高中数学


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极坐标系
教学目标: 认识极坐标,能在极坐标中用极坐标刻画点的位置; 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角坐标间的互化。 教学重点和难点: 重点:能用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标的互化。 难点:理解用极坐标刻画点的位置的基本思想;点与极坐标之间的对应关系的认识。 教学基本流程: 建立问题情景,体会引进极坐标系的必要性 给出极坐标系的概念 极坐标系与直角坐标系的区别 极坐标系的历史 极坐标与直角坐标的互化公式

问题的提升,体会引进极坐标系的必要性 总结 一、建立问题情景,体会引进新坐标系的必要性。 开场白:大家有没有见过这种图片?!台风的卫星云 图。众所周知台风危害很大,所以我们非常关注台风中心 的位置。 气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风 的路径图。根据路径图,及时播报台风中心的位置。从小 到大我们听过很多次台风预报。今天也请大家来当一回主 播, 根据这张图你来描述一下台风中心位置。 (学生参与描述) 看一下气象台是怎么播报的:今年第 8 号台风 “ “凤凰” , 今天下午 4 时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约 800 公里附近的洋面上,也就是在北纬 22.3 度,东经 123.8 度” (视频最好) (评价学生的描述) 。 问:哪些条件刻画了台风中心的位置? 东经 123.8 度,北纬 22.3 度。温州东南偏南方向大约 800 公里的海面上。 经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置,在这张平面地图上, 相交的两条经纬线,是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。如 果把平面地图延伸开来,经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位 置?!你得到什么样的启发? 1637 年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系, 用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。

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平面直角坐标系我们研究得很透彻了,今天就不研究了。再来看天气预报, “也就是” , 这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置 问:为什么台风预报时两个都会提及?(一个精确,一个通俗易懂形象) 我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。 (动手画一下)遇到困难补充方位角。用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想 就称为极坐标思想,这样建立起来坐标系就称为极坐标系(板书) 设计意图:引进学习极坐标系概念的需要,形成用角和距离刻画点的位置的直觉。 二、给出极坐标系的概念 给出概念: 在平面内取一个定点 O,叫做极点;(板书) 自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴; (板书) 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 如图:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? ; 有序实数对( ? , ? )叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? , ? ) ; 一般地,不做特殊说明时,我们认为 ? ? 0,? ?R (板书) 试一试:如图在平面地图上建立极坐标,试写出台风中心的极坐标

? ? 5? 5? (800, ) ? (800, ? ) ? (800, ) ? (800, 2k? ? ) (板书) 3 3 3 3
极点 O 的极坐标?

( 0 , 0? )

( 0?,?R (板书) ? )

我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一,反过来 思考:如果给出一个极坐标(2, ? ),那它对应的点是否唯一?唯一。

如果规定? ? 0, 0 ? ? ? 2? ;
除极点外,平面内点可用唯一的极坐标( ? , ? )表示;同时,极坐标( ? , ? )表示的点也是唯一的。 设计意图:引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系,初步熟悉极坐标系的有关概念。 三、极坐标系与平面直角坐标系的区别 过渡:现在我们学习了两种坐标系,我们来比较一下它们有哪些区别? (学生) 平面直角坐标系 定位方式 点与坐标 外在形式 本质 横坐标、纵坐标 点与坐标一一对应 原点,x,y 轴 两线相交定点 极坐标 角度和距离 点与极坐标不一一对应 极点,极轴 圆与射线相交定点

设计意图:通过比较,辨析极坐标系,进一步认识极坐标系的特点。 四、极坐标系的历史 过渡:平面直角坐标系是由笛卡儿创建的,问:又是谁第一个提出极坐标系?他为什么要提
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出极坐标系? 伯努利(瑞士):1691 年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论; 牛 顿(英国):完成于 1671 年,发表于 1736 年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是确 定平面上的点的位置的方法,并与其他 9 种坐标系的进行转换; 数学家们认为极坐标有着很大的作用, 并实现了它与其他坐标系的转换, 现在我们也学习了 两种坐标系,那我们也来转换一下看看。 设计意图:通过数学史使学生进一步认识极坐标系的来源,并过渡至坐标系的转换。 五、极坐标与平面直角坐标的转换 过渡:为实现转换,要把两个坐标系放在同一个平面中,应当如何建立这两个坐标系呢? 原点与极点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合; 取相同的单位长度。 牛顿也是这样想的, 具体来试一下; 试一试:试将刚才所描述的台风中心的极坐标 (800,

x ? 800 ? cos

5? 5? (板书) , y ? 800 ? sin 3 3

5? ) 化成直角坐标 3

设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) 那么两者之 间的关系?

x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ?

y ( x ? 0) (板书) x

你能联想到过去所学的哪个知识?——————任意角的三角函数的定义 研究:如左图 ,假设当距离台风中心 700 公里时应当发布台风蓝色警报,问福州

(200,

4? ) 是否已发布台风蓝色警报? 3

分析:本质是根据极坐标研究两点的距离。 解:根据图象:福州距离台风中心的距离为(板书)

d ? 8002 ? 2002 ? 2 ? 200 ? 800 ? cos
所以还未发布橙色警报。 通过刚才这个例子我们是否可以猜测:

?
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? 100 ? 64 ? 4 ? 16 ? 100 52 ? 700

已知点A( ?1 ,?1 ), B( ?2 ,? 2 ), 则 | AB |? ?12 ? ? 2 2 ? 2 ?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 ) ?!
能否证明?(转化为平面直角坐标) (板书) 互化公式把两个坐标系紧密地联系在一起。 设计意图:引导学生了解极坐标的转换并记忆互化公式。极坐标与平面直角坐标的联系。 六、定位思想和极坐标的提升 最后我们再来看这张卫星云图,大家看到这个云图,试想如果一个 物体被台风卷了进去后,它可能会做什么样的运动? 研究:理想化条件下: 物体绕台风中心逆时针旋转,角速度

? 弧度/小时,离台风中心的距 12
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离以 5 公里/小时速度减小,到中心后停止,台风中心不动,在离台风中心 100 公里 A 处放 飞一物体 M,求 t 个小时后物体的位移? 分析:关键是确定 t 个小时后物体的位置,哪种定位方式能更好确定位置呢? 结论:通过这个例子我们发现,在研究某些问题时,用极坐标系会更加方便。 设计意图:极坐标系引入的必要性,及定位思想的提升,带着问题下课。 七、总结 1.极坐标的定位思想和极坐标系 2.极坐标与平面直角坐标系的转换 3.极坐标系下的两点距离公式 板书设计: 极坐标系 1.学:…… 2.极坐标系的概念 3.区别 平面直角坐标系 极坐标系 证:

? ? 0,? ? R
极 点 点

5.互化公式 解:

解:

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