 点 A ( , ). 0 2 1

1

? 2 ?由 于 点 B 与 点 A 关 于 原 点 O 对 称 , 故 点 B ( ?

1 2

, ). 0

因 为 ? 2 ? x 1 ? 2, 2 ? x 2 ? 2, 所 以 x 1 ? 2 ? x 2 ? ? 0 , 2 ? , ? PB
2

? ( x1 ?

1 2

) ? y1 ?
2 2

1 2

? x1 ? 1 ?

2

?

7 4

?

9 4

. 3 2 .

所 以 当 点 P 的 坐 标 为 (0, ?

2 )时 , B P

m in

?

【点评】本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及 了等差数列、定点问题以及最值问题.本题是 建立二次函数、利用二次函数和图象求最值.

? 2 ? 本 题 的 第 一 个 易 错 点 是 表 达 不 出 线 段 P Q的
中 垂 线 方 程 , 第 二 个 易 错 点 是 易 忽 视 P点 坐 标 的取值范围,实质上是忽视了椭圆的范围.

备选题

已 知 定 点 A ? ? 1, 0 ? , F ? 2 , 0 ? , 定 直 线 l: x ?

1 2



不 在 x 轴 上 的 动 点 P 与 点 F 的 距 离 是 它 到 直 线 l的 距 离 的 2 倍 . 设 点 P的 轨 迹 为 E , 过 点 F 的 直 线 交 E 于 B 、 C 两 点 , 直 线 A B、 A C 分 别 交 l于 点 M 、 N .

?1 ? 求 轨 迹 E 的 方 程 ; ?2 ?试 判 断 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 是 否 过 点 F,
并说明理由.

解 析 : ? 1 ? 设 P ( x, y ), y ? 0, 则 ? x ? 2? ? y
2 2 2

? 2|x?

1 2

|,

化简得x ?

y

2

? 1( y ? 0 ).

3

? 2 ?当 B C

? x 轴 , 其 方 程 为 x ? 2 , 则 B ? 2 , 3 ? , C ( 2 , 3), ?

1 3 A B 的 方 程 为 y ? x ? 1 , 因 此 点 M 的 坐 标 为 M ( , ), 2 2 ???? ? ???? ? 3 3 3 3 F M ? ( ? , ). 同 理 , 可 得 F M ? ( ? , ), ? 2 2 2 2 ???? ???? ? 因 此 , M ? F N ? 0, 即 F M ? F N . F

当 B C 与 x 轴 不 垂 直 时 , 设 B C 的 方 程 为 y ? k ? x ? 2 ? ( k ? 0 ). 与双曲线方程x ?
2

y

2

? 1 联 立 , 消 去 y,
2

3 得 ?3 ? k
2

? x ? 4k x ? ? 4k ? 3? ? 0.
2 2 2

由 题 意 知 ,? k 3

? 0且 ? ? 0 .

设 B ( x1, y 1 ), C ( x 2, y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? y1 y 2 ? k
2

4k
2

2

k ?3

, x1 x 2 ?

4k ? 3
2

k ?3
2 2



? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 2 ? ? k ? x1 x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? ? ?
4k ? 3
2

? k (
2

k ?3
2

?

8k
2

2

k ?3

? 4) ?

?9k
2

2

k ?3

.

因 为 x1, x 2 ? ? 1 , 所 以 直 线 A B的 方 程 为 y ? 1 y
1 1

x ?1

? x ? 1 ?.

2 ???? ? 3 3y 因 此 点 M 的 坐 标 为( , ), M ? ( ? , 2 F ), 2 2 ? x 1 ? 1? 2 2 ? x ? 1?

3 y1

2 ???? 3 3y 同 理 , 可 得 F N ? (? , 2 ), 2 2 ? x ? 1?

???? ???? ? 3 3 9 y1 y 2 因 此 F M ? F N ? (? ) ? (? ) ? 2 2 4 ? x1 ? 1 ?? x 2 ? 1 ?

k ?3 ? ? 2 2 4k ? 3 4k 4 4? 2 ? 2 ? 1? k ?3 k ?3 9
2

9?

?9k

2

?

9 4

?

9 4

? 0,

???? ? ???? 所 以 F M ? F N, 即 F M ? F N . 综上所述,以MN为直径的圆必定过点F.

1.对圆锥曲线中定值的计算,一般利用相关公 式或方程思想求解,如果求值对象有相关公式计

算(如距离、斜率、面积等),并且公式中所需数
据可由已知或相关参变量表示,则套用公式求解, 或将求值对象看成一个未知数,根据已知条件建 立方程或方程组,再解方程求未知数的值. 2.对圆锥曲线中定点的确立,通常求相应曲线

系(或直线系)方程,利用方程思想或曲线系(直线
系)特征确定点或由特殊值确定一定点,再进行 一般性证明.

3.圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何

法、函数法或不等式法,其中几何法是根据图形
几何性质求解的方法;函数法是指将所求变量表

示成某个相关变量的函数,再求函数的最值;不
等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求 变量的不等式,再解不等式,求其最值的方法.


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