福建师大附中2010—2011学年度高二上学期期中考试理科数学及答案


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福建师大附中 2010—2011 学年度高二上学期期中考试

理科数学试题
(满分:150 分,时间:120 分钟)
说明: 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷. 说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷

第 I 卷 共 100 分
一、选择题: 每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 选择题: (每小题 ( 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 出的四个选项中 1、设 M = 2a ( a ? 2), N = ( a + 1)( a ? 3), 则有( **** ) 、 A. M > N B. M ≥ N (等号定能取到) C. M < N D. M ≤ N (等号定能取到) 2、在等差数列 {an } 中, a3 + a9 = 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 = ( **** ) 、 A. 18 B. 99 C. 198 3、若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是(****) 、
2 2 A.若 a > b ,则 ac > bc

D. 297

B.若 a < b < 0 , 则

1 1 < a b

C.若 a < b < 0 , 则

b a > a b

2 2 D.若 a < b < 0 ,则 a > ab > b

4、下列函数中,最小值为 4 的是 、 4 A. y = x + ( x ≥ 3) x C. y = e + 4e
x ?x

(**** ) 4 B. y = sin x + (0 < x < π ) sin x D.

y = log 3 x + 4 log x 3
S10 等于( S5
D.33

5、已知 ?ABC 满足 sin C = 2 cos B sin A ,则 ?ABC 的形状是( **** ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、记等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 、 A. ?3 B. 5 C. ? 31 7、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( **** ) 、 A. a=1,b=2 ,c=3 C. a=1,b=2,∠A=100° **** )

B. a=1,b= 2 ,∠A=30° D. b=c=1, ∠B=45°

8、北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的 、 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示) ,则旗杆的高度为( **** ) A.10 米 B. 30 米 C.10 3 米 D.10 6 米

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?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 9、若不等式组 ? 、 表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是 ( **** ) y + 2x ≤ 4 ? ?y + x ≤ s ? B.0< s ≤2 C.2≤ s ≤4 D. s ≥4 A.0< s ≤2 或 s ≥4
10、 、 如果数列 {an } 满足: a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,..., an ? an ?1 ,... 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, 那么 an 等于( **** ) 。 A. 2
n+1

?1

B. 2

n?1

C. 2 ? 1
n

D. 2 + 1
n

(每小题 二、填空题: 每小题 5 分,共 10 分) 填空题: ( 2 2 11、关于 x 的不等式 ax + 4 x ? 1 ≤ ?2 x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是********。 、 12、观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有******** 个小正方形. 、

(本大题共 三、解答题: 本大题共 4 题,共 40 分) 解答题: ( 13、 本题 10 分) 、 ( (1) 若集合 M = {x | ? x 2 + 7 x > 6}, N = {x | x 2 ? 2 x ? 5 > 2 x} ,求 M ∩ N ; (2) 若集合 P = {x | x 2 ? 3 x + 4 ≥ 0} ,正数 a, b 满足 ab = a + b + 3 , 的所有可能取值 ab 组成的集合为 Q ,求 P ∩ Q 。

14、 本题 10 分) 、 (

已知等差数列 {an } 满足 a 3 = 15, a 4 + a 6 = 22 , Sn 为 {an } 的前 n 项和.

(2)设 {bn ? an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项 和 Tn . 15、(本小题 10 分) 、 已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. .

(1)求通项 an 及当 n 为何值时, Sn 有最大值,并求其最大值。

3 . 5

16、 本题 10 分)某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是两种不同颜色的羊毛,下 、 ( 表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量。 羊毛颜色 每匹需要 ( kg)
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供应量(kg)

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布料 A 红 绿 4 6

布料 B 4 3 1400 1800

已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元。那么如何安排生产才能够产生最大 的利润?最大的利润是多少?

第 II 卷 共 50 分
(每小题 一、填空题: 每小题 5 分,共 15 分) 填空题: ( 17、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn = 、

2 1 a n ? ,则 an 为******** 。 3 3

18、若关于 x 的方程 x 2 +(m – 2)x +5 – m = 0 的两根都大于 2,则实数 m 的取值范围是 、 ******** 。 19、已知数列 {a n } 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,则有 S m + n = S m + S n + mnd . 、 类似的, 对于公比为 q 的等比数列 {bn } 来说, 设其前 n 项积为 Tn, 则关于 Tm + n , Tm , Tn 及q 的一个关系式为 ******** 。

(每小题 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 二、选择题: 每小题 5 分,共 10 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 选择题: ( 20、?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。 a, b, c 成等比数列, c = 2a , cos B 若 且 则 、 等于( **** ) A.

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

2 3

21、若数列 {a n } 的通项公式 a n = log 2 、 成立的正整数 n( **** ) A.有最小值 63 B.有最大值 63

n +1 ( n ∈ N + ) ,设其前 n 项和为 Sn,则使 S n < ?5 n+2
C.有最小值 31 D.有最大值 31

(本大题共 三、解答题: 本大题共 2 题,共 25 分). 解答题: ( 22、(本小题 10 分) 、 本小题 某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维 修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费 用最少?最少是多少?

23、(本小题 15 分) 、 本小题 已知 f ( x ) = log m x (m 为常数,m>0 且 m ≠ 1 ),设 f (a1 ), f (a 2 ),? , f (a n )(n ∈ N + ) 是首 项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=an· f ( a n ) ,且数列{bn}的前 n 项和 Sn,当 m = 求出 m 的范围;若不存在,说明理由.
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2 时,求 Sn ;

(3)若 cn= an lg an ,问是否存在 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,

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24、 附加题,本题 10 分) 、 附加题, (附加题 (

如图所示, y = x 的图像下有一系列正三角形,求第 n 个正三角形的边长.

y A3 A2 A1 B2 B3 B4 x A4 y= x

O

(B0)

B1

参考答案
第 1 卷(満分 100 分)
一、选择题:1-10: ABDCA 12、 DDBAC 二、填空题: 11、 (?∞, ?3] .

n 2 + 3n + 2 2

三、解答题: 13、解:

M = {x |1 < x < 6}, N = {x | x > 5或x < ?1}, P = R
ab = a + b + 3 ≥ 3 + 2 ab ,令 ab = t , t > 0 ,得 t 2 ? 2t ? 3 ≥ 0 ,得 t ≥ 3或t ≤ ?1(舍)
ab ≥ 3, ab ≥ 9 ∴ Q = [9, +∞) , ∴ M ∩ N = {x | 5 < x < 6}, P ∩ Q = [9, +∞) 。
14、解: a3 = a1 + 2d = 15, a4 + a6 = 2a5 = 22, a5 = a1 + 4d = 11 ,

∴ d = ?2, a1 = 19 , ∴ an = ?2n + 21 ;
(1) ∴ S n = ?n 2 + 20n = ?(n ? 10) 2 + 100 ,∴ n = 10, S n 有最大值 100
(2) bn ? an = 3
n ?1

,∴ bn = 3
n ?1

n ?1

? 2n + 21
2

3n ? 1 Tn = S n + (1 + 3 + ... + 3 ) = ? n + 20n + 2
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15、(1) ∵cosB=

3 >0,且 0<B<π, 5 4 2 ∴sinB= 1 ? cos B = . 5 a b 由正弦定理得 = , sinA sinB 4 2× asinB 5 = 2. sinA = = b 4 5 1 1 4 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ∴ × 2 × c × = 4 , ∴c=5. 2 2 5
2

由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB, ∴b =

a 2 + c2 ? 2accosB = 22 + 52 ? 2 × 2 × 5 ×

3 = 17 . 5

16、设每月生产布料 A 为 x 匹、生产布料 B 为 y 匹,利润为 Z 元,那么 、

?4 x + 4 y ≤ 1400 ?6 x + 3 y ≤ 1800 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?

①; 目标函数为 z = 120 x + 80 y = 40(3 x + 2 y )

作出二元一次不等式 ① 所表示的平面区域(阴影部分)即可行域。

6 x + 3 y ≤ 1800

M

4 x + 4 y ≤ 1400 120 x + 80 y = 0
解方程组 ?

zmax

?4 x + 4 y = 1400 ?6 x + 3 y = 1800 = 120 x + 80 y = 38000.

得 M 点的坐标为 (250, 100) 所以当 x = 250 , y =100 时 答:该公司每月生产布料 A、B 分别为 250 、100 匹时,能

够产生最大的利润,最大的利润是 38000 元。

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第 2 卷(満分 50 分)
17、 an = ?1× ( ?2 ) 20、C
n ?1

18、

(?5, ?4] ;

19、 Tm + n = Tm ? Tn ? q mn

21、A

22、解:设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n),设该车的年平均费用为 S 万元, 则有 f (n ) = 10 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + ? ? ? + 0.2n ) + 0.9n = 10 +

0.2n(n + 1) + 0 .9 n 2

= 0.1n 2 + n + 10 ,

S=

n 10 1 1 f ( n) = (0.1n 2 + n + 10) = + +1 n n 10 n

≥2
当且仅当

n 10 × +1 = 3, 10 n

n 10 ,即 n = 10 时,等号成立. = 10 n

∴这种汽车使用 10 年时它的年平均费用最少,年平均费用最少为 3 万元。 23、解: (Ⅰ)由题意 f ( a n ) = 4 + 2( n ? 1) = 2n + 2, 即 log m a n = 2n + 2, ∴ an = m ∴
2n+2

a n +1 m 2( n+1) + 2 = = m2 2n+2 an m
4 2

∵m>0 且 m ≠ 1 ,∴m 为非零常数,
2

∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (Ⅱ)由题意 bn = a n f ( a n ) = m 当m =
3 4 5
2n+2

log m m 2 n+ 2 = (2n + 2) ? m 2 n + 2 ,
n+2

2时,bn = (2n + 2) ? 2 n +1 = (n + 1) ? 2 n+ 2
① ②

∴ S n = 2 ? 2 + 3 ? 2 + 4 ? 2 + ? + ( n + 1) ? 2 ①式两端同乘以 2,得

2 S n = 2 ? 2 4 + 3 ? 2 5 + 4 ? 2 6 + ? + n ? 2 n + 2 + (n + 1) ? 2 n +3
②-①并整理,得

S n = ?2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? 2 6 ? ? ? 2 n + 2 + (n + 1) ? 2 n+3 = ?2 3 ? [2 3 + 2 4 + 2 5 + ? + 2 n + 2 ] + (n + 1) ? 2 n +3
=? 2 ?
3

2 3 [1 ? 2 n ] + (n + 1) ? 2 n +3 1? 2 = ?2 3 + 2 3 (1 ? 2 n ) + (n + 1) ? 2 n +3 = 2 n +3 ? n
2n+2

(Ⅲ)由题意 cn = an lg an = (2n + 2) ? m 要使 c n ?1 < c n 对一切 n ≥ 2 成立,即 ① 当 m>1 时,

lg m

n lg m < (n + 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ≥ 2 成立,

n < (n + 1)m 2 对n ≥ 2 成立;
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2

②当 0<m<1 时, n > ( n + 1) m ∴n >

m2 m2 对一切 n ≥ 2 成立,只需 < 2, 1 ? m2 1? m2 6 6 6 <m< 解得 ? , 考虑到 0<m<1, ∴0<m< . 3 3 3 6 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. 综上,当 0<m< 3
24、 (附加题) 解:设 B0 (0, 0), B1 ( x1 , 0), B2 ( x2 , 0),...Bn ( xn , 0);

x +x x +x x1 x1 x +x x +x , ), A2 ( 1 2 , 1 2 ),... An ( n?1 n , n?1 n ) , 2 2 2 2 2 2 n 个正三角形的边长为 an ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ; 第 ∴ A1 ( x1 2 , 得x1 = ( x1 = 0舍去), 2 3 4 同理 n = 2 时, x2 = 2, a2 = 3 x +x 3 ( xn ? xn ?1 ) = n n ?1 当 n ≥ 3 时, an = xn ? xn ?1 , 2 2 2 ∴ 3( xn ? xn ?1 ) = 2( xn + xn ?1 ),
当 n = 1时, a1 = x1 ,

3 x1 = 2

∴ 3an 2 = 2(a1 + a2 + ... + an + a1 + a2 + ... + an ?1 ) ∴ 3an 2 = 2( S n + S n ?1 ) ∴ 3an ?12 = 2( S n ?1 + S n ? 2 ) ∴ 相减得, an 2 ? an ?12 ) = 2( S n ? S n ? 2 ) = 2(an + an ?1 ) 3( 2 2 ∴ an ? an ?1 = , 又a2 ? a1 = 3 3 2 2 ∴ 数列{an }是以a1 = , 公差为 的等差数列. 3 3 2 2 2 ∴ an = + (n ? 1) ? = n 3 3 3
y 所以第 n 个正三角形的边长为

2 n。 3
A1

A3 A2

A4

y= x

O

(B0)

B1

B2

B3

B4

x

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